河北衡水中学高考调研内部学案(数学).ppt

【答案】 ①x＋y－2＝0 ②a≤0 时无极值，a>0 时极小值 a－alna，无极大值
(2)已知 a∈R，求函数 f(x)＝x2·eax 的单调区间与极值．
【解析】 f′(x)＝(x2)′eax＋x2(eax)′ ＝(ax＋2)·x·eax， ①当 a＝0 时，f′(x)＝2x， ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，0)，在 x＝0 处取极小值．
为增函数；
当 2<x<3 时，f′(x)<0，故 f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知 f(x)在 x＝2 处取得极大值 f(2)＝92＋6ln2，在 x＝3
处取得极小值 f(3)＝2＋6ln3.
【答案】
1 (1)2
(2)增区间(0,2)，(3，＋∞)，减区间(2,3)，
极大值92＋6ln2，极小值 2＋6ln3
∴f(－2－ 5)＝[1－(－2－ 5)2][(－2－ 5)2＋8(－2－ 5)＋ 15]＝(－8－4 5)(8－4 5)＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15)＝－9. f(－2＋ 5)＝[1－(－2＋ 5)2][(－2＋ 5)2＋8(－2＋ 5)＋ 15] ＝(－8＋4 5)(8＋4 5)＝80－64＝16. 故 f(x)的最大值为 16.
探究 1 掌握可导函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求方程 f′(x)＝0 的根． (3)用方程 f′(x)＝0 的根和不可导点的 x 的值顺次将函数的 定义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由 f′(x)＝0 的根左右的符号以及 f′(x)在不可导点左右 的符号来判断 f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步 骤不可缺少，f′(x)＝0 是函数有极值的必要条件．
例 2 (1)函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极 小值，则 a 的取值范围是________．
【解析】 ∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]， ∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)． 令 3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即 x2＋2ax＋a＋2＝0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值， ∴方程 x2＋2ax＋a＋2＝0 有两个不相等的实根． 即 Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2 或 a<－1.
②当 a>0 时，令 f′(x)>0，∴x<－2a或 x>0. ∴此时 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)和(0，＋∞)， 单调递减区间为(－2a，0)，函数在 x＝－2a处取极大值，在 x ＝0 处取极小值．
③当 a<0 时，令 f′(x)>0，∴0<x<－2a. ∴此时 f(x)的单调递增区间为(0，－2a)，单调递减区间为(－ ∞，0)和(－2a，＋∞)，函数在 x＝－2a处取极大值，在 x＝0 处取 极小值． 【答案】 增区间(0，－2a)，减区间(－∞，0)和(－2a，＋∞) 函数在 x＝－2a处取极大值，在 x＝0 处取极小值．
∵a>0，∴f(x)与 f′(x)变化情况如下表：
(－∞，－
x
－1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
1)
f′(x) ＋
0
－ 0－
0
＋
f(x)
23a＋c
c
－23a＋c
∴－23a23＋a＋c＝c＝4，1，
解得 a＝94，c＝52，b＝145.
【答案】 a＝94，c＝52，b＝145
探究 2 已知极值求参数值或范围时，关键是利用单调性判 断出哪个是极大值点，哪个是极小值点．
f0＝c>0， 则f2＝13×23－22＋c<0，
解得 0<c<43.
【答案】
4 0<c<3
(2)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. ①设 a＝2，求 f(x)的单调区间； ②设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求 a 的取值范围．
【解析】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 x∈(－∞，2－ 3)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－ 3)上 单调递增； 当 x∈(2－ 3，2＋ 3)时，f′(x)<0，f(x)在(2－ 3，2＋ 3) 上单调递减； 当 x∈(2＋ 3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋ 3，＋∞)上 单调递增． 综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)和(2＋ 3，＋∞)， f(x)的单调减区间是(2－ 3，2＋ 3)．
3．(2014·衡水调研)函数 y＝lnx2x的极小值为________． 答案 0 解析 函数的定义域为(0，＋∞)，令 y＝f(x)， f′(x)＝2lnx－x2 ln2x＝－lnxxln2 x－2.
函数 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，e2) e2 (e2，＋∞)
例 1 (2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
【解析】 (1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 故 f′(x)＝2a(x－5)＋6x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a. 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－ 8a)(x－1)． 由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12.
