湘教版八年级上册单元小结与复习

湘教版八年级上册单元小结与复习
第一章：分式
班级： 学号： 姓名：
一、课前构建：
认真阅读教材P 1－40回顾相关知识：
—分式的定义
—分式的概念——分式无意义
—分式的值为零
—分式的性质
分式— —乘、除运算
—分式的运算——整数指数幂的运算
—加、减运算
—分式方程
二、课堂点拨：
知识点一：分式的概念 ★考点1:分式的定义：
一个整式f 除以一个 （ ），所得的商
g
f
叫做分式。

例1、下列式子x
y x y x x x y x +--,,56,22
32π中，是分式的是 。

★考点2:分式无意义：
在分式
g
f
中，当g 时，分式无意义；g 时，分式有意义。

例2、当x = 时，分式12+x x
没有意义；当x 时，分式1
1+x 有意义。

★考点3:分式的值为零：
在分式
g
f
中，当f 且g 时，分式的值为0。

例3、若分式
1
1
x x -+的值为零，则x 的值为 。

知识点二：分式的性质
★考点4:分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘 ，所得分式与原分式相等。

即 （其中0≠h ）
分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

即 （其中0≠h ）
分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

即 。

例4、如果把分式
y
x xy
+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、缩小2倍
例5、根据分式的基本性质，分式b
a a
--可变形为（ ）
A 、b a a --
B 、b a a +
C 、b a a --
D 、b a a
+-
★考点5:最简分式
（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。

约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。

（2）最简分式：分子与分母没有 分式，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。

例6、化简xy x y x +-22
2的结果是（ ）A 、x y x 2- B 、x y x + C 、y x y x +- D 、x y x -
知识点三：分式的运算
★考点6:分式的加减法
①同分母分式相加减，分母 ，把分子 。

即 。

②异分母分式相加减，要先 ，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。

即 。

②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。

③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。

例7、计算2411111a a a
a a a
+-+-
--+的结果是 。

例8、已知两个分式：244A x =-，11
22B x x
=+
+-，其中2x ≠±，则A 与B 的关系是（ ） A 、相等 B 、互为倒数 C 、互为相反数 D 、A 大于B ★考点7:分式的乘除法
乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去
分子与分母的公因式。

即 。

除：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即
（其中 ）。

分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。

即 （其中n 是正
整数）。

例9、化简11112
-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+x x x = 。

例10、先化简22
2111
11x x x x x ⎛⎫-++÷ ⎪-+⎝⎭，再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值。

知识点四：分式方程
★考点8:分式方程的解法：
⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解方程：解上面所得的整式方程；
③检验：把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使 的根是原方程的根，使 的根是增根。

⑵换元法 也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数。

例11、解下列方程：
⑴x x x x -+-=+-3)2(4523 ⑵253113=-+-+-x x x x ★考点9:分式方程的应用：
分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。

除了解分式方程必须检验外，还需要检查原方程的根是否符合实际问题的要求。

例12、曙光中学计划组织学生观看爱国主义教育影片，包场费1500元；后来实验中学的200名师生也一同观看了影片，商定包场费1500元由两校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付2元，问曙光中学有多少人观看了影片？ 三、随堂巩固： 1、当x ＝ 时，分式
31－x 没有意义；当x 时，分式5
2-x 无意义。

2、当分式1
3
42-++x x x 的值为零时，x = 。

3、化简⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++÷--ab b a b a b a 22222= 。

4、若1233215,7x y z x y z ++=++=，则111
x y z
++= 。

5、方程
1
21x x x x
-+=+的解是 。

6、某同学解分式方程
01
1=--x x ，得出原方程的解为1x =或1x =-。

你认为他的解答对吗?
请你作出判断，并说明理由 。

7、当k =_____时，方程12+x +13-x =12-x k
无解。

8、分式
()()
433
+++x x x 有意义，则x 应满足（ ）
A 、x ≠-4
B 、x ≠-3
C 、x ≠-4或x ≠-3
D 、x ≠-4且x ≠-3
9、化简a
a a a a a 2422
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ） A 、-4 B 、4 C 、a 2 D 、a 2+4
10、若关于x 的方程
1011
--=--m x
x x 有增根，则m 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、－1
11、化简与计算：
⑴、x x x x x x x x 1321312222+÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+ ⑵、92)331(2-÷+-+x x x x ⑶、解方程：21133x x x -=--- 12、先化简代数式：221
21111
x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值。

13、先化简再求值：222
1412211
a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足2
0a a -=。

