计算机图形学-二维图形变换与裁剪ppt课件

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基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
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基本几何变换——比例变换
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基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
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Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
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规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y

1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
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规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
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基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
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基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
矩阵形式：
x 'y ' x y T xT y
Tx，Ty称为平移矢量。
X (d)关 于 x=y对 称
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基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
图 关于x轴对称
Y
x x y y
10 xy x y x ' y ' 0 1
P(x,y) X P'(x,-y)
1 0 0
0 0 1 0 0 1
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基本几何变换——二维变换矩阵
ab p x ' y ' 1 x y1 T x y 1 c d q 2 D l ms
ax cy l bx dy m px qy s
ax cy l x px qy s
计算机图形学二维图形变换与 裁剪
图形变换
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观察与思考
零件三视图
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观察与思考
三视图投影示意图
4
图形变换
从不同角度观察物体，会看到不同的形状 形状的变化可以通过图形变换来实现 图形变换是计算机图形学的基础内容之一 通过图形变换 可由简单图形生成复杂图形 可用二维图形表示三维形体 可对静态图形经过快速变换而获得图形的动 态显示效果
行的几何变换。
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变换的分类
几何变换
平移
旋转 缩放 错切
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变换的分类
投影变换（二维表示三维）
正投影（三视图） 轴测投影 透视投影
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图形与矢量
点的表示：二维图形中的点可以用坐标（x,y）来表示，也可
以用矢量[x,y]来表示。
二维 行矢量 [x y] 三维 行矢量 [x y z]
性质：A(B· C)=(A· B)C
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点坐标的变换
点坐标
：
P =[x
y]
新坐标
变换
P ' x ' y ' x ax cy ： y bx dy
：
a b T c d
矩阵表示 ：
变换矩阵 ：
ab xy ax cy bx d y P P T cd
齐次坐标表示法的优点
便于变换合成 便于硬件实现
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规范化齐次坐标
齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量
( x , y ) ( xh , yh , h ) h 0
不同的h值对应二维坐标上相同的点
只有h=1时，点的齐次坐标x,y才与二维坐标的 x,y值相等 规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示
x'= r cos(α+θ) = r cosα cosθ-r sinα sinθ = x cosθ-y sinθ
Y
θ r
y'= r sin (α+θ) = r cos α sin θ+r sin α cos θ = x sinθ +y cosθ
矩阵： x ' y ' x cos y sin , x sin y cos
注意：x’项中有x和y分量，y’项中也有x和y分量， 这意味着x，y共同 对新矩阵P’产生作用。
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单位矩阵
单位矩阵：
1 0 0 1
10 xy xy x ' y ' 01
由上式可见变换前后的坐标不变， 因此图形也不变， 这是恒等变换。 图形变换子程序中有：[]×T，当T改变时，则变换的 结果也发生改变。 绘图软件中常把变换矩阵的初始值设为单位矩阵。
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第3章 二维变换和裁剪
基本几何变换与基本概念
图形几何变换的数学基础
二维图形几何变换的计算 复合变换 变换的性质
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基本几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平 移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图 形在方向、尺寸和形状方面的变换。 基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进
y1 y2 yn
z1 z2 zn
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数学基础 1
设有两个矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
( x , y ) ( x , y , 1 )
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齐次坐标表示的实现
给二维点增加一维，给变换矩阵增加一列 变换后的点也增加一列
a b0 x y1 c d0 ax cy l bx d y m 1 l m 1
结果：平移变换也可使用矩阵乘法来进行计算
x 二维 列矢量 y
三维 列矢量
图形的表示
所有n个点。 二维空间上 的所有点
用nx2 或 nx3 矩阵来表示二维或三维图形上

x y z

x1 y1 x2 y2 xn yn
三维空间上 的所有点
x1 x 2 xn
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数学基础(2)
矢量的数乘
k ux k U k u y k uz
U V u v u v u v x x y y z z
矢量的点积
U V V U
性质
U V 0 U V
U U 0 U 0
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规范化齐次坐标——旋转变换矩阵
旋转变换：
cos sin x ' y ' xy sin cos

sin 0 cos x x y 1 ' y ' 1 sin cos 0 0 1 0
分析问题：
不同的变换使用乘法和加法等不同算法，不利于程序的统一 调用 如果能够将多种算法统一成一种算法，则编程变得方便
解决问题：
采用齐次坐标技术可以使所有变换全都使用乘法
P P T
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齐次坐标技术
齐次坐标表示法
由n+1维向量表示一个n维向量 采用齐次坐标技术，图形变换转换为矩阵相乘这一 单一问题 从而可以借助计算机高速计算功能，快速得到变换 后的图形。为高度动态的计算机图形显示提供了可 能性。
a b a b a b a b a b a b a b a b a b 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 11 13 12 23 13 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 21 1122 2123 3121 1222 2223 3221 1322 2323 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
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数学基础(4)
矩阵的乘法
a b 11 a 12 a 13 11 b 12 b 13 A B a a a b b b 21 22 23 21 22 23 a b 31 a 32 a 33 31 b 32 b 33
Sx=Sy>1
原图 ÔÍ ¼
原图 ÔÍ ¼
Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a) Sx=Sy比例
图 比例变换
(b) Sx<>Sy比例
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基本几何变换——比例变换
推导：
x' a x y' d y
矩阵形式：
a0 x ' y ' ax dy xy 0d
矩阵的数乘
a ka 11 a 12 a 13 11 ka 12 ka 13 k a a a ka ka ka 21 22 23 21 22 23 a ka 31 a 32 a 33 31 ka 32 ka 33
cos sin xy sin cos
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矩阵表示的问题
发现问题：

平移变换: P P T 的运算为加法， 比例变换: P P · T 的运算为乘法. 旋转变换: P P · R的运算为乘法. 复合变换：T=T1· T2 · T3 · T4 · T5 的运算为乘法.
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数学基础(3)
矩阵 单位矩阵 矩阵的加法
a11 a12 a a 21 22 a 31 a 32 a11 b11 a 21 b21 a 31 b31 a13 b11 b a 23 21 a 33 b31 a12 b12 a 22 b22 a 32 b32 b12 b13 b22 b23 b32 b33 a13 b13 a 23 b23 a 33 b33

Sx 0 0 x' y' 1 x y 1 0 Sy 0 0 0 1
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规范化齐次坐标——整体比例变换
整体比例变换：
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 0 0 S y 规范化 x x y S 1 S S
'
bx dy m y px qy s
'
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基本几何变换——对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原 点的镜像。
Y
Y
Y
X
X
X (b)关 于 y轴 对 称
(a)关 于 x轴 对 称
(c)关 于 原 点 对 称
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基本几何变换——对称变换
Y
Y
X (e)关 于 x=-y对 称
a c l
b d m
p q s
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基本几何变换——对称变换
(2)关于y轴对称
Y
x x y y
P'(-x,y)
p(x,y) X
1 0 xy xy x ' y ' 01