三个宇宙速度

三个宇宙速度
1．三个宇宙速度的推算及其意义
⑴ 三个宇宙速度的推算
①第一宇宙速度（即环绕速度）计算
第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星在近地轨道上运行时的速度．
由mg R v m R
Mm G ==2
2得s m gR R GM v /109.73⨯===
．
例1． 已知地球与月球质量比为8：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s 的速度，求在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度？
分析：地球上卫星需要的向心力来自地球的引力，月球上的飞行物需要的向心力是月球对它的引力.
解答：发射环绕地球表面运行的飞行物时，有
2R GmM 地
地
=m
地
地R v 2
发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有
2
R GmM 月
月
= m
月
月
R v 2
由此即可得：v 月=
月
地地月R R M M ⋅
·v 地=8.31
181⨯×7.9×103m/s =1.71×103m/s
②第二宇宙速度（即脱离速度）的推算
如果人造卫星进入地面附近的轨道速度等于或大于1l.2km ／s ，就会脱离地球的引力，这个速度称为第二宇宙速度．
为了用初等数学方法计算第二宇宙速度，设想从地球表面至无穷远处的距离分成无数小段ab 、bc 、… ，等分点对应的半径为r 1、r 2 ……，如图所示．由于每一小段ab 、bc 、cd … 极小，这一小段上的引力可以认为不变．因此把卫星从地表a 送到b 时，外力克服引力做功
)1
1()()(11
112
1r R GMm R r r R Mm G R r R Mm G
W -=-⋅=-= 同理，卫星从地表移到无穷远过程中，各小段上外力做的功分别为)1
1(
2
12r r GMm W -=
)1
1(
3
23r r GMm W -= …
)1
1
(
1n n n r r GMm W -
=-
)1
1(∞∞-=r r GMm W n
把卫星送至无穷远处所做的总功 R
Mm G W W W W W W n =+++++=∞ 321
为了挣脱地球的引力卫星必须具有的动能为
R
Mm G W mv ==2
221
所以s km gR R
GM
v /2.11222===
例2．已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v 2=
R
Gm
2,其中G 、m 、R 分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G =6.67×10-11N·m 2/kg 2,c =2.9979×108 m/s.求下列问题：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m =1.98×1030 kg ，求它
的可能最大半径；
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m 3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，
其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
解答：
（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v 2=
R
Gm
2，其中m 、R 为天体的质量和半径．对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v 2＞c
所以R ＜22c Gm =2
830
11)
109979.2(1098.1107.62⨯⨯⨯⨯⨯-m=2.94×103 m
即质量为1.98×1030
kg 的黑洞的最大半径为2.94×103
m.
（2）把宇宙视为普通天体，则其质量m =ρ·V =ρ·3
4
πR 3
①
其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v 2=R
Gm
2 ②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2＞c
③
则由以上三式可得R ＞G
c πρ832
=4.01×1026 m ，即宇宙的半径至少为4.24×1010光年．
③第三宇宙速度（即逃逸速度）的推算
脱离太阳引力的速度称为第三宇宙速度．因为地球绕太阳运行的速度为s km v /30=地，根据推导第二宇宙速度得到的脱离引力束缚的速度等于在引力作用下环绕速度的
2倍，即
s km s km v /4.42/3022=⨯=地
因为人造天体是在地球上，所以只要沿地球运动轨道的方向增加s km v /4.12=∆即可，即需增加动能
2)(2
1
v m ∆．所以人造天体需具有的总能量为
2
3
2222
1)(2121mv v m mv E =∆+= 得第三宇宙速度s km v /7.163=
⑵ 宇宙速度的意义
当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同
①当v ＜v 1时，被发射物体最终仍将落回地面；
②当v 1≤v ＜v 2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；
③当v 2≤v ＜v 3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；
④当v ≥v 3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。