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第二章：三角形
班级： 学号： 姓名：
一、知识构建 二、知识点拨
★考点1：三角形三边的关系
三角形的任意两边之和 第三边。

例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C 的取值范围是（ ）
A ．1<C<5
B ．4≤C≤6
C ．4<C<6
D ．1<C<6 ★考点2：三角形的高、角平分线和中线
①从三角形的一个 向它的 所在直线作 ， 和 之间的线段．．
叫做三角形的高线，简称三角形的高； ②在三角形中，一个角的 与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线．段．
叫做三角形的角平分线； ③在三角形中，连接一个顶点和它的对边 的线段．．
叫做三角形的中线。

例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（ ）
A.中线
B.高
C.角平分线
D.以上都不是
★考点3：三角形的内角和
三角形的内角和等于 。

例3、已知△ABC 中，∠A=20°，∠B －∠C=40°，则∠B=____。

★考点4：三角形按角分类
三角形中，三个角都是 的三角形叫做锐角三角形；有一个角是 的三角形叫做直角三角形；有一个角是 的三角形叫做钝角三角形。

例4：满足下列条件的△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC 是 ； (2) 112
3
A B C ∠=∠=∠，则△ABC 是
(3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC 是 ★考点5：三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一边的 所组成的角叫做三角形的外角； ②性质：三角形的一个外角等于 。

例5：在△ABC 中，∠A 的外角是80°，则∠B+∠C=（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
★考点6：命题与逆命题
①一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是，“那么”引出的部分是；
②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么这两个命题称为，其中一个叫做，另一个叫做。

例6：下列语句是命题的是（）
（1）两点之间，线段最短；（2）请画出两条互相平行的直线；
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（4）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.
A．（2）（3） B．（3）（4） C．（1）（2） D．（1）（4）
★考点7：真命题与假命题
正确地命题叫做，错误的命题叫做。

例7、下列命题中，属于假命题的是（）
A．若a-b=0，则a=b=0 B．若a-b＞0，则a＞b
C．若a-b＜0，则a＜b D．若a-b≠0，则a≠b
★考点8：等腰三角形的性质
定义：的三角形叫做等腰三角形；
①对称性：等腰三角形是图形，对称轴是；
②“三线合一”：等腰三角形上的高、中线及的角平分线重合；
③“等边对等角”：等腰三角形的两相等。

例8：等腰三角形的两边长为25cm和12cm，那么它的第三条边长为______；等腰三角形的一个外角是70°，则其底角等于°；等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有条。

★考点9：等边三角形的性质
定义：的三角形叫做等边三角形；
①等边三角形的三个内角，且都等于；
②等边三角形是特殊的三角形。

例9：等边三角形的对称轴有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
★考点10：等腰（等边）三角形的判定
等腰三角形的判定定理：的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）；
等边三角形的判定定理：①三个角都是的三角形是等边三角形；
②有一个角是的三角形是等边三角形。

例10：下列叙述不正确的是（）
A、有两个内角是700和400的三角形是等腰三角形
B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形
D、三个外角都相等的三角形是等边三角形
★考点11：线段的垂直平分线
F E D
C
B A
定义： 且 一条线段的 叫做这条线段的垂直平分线； 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ；
性质定理的逆定理：到线段两端距离 的点在线段的垂直平分线上。

例11：在△ABC 中，AB 边的垂直平分线交AC 于点E ，△ABC 和△BEC 的周长分别是24
和14，则AB= 。

★考点12：全等三角形的性质
定义： 的两个三角形叫做全等三角形；
性质：全等三角形的对应边 ；全等三角形的对应角 。

例12：已知△ABC≌△DFE，∠A=25°，∠C=96°，AC=10，则∠BOD 的度数是 ，BD 的长是 。

★考点13：全等三角形的判定
两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”； 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”；
两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；
分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

三、当堂测评
一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A ．5，6，11
B ．8，8，16
C ．4，5，10
D ．6，9，14
2. 在等腰三角形ABC 中，它的两边长分别为8cm 和3cm ，则它的周长为（ ） A ．19cm B ．19cm 和14cm C ．11cm D ．10cm
3. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1=50°，∠2=40° B ．∠1=50°，∠2=50° C ．∠1=∠2=45° D ．∠1=40°，∠2=40°
4. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为（ ）
5. 下列有关垂直平分线的说法中不正确的是( )
A 、垂直平分线是一条射线；
B 、垂直平分线是一条直线
C 、线段的垂直平分线是这条线段的对称轴；
D 、到线段的两端点距离相等的点在它的垂直平分线上。

