江苏省扬州中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题

2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷
高二数学
一、填空题：
1.直线l ：2x -y +1=0的斜率为________
2.命题p ：∃x ∊R ，使得x 2
+1≤0的否定为______________ 3.直线l ：kx +y -2k =0经过定点的坐标为________
4.若命题p ：22
11114(,)x y x y R +<∈，命题q ：点11(,)x y 在圆224x y +=内，则p 是q 的______条件。

5.已知两条直线l 1:x +ay =2a +2，l 2:ax +y =a +1，若l 1⊥l 2，则a =_______
6. 命题p ：“若a >b ，则1a <1
b
”的否命题是___________（填：真、假）命题
7.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2
+4x -8y -44=0的公切线条数为_________
8.若直线20x y --=被圆2
2
()4x a y -+=所截得的弦长为a 的值为 .
9.离心率为2且与椭圆252
x ＋9
2y =1有共同焦点的双曲线方程是__________________
10.椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23- y 2
1＝1的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值
是______ ___
11.在平面直角坐标系xOy 中，由不等式所确定的图形的面积为___________
12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点A 、
P ，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心
率e =____ __.
13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
y 2x =的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则
MO
MF
的最大值为 . 14.已知对于点A （0,12），B （10,9），C （8,0），D （-4,7），存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则10k 的值为_______
二、解答题：
15.已知命题:p “方程
22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:q “方程22
12x y k k +=-
表示双曲线”.
（1）若p 是真命题,求实数k 的取值范围; （2）若“p q 或”是真命题,求实数k 的取值范围.
16.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的
切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D
两点，当CD =
CD 的方程；
17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2
倍。

倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决。

首先作一个通经为2a （其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线C 1，如图，再作一个顶点与抛物线C 1顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线C 2，且与C 1交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线C 1的对称轴作垂线，垂足为M ，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C 1的标准方程；
（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C 2的
标准方程（只须以一个开口方向为例）。

18.如图，△AOB 的顶点A 在射线l ：)0(3>=
x x y 上，A ，B 两点关于x
轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足｜AM |·｜MB ｜＝3．当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W ． （1）求轨迹W 的方程；
（2）设P (m ，0)为x 轴正半轴上一点，求｜PM |的最小值f (m )．
19.已知椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1（a ＞b ＞0）上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线l //DF ，且与y 轴交于
点P （0，t ），又在直线y ＝t 和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OQ ⊥OE （O 为坐标原点），连接EQ
（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆x 2+y 2
＝2相切；
（2）判断直线EQ 与圆x 2+y 2
＝2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由。

20.已知椭圆C ：x 216＋y 2
12＝1左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连
线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2
满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA
（1）求λ1·λ2的值
（2）求证：点Q 在一定直线上。

2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷
高二数学
一、填空题：
1.直线l ：2x -y +1=0的斜率为________2
2.命题p ：∃x ∊R ，使得x 2
+1≤0的否定为______________x ∊R ，使得x 2
+1>0 3.直线l ：kx +y -2k =0经过定点的坐标为________（2，0）
4.若命题p ：22
11114(,)x y x y R +<∈，命题q ：点11(,)x y 在圆224x y +=内，则p 是q 的_______条件。

充要．
5.已知两条直线l 1:x +ay =2a +2，l 2:ax +y =a +1，若l 1⊥l 2，则a =_______ 0
6. 命题p ：“若a >b ，则1a <1
b
”的否命题是___________（填：真、假）命题 假
7.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2
+4x -8y -44=0的公切线条数为_________2
8.若直线20x y --=被圆2
2
()4x a y -+=所截得的弦长为a 的值为 . 0或4
9.离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是_______4
2
x －122y =1
10.椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23- y 2
1＝1的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值
是_________13
11.在平面直角坐标系xOy 中，由不等式所确定的图形的面积为____________50π
解：由两个曲线的对称性，所求面积为圆面积的一半50π，也可具体分析第一象限围出的区域，注意对称
性即可。

