单因素方差分析

•
第3步 (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】从中选择一种方法，如LSD； (需要均值图时)在
【Options】 下 选 中 【Means plot】 ， ( 需 要 相 关 统 计 量 时 ) 选 择 【Descriptive】 ， 点 击
【Continue】回到主对话框。点击【OK】
用SPSS进行方差分析
•
如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影
响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析
(Two-factor without replication)
•
如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种
无交互效应的双因素方差分析
• 因为我们考虑不同司机行使时间的差异，所以要对区组做假设检验。两组假设分别为：
• 1． 不同路线均值都相等
•
各路线均值不全相等
• 2． 区组均值都相等
•
H各0区1 组: 均值不全相等
112 1314 1
• 两因素方差分析表的格式与单因素方差分析的格式一致，唯一的区别是加了一行区组变差。
第三节 单因素方差分析
1. 设1为化肥品牌A下产量的均值，2为化肥品牌B下产量的均值，3为化肥品牌C下产量的 2. 提出的假设为
▪ H0 ： 1 2 3 ▪ H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等 3. 计算检验统计量
4. 计算P值，作出决策
因子均方 F残差~ 均 F(k方 1,nk)
例题分析
1. 组内误差(within groups)
▪ 样本数据内部各观察值之间的差异
• 比如，同一位置下不同超市之间销售额的差异的差异
▪ 反映随机因素的影响，称为随机误差
2. 组间误差(between groups) ▪ 不同样本之间观察值的差异
• 比如，不同位置超市之间销售额的差异
▪ 可能是随机误差，也可能是超市位置本身所造成的系统性系统误差 3. 总误差(total)
• 如果我们考虑不同司机的影响，我们就能减少残差平方和，从而得到更大的F值。我们 把本例中的司机因素称为区组因素（blocking variable），即在方差分析中能减少残差平 方和的第二个处理因素。
• 在本例中将司机作为区组因素，从残差平方和中提取出司机的影响能够影响处理的F比 值。
• 这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
组间均方也称组间方差(between-groups variance)，反映各因子间误差的大小 MSA=SSA÷自由度(因子个数-1)
组内均方也称组内方差(within-groups variance) ，反映随机误差的大小 MSE=SSE÷自由度(数据个数-因子个数)
总平方和(SST)的自由度为n-1
•
需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析
– 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时 则需要借助于方差
– 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。 因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源
三、方差分析的前提和基本步骤
作用。当存在交互作用时，单纯研究某个因素的作用是没有意义的，必须在另一个因素的 不同水平下研究该因素的作用大小。
二、方差分析的基本思想
• 方差分析就是通过对水平之间的方差和水平内部的方差的比较，做出拒绝还是不能拒绝 原假设的判断。
怎样解决下面的问题？
来自不同地区的大学生每个月的平均生活费支出是否不同呢？ 家电的品牌对它们的销售量是否有显著影响呢？ 不同的路段和不同的时段对行车时间有影响吗？ 超市的位置和它的销售额有关系吗？ 不同的小麦品种产量有差异吗？
F值
(df)
P值
F 临界值
组间
MSA
(因素影响)
SSA
k-1
MSA
MSE
组内 (误差)
总和
SSE
n-k
MSE
SST
n-1
由SPSS可以得到方差分析表:
单因素方差分析
来源
平方和
比例
化肥 残差
86800 21400
0.802 0.198
自由度 2 21
均方 43400 1019
F-比
p-值
42.6
0.00000004
单因素方差分析
• 第一节 方差分析原理 • 第二节 F检验 • 第三节 单因素方差分析 • 第四节 双因素方差分析
章节安排
第一节 方差分析原理
一、方差分析常用概念
（一）应用方差分析的原因 1.检验过程繁琐 2.无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 3.推断的可靠性低，检验的I型错误率大 由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验法，必须采用方差分析法。
1.618
.225
16
6.675
19
• 实际上p-值0.225远大于0.05，所以不能拒绝零假设。 • 交管局得出结论四条路线的平均行驶时间无差异，没有某条路线行驶速度快而被选择的理由。
二、 无交互效应的双因素方差分析
• 如果上例中我们只考虑路线引起的效应而将其余的都归为随机效应，那么我们没有必要 让五名司机分别行驶四条路线。
总计
108200
1.000
23
该表说明我们要拒绝零假设，各化肥品牌导致的小麦产量之间有显著不同.