6. 如右图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
7. 下列条件中，不能判定△ABC ≌△A′B′C′的是( )
A 、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′
B 、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′
C 、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′
D 、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
8. 如右图，在ABC ∆中，AB=AC ，AD=DE ，︒=∠20BAD ，=∠10EDC 则DAE ∠的度数为（ ）
A. ︒30
B.︒40
C.︒60
D.︒80 二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
9. 已知线段AB=8㎝，直线CD 是AB 的垂直平分线，且AB 交CD 于E ，则AE=
㎝,∠AEC= °。

10. 请将“同位角相等”改写成“如果···，那么···”的形式， 11. 一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形。

12. 已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____。

13. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________，底边长为________。

14. 已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______。

15. 如左图，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________。

16. 如右图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 。

三、解答题(本题共3小题，共36分) 17. 在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB 、BC 于D 、E ．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB ． 18、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于 D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．
19、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图
形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC ⊥BE .
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第三章：无理数
班级： 学号： 姓名： 一、课前构建：
认真阅读教材P 104－126回顾相关知识：
例1、判断下列说法是否正确；
(1)、—5是25的平方根； （ ） (2)、25的平方根是—5； （ ） (3)、0的平方根是0； （ ） (4)、﹣1的平方根是±1； （ ）
（5)、(—3)２的平方根是—3； （ ） （6）、16的值是±4。

（ ） 【归纳小结】正数有 个平方根，且它们互为 ；0有且只有 个平方根；
负数 平方根。

只有 数才有平方根。

知识点二：平方根和算术平方根的区别与联系 ★考点2:利用平方根、算术平方根的概念求值
例2、(1）、0.09的平方根是 ，算术平方根是 ；9
7
1的平方根是 ，算术平方
根是 。

（2）、
81的算术平方根为_________，04
.0=_________ 。

（3）、若2+x =2，则2x+5的平方根是_________ 。

例3、（-2）2的算术平方根是（ ）A ． 2 B ． ±2 C ．－2 D ． 2 知识点三：立方根
★考点3：求一个数的立方根 例4、求下列各式的值；
(1)、 3
8 (2)、 3
064.0 （3)、 3125
8
- (4)、
()3
3
9
例5、若4)4(33-=-k k ，则k 的值是 。

【归纳小结】一个正数有 个立方根，是 数；负数有 个立方根，是 数；
0的立方根是 ；任何数的立方根有 个。

知识点四：无理数
★考点4：无理数的概念 例5、无理数是（ ）
A 、无限循环小数
B 、无限小数
C 、带根号的数
D 、无限不循环小数 例6、四个数－5，－0.1，１
２，３中为无理数的是( ).
A. －5
B. －0.1
C.
１
２
D. ３
例7、31的整数部分是________，小数部分是___________； 知识点五：实数
★考点5:实数的概念及分类
例8、下列各数填入相应的集合内：-5，3.7π-填入相应的集合里。

有理数集合___________________________,无理数集合_________________________________, 正实数集合___________________________,负实
数
集
合
_________________________________. 例9、和数轴上的点一一对应的是（ ）
A 、整数
B 、有理数
C 、无理数
D 、实数 ★考点6:实数的相反数、绝对值、倒数的意义
例102的相反数是 ，绝对值是 ；
= ；
⑶3π-= ；
★考点7：实数的大小比较
例11、如在实数0，2
,23
--中最小的是（ ）.
A ．2
3
- B ． C ．0 D ．｜－2｜
★考点8:实数的加、减、乘、除、乘方运算 例12、计算下列各式的值；
（102013(3)(1)|2π-+-+- （2）
+|﹣3|﹣（π﹣2013）0．
（3）()()033201142
2---+÷- （4）()0
2
331380.1252⎛⎫+-+⨯- ⎪⎝⎭ 例13、解方程；
（1）4)3(92=-y （2）()01253273
=++x
三、随堂巩固：
1、a 的算术平方根是5，则a= ,它的另一个平方根是 。

