上海市徐汇中学2012届高三上学期期中考试数学试题

徐汇中学高三数学期中考试试卷 2011、11
一、填空题（每题4分，共64分）
1、已知全集U ={0，2，4，6，8，10}，集合A ={2，4，6}， B ＝{10}，则U A ∪B
为 {0，1，8，
10} 2、函数
y =
的定义域是 （-3，2 ）
3、已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是 [－1,1]
4、对于函数R x x f y ∈=，)(，“|)(|x f y =的图像关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 必要非充分 条件
5、下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a ＜1
b 成立的充分条件
有 1，2，4 （填序号） 6、若函数))(12()(a x x x
x f -+=
为奇函数，则a = 12
7、若不等式43x x a -+-<在R 上的解集非空，则实数a 的取值范围是 1a > 8、等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 8
8＝2，则S 11＝ -11
9、若不等式)0(>≥+a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且a n m 2||=-，则a 的取值集合为 {2}
10、已知集合A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9，x ∈R }，B ＝{x ⎪
⎪
x ＝4t ＋1
t －6，t ∈(0，＋∞)， x ∈R }，则集合A ∩B = {x |－2≤x ≤5}
11、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为___67
66_________升
12、已知函数()y f x =的定义域为R ，当0<x 时，()1f x >，且对任意的,x y ∈R ，等式
()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足,1(0)a f =11
()(2)
n n f a f a +=
--)(*∈N n
则2011a 的值为 4021
13、已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点 为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到12,,
,,
n P P P ，
则0lim ||n n Q P →∞
14、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；
②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{φ，{a }, {c }, {a, b, c }}； ②τ＝{φ，{b }, {c }, {b, c }, {a, b, c }}； ③τ＝{φ，{a }, {a, b }, {a, c }}； ④τ＝{φ，{a, c }, {b, c }, {c }, {a, b, c }}． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是_______2，4_____________ 二、选择题（每题5分，共20分）
15、设等差数列}{n a 的前n 项和为=
+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若
（ A ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
16、设2
()|2|f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是 （ A ）
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．(0,4]
D ．
17、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），
且当[0,2)x ∈时， 2()log (1f x x =+），则(2010)
(2011)f f -+的值为 ( C )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
18、函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()()0,()∈⎧=⎨∉⎩
M x M f x x M （其中M 是实数集R 的非空真
子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足=∅A
B ，则函数()1
()()()1
+=
++A B A B f x F x f x f x 的值域为 （ B ） A ．{}0 B ．}{1 C ．{}
0,1 D ．∅
三、解答题（要有必要的解题步骤，共74分）
19、已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式1x
a >的解集是{
}
0x x >，
解关于x 的不等式1
log ()0a x x
-<
解：关于x 的不等式1x
a >的解集是{
}
0x x >，所以1a >，故
1011
11log ()012x x
a x x x x x ->-<⎧--<⇔⇔-<<
⎨⎩
或1x <<
∴
原不等式的解集是115
(1,(1,
2
2
-
+-。

20、已知集合 }
{
}
{
}
{
2
2
A x x 12,
B x x ax 60,
C x x 2x 150=-<=+-<=--<
（1）若A B B =，求a 的取值范围 （2）若A
B B
C =，求a 的取值范围
解：)5,3(),3,1(-=-=C A
(1)由B B A = 知B A ⊆,令6)(2
-+=ax x x f ，则⎩
⎨⎧≤≤-0)3(0
)1(f f
得-52a -≤≤
（2）假设存在a 的值使A B B C =，由A B B
C =B ⊆知B A ⊆，
又⊆B A B B C =知B ⊆C,∴ A ⊆B ⊆C.
由（1）知若A ⊆B,则a ∈[]1-5-，
当B ⊆C 时，0242
>+=∆a ，∴B φ≠
∴⎩⎨⎧≥≥-0
)5(0)3(f f 得1a 519
≤≤-
故存在 a ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1-519-
，满足条件 21、已知函数)3(),1(),0()(log )(2f f f t x x f ，且+=成等差数列，点P 是函数()y f x =图像上任
意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像 （1）解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥
（2）当[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围 解：由)3(),1(),0(f f f 成等差数列，得)3(log log )1(log 2222t t t ++=+，
即 1),0)(3()1(2=∴>+=+t t t t t ，
)1(l o g )(2+=∴x x f 由题意知：P 、Q 关于原点对称，设),(y x Q 函数)(x g y =图像上任一点，则),(y x P --是
)1(log )(2+=x x f )上的点，所以)1(log 2+-=-x y ，于是)1(log )(2x x g --=
(1) 2()()0f x g x +≥ 101)1(0
1012<≤∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥+>->+⇔x x x x x 此不等式的解集是{}10<≤x x (2)),1(log )1(log 2)()(222x x x g x f y --+=+=当[0,1)x ∈时
m x g x f ≥+)()(2恒成立，
即在当[0,1)x ∈时m x x 2log 1)1(log 222≥-+恒成立，即x
x m
-+≤1)1(22, 设2(1)4()(1)4,0110,11x x x x x x x ϕ+=
=-+-≤<∴->--上单增在)1,0[)(x y ϕ= 0min ()1,1,0m x a a m ϕ∴=∴≤=∴≤
22、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第
2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%
(1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式
(2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．
问：该企业必须在第几年的年初对设备M 更新？请说明理由
【解答】 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列． a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为3
4的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6
，n ≥7.
(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，
A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34
×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6， A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6
n
，
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫342
8＝8247
64
>80，
A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫343
9＝767996
<80，所以须在第9年初对M 更新．
23、（1）等比数列{}n a 中，对任意2≥n ，N n ∈时都有n n n a a a ,,11+-成等差，求公比q 的值 （2）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，当693,,S S S 成等差时，是否有582,,a a a 一定也成等差数列？说明理由
（3）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使m k m k m S S S ,,+-成等差且n k n k n a a a ,,+-也成等差，若存在，求出k 与q 满足的关系；若不存在，请说明理由 解：（1）当2≥n ，N n ∈时有112+-=+n n n a a a ⇒2
21q q =+
解得1=q 或2
1
-
=q ……………………………………5分 （2）当1=q 时n S 1na =，显然1116,9,3a a a 不是等差数列，
所以1≠q ，q
q a S n n --=1)
1(1
由693,,S S S 成等差得q q a q q a q q a --=--+--1)
1(21)1(1)1(916131
2123963-=⇒=+q q q q 或13=q （不合题意）所以2
1
3-=q ；
所以8526
2322632221a a a q a q a a q q =+⇒=+⇒=+
即一定有582,,a a a 成等差数列。

…………………………………11分
（3）假设存在正整数k ，使m k m k m S S S ,,+-成等差且n k n k n a a a ,,+-也成等差。

当1=q 时n S 1na =，显然111,)(,)(ma a k m a k m +-不是等差数列，
所以1≠q ，q
q a S n n --=1)
1(1……………………………13分
由m k m k m S S S ,,+-成等差得q
q a q q a q q a k m m k m --=--+--+-1)
1(21)1(1)1(111
k k k m m k m q q q q q 2212=+⇔=+⇔+-2
1
-=⇔k q 或1=k q …………16分
当k 为偶数时，1-=q ，则有m k m k m S S S ==+-且n k n k n a a a ==+-；
当k 为奇数时，2
1-=k
q ；k n n k n k k n k k n k n k k a a a q a q a a q q +----=+⇒=+⇒=+222122，
综上所述，存在正整数k （n k m k <<,）满足题设，
当k 为偶数时，1-=q ；当k 为奇数时，2
1-=k
q 。

………………………18分。