高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 课时跟踪训练14

课时跟踪训练(十四)
(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)
题组一 求曲线在某点处的切线方程
1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15 [解析] ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝
lim Δx →0
(1＋Δx )3＋11－12Δx
＝ lim Δx →0
1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1
Δx
＝lim Δx →0
[3＋3(Δx )＋(Δx )2
]＝3，∴切线的方程为y －12＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝12－3＝9.
[答案] C
2．过曲线f (x )＝x 1－x 上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )
作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为( )
A.13
B.23 C ．1 D ．－53
[解析]当Δx＝0.5时割线的斜率为f(2＋0.5)－f(2)
0.5
＝
2＋0.5
1－(2＋0.5)
－(－2)
0.5＝2
3
，选B.
[答案] B
题组二求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[解析]∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝lim
Δx→0 (x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋1－x2－ax－1
Δx
＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
[答案] A
4．已知曲线y＝x2
4的一条切线的斜率为
1
2，则切点的横坐标为
()
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 切线的斜率k ＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－
f (x )Δx ＝(x ＋Δx )24－x 2
4Δx
＝x
2，则x 2＝1
2.所以x ＝1，即切点的横坐标为1.
[答案] A
题组三 几何意义的应用
5．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )
A ．f ′(x 0)>0
B ．f ′(x 0)<0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
[解析] 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12<0.
[答案] B
6．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图象是( )
[解析]不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB 与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
[答案] D
综合提升练(时间25分钟)
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直
D ．与x 轴相交但不垂直
[解析] ∵f ′(x 0)＝0，∴y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝0，所以在点(x ，f (x 0))处的切线与x 轴平行或重合．
[答案] B
2．曲线y ＝1
x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.3π4
[解析] Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝1
1＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ，
lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0
－11＋Δx
＝－1，斜率为－1，倾斜角为3π
4.
[答案] D
3．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( )
A ．3,3
B ．3，－1
C ．－1,3
D ．－1，－1
[解析] 由题意，得f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1. [答案] B
4．已知抛物线y ＝f (x )＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．－1
B ．2
C ．－1
2 D ．1
[解析] 由题意，因f ′(x 0)＝2，切线斜率为2，则x 0为切点的横坐标，所以联立⎩⎨⎧
y ＝x 2y ＝2x ＋b ⇒x 2－2x －b ＝0，由Δ＝0解得b ＝1，此时方程的根为x ＝1，所以切点的横坐标为1，选D.
[答案] D
5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )__________f ′(b )(填“<”或“>”)．
[解析] f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜
率，故f′(a)>f′(b)．
[答案]>
6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝__________.
[解析]由题意，f′(4)＝－2.f(4)＝－2×4＋9＝1.因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
[答案]－1
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
[解](1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
[解]如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几
乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地.。