一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用

解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
∫
1 1−u
+
1 1+ u
du
= 1 ln 1− u + C = 1 ln 1− cos x + C
2 1+u
2 1+ cos x
=
1 ln 2
(1− cos x)2 sin 2 x
+C
=
ln 1− cos x sin x
+C
= ln csc x − cot x + C.
类似可求∫ sec xdx.
3
5
7
∫ sin 2m x cos2n+1 xdx
∫= sin2m x(1− sin2 x)n d sin x(m, n ∈ Z + ) 28
∫ 例12 求 sin2 x cos4 xdx
解
原式==18∫∫(11
− +
cos 2 cos
2 2
x x
1 + − cos
cos 2x 2 dx 2 2 2 x − cos3 2
12
12
小结：例7－8被积函数经过适当的变形如加 减项或根式有理化，再应用凑微分。
25
例9
求
∫1+
1 cos
dx. x
解
原式
=
∫
(1
+
1 − cos x
cos x)(1 − cos
x
)
dx
=
∫
1 − cos 1 − cos2
x x
dx
=
∫
1 − cos x sin2 x
dx
=
∫
1 sin2
x
dx
−∫
27
∫ 例11 求 sin2 x ⋅ cos5 xdx.
解 原式 = ∫ sin2 x ⋅ cos4 xd(sin x) = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x)2 d(sin x)
= ∫ (sin2 x − 2sin4 x + sin6 x)d(sin x)
= 1 sin3 x − 2 sin5 x + 1 sin7 x + C .
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分的概念 §3.2 不定积分的计算方法 §3.3 定积分概念及性质 §3.4 积分学基本公式 § 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法
§3.7 定积分的应用
1
§3.1 不定积分的概念
• 3.1.1原函数与不定积分的概念 • 3.1.2不定积分的性质与基本积分公式
10
基 (1)∫ kdx = kx + C(k是常数);
本 积 分 公
∫ (2) xµdx = xµ+1 + C (µ ≠ −1);
µ +1
注：求∫ xµdx时，
(3)∫
1 x
dx
=
ln
x
+
C
;
若对µ无特殊的说明， 则需讨论µ＝－1和
式
∫ (4)
a xdx =
ax
µ ≠ －1两种情况求。
+ C(a 0, a ≠ 1);
=
1 2
∫
1 u
du
=
1 2
ln
u
+
C
=
1 2
ln 1 +
2 ln
x
+
C.
一般地
∫
f
(ln
x)
1 x
dx
=
∫
f
(ln
x)d
ln
x
21
∫ 例5 求
1 dx(a ≠ 0). a2 + x2
解
原式
=
1 a2
=1
a∫r1c+t1aaxn2 2xdx+=Ca1.
∫
1
+
1
x a
2
d
x a
a
a
∫ 例6 求
50
u du =
1
u51 + C =
1
(2x + 5)51 + C
2
102
102
一般地
∫
f
(ax
+
b)dx
=
1 a
∫
f
(ax
+
b)d (ax
+
b)(a
≠
0)
20
例4
求
∫
x(1
1 +2
ln
dx x)
.
解
原式=
∫
1
+
1 2 ln
d x
(ln
x)
=
1 2
∫
1
+
1 2 ln
d x
(1
+
2
ln
x)
u = 1 + 2ln x
几何意义：一个积分曲线族。
若求通过点 (x0, y0 )（称为初始条件）的积分
曲线，由初始条件可确定积分常数C 的值。
7
3.1.2 不定积分的性质与基本积分公式
1. 基本性质
(1) ∫[ f ( x) ± g( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx;
(2) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx.
（k 是常数，k ≠ 0)
[ ] ∫d
（3）
dx
f ( x)dx = f ( x), d[∫ f ( x)dx] = f ( x) dx
∫ （4）∫ F ′( x)dx = F ( x)+ C, dF ( x) = F ( x)+ C
8
结论：
1、微分运算与求不定积分的运算是互逆的； 2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看 是否等于被积函数；
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x)是区间I内的函数，若存在函数 F ( x), 3.1 使得对∀x ∈ I , 恒有F '( x) = f ( x)或
dF ( x) = f ( x)dx，则称F ( x)是f ( x)
在区间I内的一个原函数。
例 (sin x)′ = cos x sin x是cos x的原函数.
观察重点不同，所得结论不同.
18
例1 求∫ sin 2xdx.