12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点A 、P ，且PF 垂直于x 轴，直线
AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率e =______.
2
解：（11年江苏高考解几的逆命题）k PA k PB =-1 又k AF =12k PA =k AB ，由点差法k AB k PB = -b
2
a
2
所以12k PA k PB =-b 2
a 2=-12，所以a 2=2
b 2
，可得离心率为2
13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
y 2x =的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MO
MF
的最大值为 . 【解析】焦点F 1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，设(),M m n ，则22n m =，0m >，设M 到准线12x =-的距离等于d ，
则
MO
MF
==
=
=
=
==
．令1m-
=t 4，1t>4
， 则==≤
=
（当且仅当3
t=
4
时，等号成立）． 故
MO
MF
的最大值为
14.已知对于点A （0,12），B （10,9），C （8,0），D （-4,7），存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边上，设正方形S 面积为k ，则10k 的值为_______
解：设m 为过点B 的正方形S 的边所在直线的斜率，则该直线方程l 1：y -9=m (x -10) 即mx -y +(9-10m )=0
过点C 的正方形S 的边所在直线方程l 2：x +my -8=0 由于点D 到l 1的距离等于点A 到l 2的距离， 故
|-4m -7+9-10m |m 2+1=|12m -8|
m 2+1
解得：m =5
13
或-3
而当m =5
13时，点A 与C 在l 1的两侧，矛盾，
当m =-3符合，此时，k =(|12m -8|m 2+1)2=44
2
10
所以10k =1936 二、解答题：
15.已知命题:p “方程
22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:q “方程22
12x y k k +=-
表示双曲线”.
(1)若p 是真命题,求实数k 的取值范围; (2)若“p q 或”是真命题,求实数k 的取值范围.
解：(1)1<k<5 (3) 01k k <>或 （7分+7分）
16.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的
切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =
求直线CD 的方程；[来
解：（1）设(2,)P m m ，由条件可知2MP =，所以2
2
(2)(2)4m m +-=，解之得：4
0,5
m m ==
,
故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55
P ．
（2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为
2
2
所以
22=|-2k -1|1+k
2，解得k =-1或-17 故所求直线CD 的方程为：x +y -3=0或x +7y -9=0 （7分+7分） 17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2
倍。

倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决。

首先作一个通径为2a （其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线C 1，如图再作一个顶点与抛物线C 1顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线C 2，且与C 1交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线C 1的对称轴作垂线，垂足为M ，可使OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C 1的标准方程；
（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C 2的标准方程（只须以一个开口方向
为例）。

（6分+8分）
解（1）以O 为原点，OM 为x 轴正向建立平面直角坐标系，
由题意，抛物线C 1的通经为2a ，所以标准方程为y 2=2ax
（2）方法一：设抛物线C 2：x 2
=my （m >0）
又由题意OM 3
=x 2
p =2a 3
，所以x P =32a ，代入y 2
=2ax
得：y 2
p =232a 2
，解得y P =34a
所以点P （32a ，3
4a ）代入x 2
=my
得：(32a )2
=m 34a ，解得m =a
所以抛物线C 2为：x 2
=ay
方法二：设抛物线C 2：x 2
=my （m >0）
联立抛物线C 1、C 2得：
x 4=2am 2x ，解得x =0或x 3=2am 2
由题意OM 3= x 3=2am 2=2a 3
所以，m =a
所以抛物线C 2为：x 2
=ay
一点说明：古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”，试题也可有文化传承的功能。

