2020年高中数学学习方略选修4-5人APPT：2.1证明不等式的基本方法——比较法

【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)在证明条件不等式时,要注意所给条件的应用.
() (2)作差比较法是与1比较,作商比较法是与0比较.
()
(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式,有界性),凑成 若干个平方和等是作差比较的常用变形方法. ( ) (4)分子放(缩),分母不变;分子不变,分母放(缩);分子 放(缩),同时分母缩(放),是作商比较时常用的方法.
【内化·悟】 作差比较法中,作差之后应该如何求解?
提示:作差之后再变形,变形的目的在于判断差的符号, 而不用考虑能否化简或值是多少.变形所用的方法要具 体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一 切有效的恒等变形的方法.
【类题·通】 作差比较法证明不等式的一般步骤 (1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行 作差.
＜0,
a 1 a a a 1
所以 a 1 a＜ a a 1.
类型二 作商比较法
【典例】已知a>0,b>0且a≠b,求证:aabb>
ab

ab 2
.
世纪金
榜导学号
【思维·引】不等式两端都是指数式,它们的值均为正 数,可考虑用作商比较法.
【证明】因为a>0,b>0,所以aabb>0, aba2b>0,

2
s

mn 2mn

,


sm 2mn
n2
mn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
其中s,m,n都是正数,且m≠n, 所以t1-t2<0,即t1<t2,所以甲比乙先到达指定地点.
【内化·悟】 实际应用中使用比较法的关键是什么? 提示:分析实际问题情境中涉及比较的主体及其相关关 系,结合设问列出相应的式子求解.
=aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b= ( a )ab g( a )ac g( b )bc，
bcc
因为a>b>0,所以
a b
>1,a-b>0,即
( a )ab>1.
b
同理 ( b )bc >1, (a )ac >1.
c
c
所以 a2a gb2b gc2c >1,即a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【类题·通】 解答不等式问题的步骤
应用不等式解决问题时,关键是如何把不等量关系转 化为不等式的问题来解决,也就是建立数学模型是解应 用题的关键,最后利用不等式的知识来解.解答不等式 问题,一般可分为如下步骤:①阅读理解材料;②建立数 学模型;③讨论不等式关系;④给出问题的结论.
提醒:先设出必要的量,表达出要比较的两个式子,是数 学建模的关键.要学会建模,需要先熟练地列出各种代 数式.
当x<10时,P(x)>Q(x),此时选起步价为8元的出租车较 为合适.当x=10时,P(x)=Q(x),两种出租车任选,费用相 同.
()
提示:(1)√.要注意变量的正负符号,代数式的结构等. (2)×.作差比较法是与0比较,作商比较法是与1比较. (3)√. (4)√.
2.若a>b,则代数式a3+a2b与ab2+b3的值的大小关系是
()
A.a3+a2b<ab2+b3
B.a3+a2b≥ab2+b3
C.a3+a2b=ab2+b3
(2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为 若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等. (3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的 正负号. (4)结论:根据差的正负号下结论.
提醒:比较法证明不等式的关键在变形,而变形的技巧 在于将差式进行重新组合、合理搭配,如整式要因式分 解,分式要通分,根式要有理化,目的是有利于判断差式 的符号.
作商
aabb
ab
ab 2
aab bab
a 2 gb 2

(
a
)
ab 2
.
b
因为a≠b,所以当a>b>0时,
a b
>1且
ab 2
>0,所以
(
a
)
a
b 2
b
>1,而
ab
ab 2
>0,
所以aabb>
ab
ab 2
.
当b>a>0时,0< a <1且 a b <0,
作商法证明不等式的技巧 由于当b>0时,a>b⇔ a >1,因此,证明a>b(b>0)可以
b
转化为证明与之等价的 a >1(b>0),这种证明方法我们
b
称为作商比较法,其一般的步骤为:①作商;②变形;
③判断与1的大小;④下结论.
(1)当不等式的两端为指数式时,可作商证明不等式.
(2)运用a>b⇔ a >1证明不等式时,一定注意b>0是前提
()
A.P>Q
B.P<Q
C.P≥Q D.P≤Q
【解析】选D. 因为 Q =(a2-a+1)(a2+a+1)=(a2+1)2-
P
a2=a4+2a2+1-a2=a4+a2+1≥1,所以P≤Q.
类型一 作差比较法 【典例】求证:(1)a2+b2≥2(a-b-1). (2)若a>b>c,则bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.
b
要证明b>a,只要证明
b a
1.这种证明不等式的方法,叫
做作商比较法.
【思考】 (1)作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么? 提示:作差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不 等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转 化为一个数(或式子)与0的大小关系.
(2)作商比较法主要适用类型是什么?实质是什么? 提示:作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式 形式的不等式证明.实质是把两个数或式子的大小判断 问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系.
【解析】设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙
二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,由已知
t1 m t1 n 22
所以 t1 t
s，s 2m
2