用Excel进行方差分析 (Excel检验步骤)
▪ 第1步：选择“工具 ”下拉菜单
▪ 第2步：选择“数据分析 ”选项
▪ 第3步：在分析工具中选择“单因素方差分析 ” ，然
▪
后选择“确定 ”
▪ 第4步：当对话框出现时
观测值
品牌
A
B
C
1
570
660
540
2
560
760
580
3
610
670
530
4
580
710
550
5
590
630
520
6
580
730
560
7
630
640
510
8
600
680
530
样本均值
590
685
540
样本容量
8
8
8
总均值
605
单因素方差分析表 (基本结构)
误差来源
平方和 (SS)
自由度
均方(MS)
方差分析基本原理
小麦产量 500 550 600 650 700 750
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
化肥
方差分析的基本思想和原理 (图形分析)
1. 从散点图上可以看出 – 不同品牌的产量是有明显差异的 – 同一个品牌，不同地块的产量也明显不同 • B较高，C较低
2. 品牌与产量之间有一定的关系 – 如果品牌与产量之间没有关系，那么它们的产量应该差不多相同，在散点图上所呈 现的模式也就应该很接近
第四节 双因素方差分析
• 在小麦产量的例子中，我们将总效应分为两类：化肥变量的效应和残差变量的效应。 • 换句话说，我们只考虑了效应的两个来源，即来自化肥变量和随机误差。 • 但是影响小麦产量的因素除了所用化肥的品牌，可能还有土壤、天气等等因素的影响。 • 考虑其他因素的好处是降低残差的效应，即降低F统计量的分母，F值会变大，使我们
常用术语
• 1.因素 • 因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。 • 2.水平 • 水平指各个因素的具体表现。 • 3.指标 • 为衡量研究结果或处理效应的好坏，在研究中具体测定的性状或观测项目称为指标。 • 4.交互作用 • 如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明显不同，则称为两因素间存在交互
• （一）方差分析的基本前提 • 1.样本是独立的随机样本。 • 2.各样本皆来自正态总体。 • 3.总体方差具有齐性，即各总体方差相等。 • （二）方差分析的基本步骤 • 1.计算各项平方和与自由度。 • 2.列出方差分析表，进行F检验。 • 3.做出判断。
第二节 误差分解与F检验
• 一、误差分解
新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差
分析 (Two-factor with replication )
例题分析
【例】个地区的交通管理局正准备扩大从郊区到商业中心的公车服务，考虑四条路线：1号线 、2号线、3号线、4号线。交管局想进行检验判断四条路线的平均行驶时间是否存在差异。因 为可能存在不同司机，检验时让每一名司机都分别行驶四条路线。在0.05的显著性水平下，四 条路线的行驶时间的均值是否有差异？
530
研究分类自变量(因子factor)对数值因变量(观测结果)的影响 – 例如：“化肥品牌”是一个分类自变量 – 两个或多个 水平(level)或分类。例如：3个化肥品牌 – 一个数值型因变量，产量 – 分析三个品牌的化肥的产量是否有显著差异，也就是要判断“品牌”对“产量”是 否有显著影响
作出这种判断最终被归结为检验这三个品牌的产量的均值是否相等 – 若它们的均值相等，则意味着“品牌”对产量是没有影响的；若均值不全相等，则 意味着“品牌”对产量是有影响的。
▪ 全部观测数据的误差大小
误差平方和的分解及其关系
总误差
=
随机误差
+
处理误差
总平方和 (SST)
组内平方和
组间平方和
=
(SSE)
+
(SSA)
误差度量 (均方—MS)
用均方(mean square)表示误差大小，以消除观测数据的多少对平方和的影响 用平方和除以相应的自由度 均方也称方差(variance)
司机 小张 小李 小王 小刘 小杨
1号线 33 36 35 40 41
2号线 35 37 38 36 39
3号线 35 39 40 43 43
4号线 37 39 38 40 40
如果不考虑司机因素—单因素分析
行驶时间
组间
平方和 32.400
组内
106.800
总数
139.200
df
均方
F
显著性
3
10.800
拒绝均值相等的零假设，或者说我们可以解释更多的效应，从而减少误差。 • 本节讨论双因素方差分析（Two-Way ANOVA），其分析方法可以很容易地被推广到多
因素方差分析（Multi-Way ANOVA）。
一、双因素方差分析的种类 (two-way analysis of variance)
•
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响
方差分析的基本原理
• 为了更容易的找出各化肥品牌的小麦平均产量的不同，我们对每个化肥品牌做一个箱线 图。
750
700
650
小麦产量
600
550
500
品牌A
品牌B 化肥
品牌C
方差分析的基本思想和原理
•
仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明化肥品牌与小麦产量之间有显著差异
– 这种差异也可能元格区域
▪
在a方框内键入0.05（可根据需要确定）
▪
在“输出选项 ”中选择输出区域
用SPSS进行方差分析 (单因素方差分析)
•
第1步：选择【Analyze】 【Compare Means】 【One-Way-ANOVA】进入主对话框
•
第2步：在主对话框中将因变量(产量)选入【Dependent List】，将自变量(品牌)选入【Factor)】
（二）概念及术语
• 方差分析(Analysis of Variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。这种方法 是将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相 应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计 算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。方差 分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析，它在科学研究中应用十分广泛。
H 11 :
H 02 :
1 22 23 24 25 2
H 12 :
无交互效应的双因素方差分析
方差分析 差异源
行 列 误差
总计
无交互效应的双因素方差分析
SS 78.2 32.4 28.6
139.2
df
MS
F P-value F crit
4 19.55 8.202797 0.001989 3.259167
二、F分布与拒绝域
如果均值相等， F= MSA/ MSE1
拒绝H0
a
F 分布
不拒绝H0
0
F
Fa(k-1,n-k)
三、F-检验
1. 将组间均方与组内均方进行比较，分析差异是否显著 – F=(MSA÷MSE)~F(因子自由度，残差自由度)
2. 用F分布作出决策，给定的显著性水平a – 若F>Fa(或P<a) ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异显著，因素对观察值有显 著影响
【 例 】研究员想挑选出能使小麦亩产量最大的化肥，选了三个品牌的化肥：A，B和C。
观测值
1 2 3 4 5 6 7 8
因子
A
570 560 610 580 590 580 630 600
品牌
B
660 760 670 710 630 730 640 680
C
水
平
540
580
530
550
520
560
510