思考题 1 (1)(2013·福建)已知函数 f(x)＝x－alnx(a∈R)． ①当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； ②求函数 f(x)的极值． 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax. ①当 a＝2 时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， ∴曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－ 1)，即 x＋y－2＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x>0)，
f′(x)＝x－5＋6x＝x－2xx－3.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3，可得
x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(பைடு நூலகம்)
极大值
极小值
当 0<x<2 或 x>3 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上
3．函数的最值的概念 设函数 y＝f(x)在 [a，b]上连续，在 (a，b) 内可导，函数 f(x) 在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数 y＝f(x)的最 大(最小)值． 4．求函数最值的步骤 设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a， b]上的最值，可分两步进行： (1) 求f(x)在(a，b)内的极值 ； (2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值 ．
5．(2013·课标全国Ⅰ)若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像 关于直线 x＝－2 对称，则 f(x)的最大值为________．
答案 16
解析 ∵函数 f(x)的图像关于直线 x＝－2 对称， ∴f(x)满足 f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)， 即b0＝ ＝－ －18591－6－ 3a4＋a＋ b，b， 解得ab＝ ＝81， 5. ∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15. 由 f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0， 得 x1＝－2－ 5，x2＝－2，x3＝－2＋ 5. 易知，f(x)在(－∞，－2－ 5)上为增函数，在(－2－ 5，－ 2)上为减函数，在(－2，－2＋ 5)上为增函数，在(－2＋ 5，＋ ∞)上为减函数．
1．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列 结论中错误的是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)上单调 递减 D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
【答案】 a>2 或 a<－1
(2)已知 f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)．若 f(x)在 x＝±1 处有极值， 且极大值为 4，极小值为 1，求 a，b，c.
【思路】 显然有 f′(1)＝f′(－1)＝0.难点区分：x 为何值 f(x)取得极大值．x 为何值 f(x)取得极小值．
【解析】 f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)， 依题意知 x＝－1，x＝1 为方程 5ax2－3b＝0 的两根． ∴5a＝3b. ∴f′(x)＝5ax2(x2－1)＝5ax2(x＋1)(x－1)． f(x)＝ax5－53ax3＋c.
(2)当函数 f(x)在 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大(小)值的方法： 如果 x<x0 有 f′(x) > 0，x>x0 有 f′(x) < 0，那么 f(x0)是极大 值； 如果 x<x0 有 f′(x) < 0，x>x0 有 f′(x) > 0，那么 f(x0)是极 小值．
2．求可导函数 f(x)极值的步骤 (1)求导数f′(x) ； (2) 求方程f′(x)＝0的根； (3)检验 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的值的符号，如果在 根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y＝f(x)在这个根处 取得 极大值 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么 函数 y＝f(x)在这个根处取得 极小值 ．
②由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，且 x>0， (ⅰ)当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数， 函数 f(x)无极值； (ⅱ)当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－ alna，无极大值． 综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－alna，无极大 值．
f′(x) － 0 ＋ 0
－
f(x)
0
4 e2
则当 x＝1 时，函数 y＝lnx2x取到极小值 0.
4．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2 在 x＝－1 时有极值 0， 则 m＝________，n＝________.
答案 2 9 解析 f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意，f′(－1)＝3－6m＋n ＝0 且 f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0.解得nm＝＝31， 或nm＝＝92.， 但 m＝1，n＝3 时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0 恒成立．即 x＝－1 不是 f(x)的极值点，应舍去．
思考题 2 (1)已知函数 f(x)＝13x3－bx2＋c(b，c 为常数)．当 x＝2 时，函数 f(x)取得极值，若函数 f(x)有三个零点，则实数 c 的取值范围为________．
【解析】 ∵f(x)＝13x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx. ∵x＝2 时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得 b＝1. ∴当 x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当 x∈(－∞，0) 或 x∈(2， ＋∞)时，f(x)单调递增． 若 f(x)＝0 有 3 个实根，
答案 C 解析 ∵x0 是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图 所示，则在(－∞，x0)上不单调，故 C 不正确．
2．若函数 y＝ex＋mx 有极值，则实数 m 的取值范围( )
A．m>0
B．m<0
C．m>1
D．m<1
答案 B
解析 y′＝ex＋m，则 ex＋m＝0 必有根，∴m＝－ex<0.
第 3 课时 导数的应用(二)——极值与最值
2014•考纲下载
理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值 及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范 围.
请注意！
极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形 式较多.
1．函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点， 都有 f(x) < f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值 ＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x) > f(x0)，那么 f(x0) 是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与极小值统 称为极值．