18.如图，△AOB 的顶点A 在射线l ：)0(3>=
x x y 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线
段AB 上有一点M 满足｜AM |·｜MB ｜＝3．当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W ． （1）求轨迹W 的方程；
（2）设P (m ，0)为x 轴正半轴上一点，求｜PM |的最小值f (m )． 解：(1)因为A ，B 两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行．
设M (x ，y )，由题意，得A (x ，3x )，B (x ，－3x ) 所以｜AM ｜＝3x －y ，｜MB ｜＝y ＋3x ， 因为｜AM ｜·｜MB ｜＝3，
所以(3x －y )×(y ＋3x )＝3，即,13
2
2
=-y x
所以点M 的轨迹W 的方程为13
22
=-y x (x ≥1)．
(2)设M (x ，y )，则,)(||22y m x MP +-=
因为点M 在)1(13
2
2
≥=-x y x ，所以y 2＝3x 2－3，
所以,343)4
(432433)(||2
22
2
2
2
-+-=-+-=-+-=m m x m mx x x m x MP
若
14
<m
，即m ＜4，则当x ＝1时，|MP ｜min ＝｜m －1|， 若14≥m ，即m ≥4，则当4
m x =时，.12321
||2min -=m MP
所以，｜PM ｜的最小值⎪⎩⎪
⎨⎧≥-<<-=.4,1232
1,40|,1|)(2
m m m m m f （6分+10分） 19.已知椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1（a ＞b ＞0）上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线l //DF ，且与y 轴交于
点P （0，t ），又在直线y ＝t 和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OQ ⊥OE （O 为坐标原点），连接EQ
（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆x 2+y 2
＝2相切；
（2）判断直线EQ 与圆x 2+y 2
＝2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由。

解：（1）由题设D （0,2），F （2,0），A （2,0）
又AP //DF ，所以k AP =k DF ，可得t =2，
所以AP ：x 2+y
2
=1，即x +y =2
所以d =|-2|2
=2=圆x 2+y 2
＝2的半径，
所以直线AP 与圆x 2+y 2
＝2相切 （2）设Q (x 0,2)，E （x 1，y 1）
由OQ ⊥OE ，则→OQ ⊥→
OE ，可得x 0x 1+2y 1=0 而EQ ：(y 1-2)x - (x 1-x 0)y -(y 1-2)x 0+2(x 1-x 0)=0 d =|-(y 1-2)x 0+2(x 1-x 0)|(y 1-2)2 + (x 1-x 0)2=|y 1x 0-2x 1|(y 1-2)2 + (x 1-x 0)2
由x 0x 1+2y 1=0得x 0=-2y 1
x 1
代入上式
得d =2|y 21+x 21|
x 21(y 1-2)2 + (x 21+2y 1)2
=2|y 21+x 21|
(x 21+4 )(x 21+y 21)=2x 21+y 2
1
x 21+4
又x 2
1+2y 2
1=4，x 2
1=4-2y 2
1，代入上式得d = 2
所以直线EQ 与圆x 2
+y 2
＝2相切。

（6分+10分）
此题背景：此题以椭圆为背景，难点在于设椭圆上任意一点，得QE 直线方程，证明与圆相切，体现设而不求的想法，有一定的运算推理要求。

20.已知椭圆C ：x 216＋y 2
12＝1左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连
线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2
满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值
（2）求证：点Q 在一定直线上
解：（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-3
2(x +4)
又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6) 又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→
PQ 1+λ1，
同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝
→
PQ +λ
2→
PA
1+λ
2
又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ
1+λ1
又→PC //→
PD ，比较系数得3
2λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32
（此题本质是梅涅劳斯定理，由△QAB 及截线PCD ，可得λ1·λ2＝3
2，应给全分）
（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)
由→BC ＝λ1→
CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1
代入椭圆方程3x 2
+4y 2
＝48，得：3⎝
⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭
⎪⎫-3+λ1y 01+λ12
＝48
整理得：(3x 2
0+4y 2
0-48)λ2
1-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+96
3x 20+4y 20-48
同理由→QD ＝λ2→
DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2
代入椭圆方程3x 2
+4y 2
＝48，得：3⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 01+λ22
＝48
同理可得：λ2＝3x 20+4y 2
0-48
24x 0+96
又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 2
0+4y 2
0-4824x 0+96＝3
2
整理得：x 0-y 0+2＝0
即点Q 在定直线x -y +2＝0上
（6分+10分）
此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。

问题设计时，将几何关
系用适当的向量关系表出，既体现向量和解析几何的共性，又为解题指引方向。

第（1）小问充分体现了构图特点，为第（2）问埋下伏笔；第（2）体现了问题本质PF⊥QF。

原题：设椭圆的左焦点为O，左准线为z，A，B是椭圆上两点，使得OA⊥OB，AB交左准线z于点P，一直线过点P且交椭圆于C、D，AD交BC于点E，如图，求证：OE⊥OP。