人教版高中数学课件-等比数列的前n项和

【解析】
1.因為 an=12，所以數列{an}是首項a1=2，公比q=2的
等比數列an，Sn=2 1 2=n 126，即2n+1=128，解得n=6.
答案：6
1 2
2. 顯然滿足S3+S6=S9，所以q=1符合題意；
若q≠1，則有 a1 1 q3 a1 1 q6 a1 1 q9 ，
)n
.
2
【延伸探究】 1.(變換條件)若將典例中條件“Sn=2an-a1，且a1，a2+1， a3成等差數列”改為“數列{an}是公比為q(q≠1)的等比 數列，a1=1”，其他條件不變，試用Sn表示Tn.
【解析】因為Sn=a1(1 qn ) 1 qn ， 1q 1q
所以Tn=
1 a1
[1 1
(3)若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列 的偶數項的和與奇數項的和，則 ①在其前2n項中， =q；
S偶 ②在其前2n+1項中，S奇S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1
a1 a q 2n1 a1 a2n2 (q 1).
1q 1 q
【題型探究】 類型一 利用公式求等比數列前n項和 【典例】(2015·四川高考)設數列{an}(n=1，2，3，…) 的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差數列. (1)求數列{an}的通項公式. (2)設數列 的前n項和為Tn，求Tn.
(1)若數列{an}是非常數列的等比數列，則其前n項和 公式為：Sn=-Aqn+A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*). (2)注意到指數式的係數和常數項互為相反數，且A=
a1 . 1q
(3)當q≠1時，數列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖像是 函數y=-Aqx+A圖象上一群孤立的點. 當q=1時，數列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖像是正比 例函數y=a1x圖象上一群孤立的點.
2.等比數列{an}中，首項a1=8，公比q= 1 ，那麼它的 2
前5項的和S5的值是( )
31
33
35
37
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
【解析】選A.
S5
8[1 (1 2
1 1
)5
]
31. 2
2
3.等比數列1，x，x2，x3，…（x≠0）的前n項和Sn為
1 xn A.
1 x
1 xn C. 1 x
(x
列{an}一定是等比數列.( )
【解析】(1)不正確.只有當公比不等於1時，才可以用 這個公式求和. (2)不正確.當公比等於-1，n為偶數時，前n項和為0.
(3)不正確.根據和與項的關係，當n≥2時，an=an-an-1 =an-1(a-1)，因為a不等於0和1，所以從第二項起{an} 一定為等比數列，若b=-1，則該數列{an}為等比數列， 否則不是. 答案：(1)× (2)× (3)×
=2(n≥2). an 則a n{1an}是以a1為首項，2為公比的等比數列. 又由題意得2a2+2=a1+a3， 即2·2a1+2=a1+4a1，解得a1=2，則an=2n(n∈N*).
(由2等)由比題數意列得求a和1n 公(n21式n∈得N*)， Tn
1 2
[1 (1 2
1 1
)n
]
1
(1 2
5.若一個等比數列{an}的前4項的和為15 ，公比為 1 ，
則其首項a1為__________.
8
2
【解析】由題知
a1[1
(
1 2
)4
]
15.
所以a1=1.
答案：1
1 1
8
2
【知識探究】 知識點1 等比數列前n項和公式 觀察圖形，回答下列問題：
問題1：你會計算1+2+22+23+…+263嗎？等比數列的前n 項和公式中涉及哪些量？如何計算？ 問題2：如何從函數觀點研究等比數列前n項和公式？
由an=a1qn-1和 Sn
a1
1 qn 1q
126，
2qn1 64， 64qn1 2，
得
2
1
qn
或
64
1
q
n
1q
126
1q
126，
解得
n q
6，或 2
n q
6， 1. 2
方法二：當q=1時，經檢驗不合適，由題意可得
a1 1 qn1 66，①
a12qn1 128，②
1)，
nx 1
1 xn1 B.
1 x
1 xn1 D. 1 x
(x
1)，
nx 1
()
【解析】選C.當x=1時，Sn=1+1+…+1=n， 當x≠1時，Sn=1+x+x2+…+1xn=xn .
1 x
4.等比數列{an}中，若a1=1，ak=243，公比q=3，則 Sk=__________. 【解析】Sk= 1 2433 =364. 答案：364 1 3
2.5 等比數列的前n項和 第1課時 等比數列的前n項和
【知識提煉】 等比數列的前n項和公式
na1
a1(1－qn ) 1－q
na1
a1－a n q 1－q
【即時小測】
1.判斷
(1)求等比數列的前n項和可以直接套用公式
()
(S2n )等a1(比11數qqn列) . 的前n項和不可以為0.(
)
(3)數列{an}的前n項和為Sn=an+b(a≠0，a≠1)，則數
【解題探究】1.典例1中，數列{an}是等比數列嗎？求 n的基本思路是什麼？ 提示：由an+1=2an確定數列{an}為首項a1=2，公比q=2的 等比數列.根據Sn=126列方程求n.
