2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(七)平行关系的性质北师大版必修2

课时跟踪检测（七）平行关系的性质
一、基本能力达标
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
解析：选A 由面面平行的性质定理可知选项A正确．
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A，B的点，点F为线段CD上异于C，D的点，且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起，如图2，则下列结论正确的是( )
A．AB∥CD
B．AB∥平面DFC
C．A，B，C，D四点共面
D．CE与DF所成的角为直角
解析：选B 在图2中，∵BE∥CF，BE平面DFC，CF平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB平面ABE，∴AB∥平面DFC.故选B.
4．已知平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵aα，bβ，
∴直线a ，b 没有公共点，∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面．
5.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α
分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则
△
A ′
B ′
C ′与△ABC 面积的比为( )
A ．2∶5
B ．3∶8
C ．4∶9
D ．4∶25
解析：选D ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝
A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′
B ′
C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25.
6.如图，在正方体ABCD ­A
1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
解析：∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF
平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF
∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝1
2
AC ＝ 2.
答案： 2
7．过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．
解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，
EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．给出下列说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a 与α相交，则a 与β相交； ③若平面α∥平面β，P ∈α，PQ ∥β，则PQ α； ④若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a ∥b . 其中正确说法的序号是________．
解析：①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a 与平面β平行或直线a β，则由平面α∥平面β，知a α或a ∥α，这与直线a 与α相交矛盾，所以a 与β相交，②正确．如图，过直线PQ 作平面γ，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ，
由α∥β，得a ∥b .因为PQ ∥β，PQ γ，所以PQ ∥b .因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a 与直线PQ 重合．因为a α，所以PQ α，③正确．若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a 与b 平行、相交或异面都有可能，④不正确．
答案：②③
9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面
BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .
求证：四边形BCFE 是梯形．
证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .
因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ， 所以BC ∥EF .
因为AD ＝BC ，AD ≠EF ， 所以BC ≠EF ，
所以四边形BCFE 是梯形．
10．如图，在三棱柱ABC ­A
1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面
BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .
求证：N 为AC 的中点． 证明：∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ， 又AC ∥A 1C 1，
∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝1
2AC ，
∴N 为AC 的中点． 二、综合能力提升
1.如图，在三棱柱ABC ­A
1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )
A ．MF ∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
解析：选B ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN平面ABC，AB平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.
2．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB 的位置关系是( )
A．异面B．平行
C．相交D．以上均有可能
解析：选B 因为A1B1∥AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1
∥平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.
又AB∥A1B1，所以DE∥AB.
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1
于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )
A．矩形B．菱形
C．平行四边形D．正方形
解析：选C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．
4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
5.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的
中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析：∵AB∥平面α，AB平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，
∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝1
2
(AB ＋CD )＝5.
答案：5
6．如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，
则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________. 解析：因为AC ∥平面EFGH ，所以EF ∥AC ，HG ∥AC . 因为BD ∥平面EFGH ，所以EH ∥BD ，FG ∥BD .
所以EF ＝HG ＝BE BA ·m ，EH ＝FG ＝AE AB ·n .因为四边形EFGH 是菱形，所以BE AB ·m ＝AE AB
·n ，所以AE ∶EB ＝m ∶n .
答案：m ∶n
7.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平
面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．
证明：直线l ∥平面PAC ， 证明如下：
因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .
又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .
而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ， 所以EF ∥l .
因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ， 所以l ∥平面PAC . 探究应用题
8．如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在
棱
AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位
置；若不存在，请说明理由．
解：存在点E ，且E 为AB 的中点时，
DE ∥平面AB 1C 1，下面给出证明：
如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，则DF ∥B 1C 1. 因为AB 的中点为E ，连接EF ，
则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，DF ∩EF ＝F ，
所以平面DEF∥平面AB1C1.
又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。