解（一）原式=
1 2
∫
sin
2 xd (2 x )
=
−
1 cos 2x 2
+
C;
（二）原式 = 2∫ sin x cos xdx = 2∫ sin xd(sin x)= (sin x)2 + C;
（三）原式 = 2∫ sin x cos xdx = −2∫ cos xd(cos x)= −(cos x)2 + C.
sin 2
1 x cos2
x
dx
∫ 解
原式＝
sin 2 sin
x + cos 2 x cos2
2x x
dx
= ∫ sec2xdx + ∫ csc2xdx
Hale Waihona Puke = tan x − cot x + C
说明： 求不定积分时，先将被积函数化简 或运算，再利用不定积分的性质和 基本积分公式来求。
14
§3.2 不定积分的计算方法
1 sin2
x
d (sin
x)
= − cot x + 1 + C . sin x
dx
类似可求∫ 1+ sin x
26
例10 求 ∫ csc xdx.
解
原式
=
∫
1 sin
x
dx
=
∫
sin x sin2 x
dx
=
−∫
1
−
1 cos2
x
d (cos
x)
u = cos x
∫ = −
1
1 − u2
du
=
−
1 2
3.2.1 换元换元法 3.2.2 分部积分法
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法
问题 ∫ cos 2xdx= sin 2x + C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t = 2x ⇒ dx = 1 dt, 2
∫
cos
2
xdx
=
1 2
∫
cos
tdt
=
1 2
sin
t
+
C=
1 2
sin
2
三 sin αx sin βx = 1 [cos(α − β )x − cos(α + β )x]
角
2
函 cosαx cos βx = 1 [cos(α − β )x + cos(α + β )x]
数
2
2.倍角公式
关 系
sin x cos x = 1 sin 2x; 2
3.平方公式
sin2 x + cos2 x = 1;
=
1
1 + x2
,
∴
∫
1
1 +x
2
dx
=
arctan
x
+
C
.
∫ f (x)dx = F (x) + C
函数 f ( x)的原函数 F(x) 的图形称为 f ( x)的一条积 分曲线,将其沿 y 轴任意平行移动，可得 f ( x)的无穷 多条积分曲线 F(x) + C ，称为 f ( x)的积分曲线族。
(1 −
1 x2
x+ 1
)e xdx.
解
∴
x +
原式= ∫ e
1
′
xx+1
=
xd(
1
x
−
+
1 x2
,
1 )=
x
x+ 1
ex
+
C.
小结：例1－6应用凑微分可直接观察到。
22
常 1.积化和差公式：
用 的
sinαx cos βx = 1 [sin(α + β )x + sin(α − β )x]
称为 f ( x)在区间I 内的 不定积分，记为∫ f ( x)dx.
即
∫积
分 号
f
(
被
x
)dx被
积
积
函
表
数
达
式
=
F(x)
积 分 变 量
+
C任
意 常 数
注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数是 计算定积分、重积分与解微分方程的基础，故很重要.
5
例1
求
1 ∫1+ x2
dx.
解
(arctan
x
)′
(ln x)′ = 1 ( x > 0)
x ln x是 1 在区间(0,+∞)内的原函数.
x 注: 原函数不唯一,但不同的原函数之间只差一个常数.
3
定理3.1 若F(x) 是f (x) 在区间 I内的一个原函数，
则集合 {F(x) + C C为任意常数} 是由 f (x) 的原函数
全体构成的集合，其中 F(x) + C 称为 f (x) 的原 函数的一般表达式。
dx
−
1
e +
x
e
x
−∫
1
1 +e
dx
x d (1
+
e
x
)
= x − ln(1 + e x ) + C .
∫ ∫ (二)原式 =
e−x e−x +
dx= 1
−
d(e −x + 1) (e −x + 1)
= − ln(1 + e −x ) + C − ln e x + ln e x
= x − ln(1 + e x ) + C
2
x
+
C
.
16
在一般情况下：
设 F ′(u) = f (u), 则 ∫ f (u)du = F (u) + C.
如果 u = ϕ ( x)（可导）
(F[ϕ(x)])'= f [ϕ(x)]ϕ′(x)
∴ ∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx = F[ϕ ( x)] + C ∫ = [ f (u)du]u=ϕ ( x) 由此可得换元法定理
17
定理3.2 设 f (u)具有原函数 F (u) ， u = ϕ ( x)可导，
则有换元公式
∫ ∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx =[ f (u)du]u=ϕ(x) = F (ϕ(x)) + C
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g(x)dx 化为 ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx =∫ f [ϕ(x)]dϕ(x).
24
例8 求∫
1 2x + 3 +
dx. 2x −1
解
原式= ∫ ( 2x + 3 +
2x + 3 −
2x − 1)(
2x −1 2x + 3 −
2x − 1)dx
=
1 4
∫
2
x
+
3dx
−
1 4
∫
2x − 1dx
=
1 8
∫