2s m
s 2n t2.
smn
n 2mn
所以

s
t1

2s m
n
,
t2
4mn m n
2mn m n
【习练·破】 已知a≥1,求证: a 1 - a < a - a 1.
【解题指南】因不等式两边进行分子有理化相减后,可 判断差的符号,故可用作差比较法进行证明.
【证明】因为( a 1 - a )-( a - a 1)
=
1

1

a 1 a a a 1
a 1 a 1
D.不能确定
【解析】选B. 因为a>b, 所以(a3+a2b)-(ab2+b3) =(a3-b3)+(a2b-ab2) =(a-b)(a2+ab+b2)+ab(a-b) =(a-b)(a+b)2≥0, 所以a3+a2b≥ab2+b3.
3.已知P= 1 ,Q=a2-a+1,那么P,Q的大小关系是
a2 a 1
a b＋c gbc＋a gca＋b
类型三 比较法的实际应用 【典例】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地 点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行 走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行 走.如果m≠n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?
世纪金榜导学号
【思维·引】设从出发地点至指定地点的路程是s,甲 乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,要回答题 目中的问题只要比较t1,t2的大小就可以了.
【思维·引】(1)含有二次项与一次项的不等式证明时 常采用配方法. (2)作差后通过因式分解完成证明.
【证明】(1)a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, 所以a2+b2≥2(a-b-1).
(2)bc2+ca2+ab2-(b2c+c2a+a2b) =(bc2-c2a)+(ca2-b2c)+(ab2-a2b) =c2(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a) =(b-a)(c2-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b), 因为a>b>c,所以b-a<0,c-a<0,c-b<0. 所以(b-a)(c-a)(c-b)<0. 所以bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.
第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法
比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种. (1)作差比较法:要证明a>b,只要证明a-b>0;要证明a<b, 只要证明a-b<0.这种证明不等式的方法,叫做作差比较 法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明 a >1;
b
条件.若符号不能确定,应注意分类讨论.
【习练·破】 已知a>b>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ac+bbc+aca+b>0.
不等式左右两边作商,得
a
a2a gb2b gc2c b＋c gbc＋a gca＋b
＝a a
aa ba
a c
bbbbcccc bcbacacb
【习练·破】 某人乘出租车从A地到B地,有两种方案;第一种方案: 乘起步价为10元.每千米1.2元的出租车,第二种方案: 乘起步价为8元,每千米1.4元的出租车.按出租车管理 条例,在起步价内,不同型号的出租车行驶的路程是相 等的,则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适?
【解析】设从A地到B地距离为m千米.起步价内行驶的 路程为a千米.显然当m≤a时,选起步价为8元的出租车 比较便宜.
b
2
所以
(
a
)
a
b 2
>1,而
b
ab
ab 2
>0,
所以aabb>
ab
ab 2
.
综上可知,当a>0,b>0且a≠b时,有aabb>
ab
ab 2
.
【内化·悟】 任意两个代数式比较大小都可用作商比较法吗? 提示:两个代数式同号时可用作商比较法.符号不确定 时,用作差法.
【类题·通】
当m>a时,设m=a+x(x>0),乘坐起步价为10元的出租车费 用为P(x)元.乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元, 则P(x)=10+1.2 x,Q(x)=8+1.4x, 因为P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x),所以当x>10 时,P(x)<Q(x),此时选择起步价为10元的出租车较为合 适.