22()x y =+，则x －y 的值 。

3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。

4、若2a 的算术平方根是2，则=a ______.
5、若a a a -=+-2442，则a 的取值范围是________.
6、的相反数是 ，绝对值是 。

7、比较大小：－７ -。

8、当x _______时，3132=x x ；当x _______时，3
132-=x x .
10a 和b 之间，即a b <，那么a 、b 的值是 。

11、按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是___________； 12、4的算术平方根是（ ）
A ．2±
B ．2
C ．
D
13x 的取值范围是（ ） A ．2x ≥
B ．2x >
C ．2x <
D ．2x ≤
14、四个数－5，－0.1，
１
２
，３中为无理数的是( ). A. －5 B. －0.1
C. １
２
D. ３ 15、下列运算正确的是（ ）
A ．(1)1x x --+=+
B =
C 22=
D ．222
()a b a b -=-
16、对于实数a 、b ，给出以下三个判断：
①若a b ==a b <，则a b <． ③若a b =-，则()2
2a b -=．其中正确的判断的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
17、若,x y x y ，为实数，且20x +=，则2009
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为（ ）
A ．1 B.-1 C.2 D.-2
18、设()1
2
012,3,c 2a b d -⎛⎫
==-== ⎪⎝⎭
，则a b c d ，，，按由小到大的顺序排列正确的是
（ ）
A ．c a d b <<<
B ．b d a c <<<
C ．a c d b <<<
D ．b c a d <<< 19、计算：（1）|－3|＋(－1)2011
×(π－3)0
－3
27＋(1
2
)－2
（2）()
)
1
2011
11715-⎛⎫
---+ ⎪⎝⎭
（3）)
()1
12153-⎛⎫
-+
--- ⎪⎝⎭
202()4440x y x y +--+=，求x －y 的立方根。

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第五章：二次根式
班级： 学号： 姓名：
一、课前构建：
认真阅读教材P 154－173回顾相关知识：
二、课堂点拨：
知识点一：二次根式的概念
二次根式：式子)0( ≥a a 叫做二次根式。

★考点1: 最简二次根式：①被开方数的因数是 ，因式是 ；
②被开方数中不含 。

例1：在根式()5
,,27,53,162,3,34，392222xy y x y x xy y x x -+中，最简二次根式有 。

★考点2: 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数 二次根式，叫同类二次根式。

例2：若最简二次根式a -1与242-a 是同类二次根式，则a = 。

知识点二：二次根式的性质
⑴、())0( 2≥=a a a (a 0)
(0)a a a a ≥==-≤ ⑶、)00( ≥≥⋅=，b a b a ab ⑷、
)0，0( >≥=b a b a b a 例3：（1）已知30<<x ，化简()5122--+x x 的结果是 。

（2）化简()2
2224412-++--+-x x x x x 的结果是 。

知识点三：二次根式的运算 ⑴二次根式的加减：将各根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

⑵二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，所得的积仍作为积的被开方数，并
将运算结果化为最简二次根式。

0,0)a b =≥≥
②多项式的乘法公式适用于二次根式的乘法。

⑶二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，所得的商仍作为商的被开方数，并
将运算结果化为最简二次根式。

0,0)a b
=≥> 补充：分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。

常用的有理化因式有:a 与a ,d c b a d c b a 与± ⑸二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

例4：先化简，再求值：
ab a b ab b ab ab a --+++，其中32,32-=+=b a 。

三、随堂巩固：
1、化简:。

2、已知2x <<5, 化简22)5()2(-+-x x =___________。

3、如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式, 则a =__________。

4、从8、12、18、42中随机抽取一个根式与2是同类二次根式的概率是_____。

5、等式) ()(2++=-y x y x 中的括号应填入 。

6…, (第n 个数)。

7、将棱长分别为a cm 和b cm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为 cm 。

(不计损耗)
8、观察下列分母有理化的计算：
12121
-=+，23231
-=+， 34341
-=+，
=
1)
+⋅⋅⋅＝__ _。

9、若 2-x 有意义，则x 的取值范围（ ）
A 、x >2
B 、x ≥ 2
C 、x <2
D 、x ≤ 2
10、已知0a <
2a 可化简为（ ）
A 、-a
B 、a
C 、-3a
D 、3a
11、当0m <时,
的结果是( ) A 、-1 B 、1 C 、m D 、-m
12、已知2x <,
）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、 2x -
13、下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A 、6
B 、8
C 、12
D 、18
14
、设22a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是（ ）
A 、a b c >>
B 、a c b >>
C 、c b a >>
D 、b c a >>
15
=3―a 的正整数a 的值有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
16、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A 、3 B 、– 3 C 、1 D 、– 1
17、当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴x 25-中x ； ⑵－12+x 中x ； ⑶21
-x 中x 。

18、化简下列各式：
（1）a
a a a a 4422+--（0＜a ＜2） （2）2)(a
b b a b a -+-⋅- 19、化简：23923922-++++x
x x x （0＜x ＜3） 20、已知131,131
+=-=b a ，求值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a ab 。