2.典例2中，是否可以直接利用公式Sn= a1(1 qn )， 1q
根據條件S3+S6=S9轉化為關於q的方程求解？ 提示：不可以.應分q=1和q≠1兩種情況討論.
【總結提升】 1.對等比數列前n項和公式的三點說明 (1)求和公式中是qn，通項公式中是qn-1，不要混淆. (2)應用求和公式時注意公比q的取值，必要時應討論 q≠1和q=1的情況. (3)利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中， 各已知三個量可求第四個量.
2.函數觀點下的等比數列前n項和公式
【解析】由4a3-a6=0得q3=4，
S3
所以 S6 1 q6 1 q3 5. S3 1 q3
類型二 利用公式構建方程(組)求關鍵量 【典例】1.(2015·全國卷Ⅰ)數列{an}中a1=2，an+1=2an， Sn為的前n項和，若Sn=126，則n=_____________. 2.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=S9，求數列 {an}的公比q的值.
n2 n2
n n
7 1 2n1，n为正奇数， 12 3 4 4 2n，n为正偶数.
4 2 3 3
【方法技巧】等比數列前n項和公式的基本運算 (1)應用等比數列的前n項和公式時，首先要對公比q=1 或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討 論.
(2)當q=1時，等比數列是常數列，所以Sn=na1； 當q≠1時，等比數列的前n項和Sn有兩個公式.
3
【方法技巧】等比數列前n項和運算的技巧 (1)在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及 五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基 本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答. (2)對於基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通 常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整 體代換.
知識點2 等比數列前n項和的性質 觀察如圖所示內容，回答下列問題：
問題1：若等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sm+n，Sn與 Sm(m，n∈N*)有什麼關係？ 問題2：若等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n-Sn， S3n-S2n成等比數列嗎？
【總結提升】等比數列前n項和的三個常用性質 (1)數列{an}為公比不為-1的等比數列，Sn為其前n項和， 則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍構成等比數列. (2)若{an}是公比為q的等比數列，則Sn+m=Sn+qnSm(n， m∈N*).
23
22n1 22 1 22
8 (4n 3
1).
3.(變換條件、改變問法)若把典例中條件改為 “ 【解an=析】n2n，由1n，a为nn正为=偶正n数奇1，数，求，n为數正列奇{数an，}的前n項和Sn. 可知數列{an}的所2n有，n奇为數正項偶数構，成以2為首項，以2為公 差的等差數列，所有偶數項構成以4為首項，以4為公 比的等比數列，
②將÷q=a①1q得3代1q入3q=①2 18得，54，，即②aq1==128，，
1
2
所以
an
8 (1 )n1 24n， 2
Sn
8[1 (1 2
1 1
)n
]
16(1
1 2n
).
2
2.(變換條件、改變問法)若將本題條件“a2=6，
6a1+a3=30”改為“4a3-a6=0”，試計算 S6 .
由②a1 可11得qqnqn-112=6，③
代入①，得 128， a12
a1
(1
128 a12
)
66，
化簡得a12-66a1+128=0， 解得a1=2或a1=64. 當a1=2時，得qn-1=32， 將a1=2和qn-1=32代入③，得
=126，解得q=2.
又2 1qn3-12=q 32，即2n-1=32=25，所以n=6.
(1 q 1
)n
]
1 qn q n1 (1
q)
Snq1n
.
q
2.(改變問法)典例條件不變，計算a1·a2+a2·a3+a3·a4 +…+an·an+1. 【解析】因為an=2n，所以an·an+1=2n·2n+1=22n+1， 所以a1·a2+a2·a3+a3·a4+…+an·an+1 =23+25+…+22n+1
1q
同理，當a1=64時，可解得q1= ，n=6. 2
綜上所述，n的值為6，q=2或1 .
2
【補償訓練】等比數列{an}的首項a1>0，公比q>0，前 n項和Sn=80，其中最大的一項為54，前2n項和S2n= 6 560，求a1和q.
【解析】由Sn=80，S2n=6 560知q≠1.
所以
解得q=-1，所以1所 q求公比1q=q±1. 1 q
【延伸探究】典例2條件“S3+S6=S9”改為“S2=7， S6=91”，其他條件不變，結果如何？
【解析】因為S2=7，S6=91，易知q≠1，
所以
a1 1 q 7，
a1 1 q6
91，
所以 1 q
所以qa41+1q2q-1121=q0q1， 所q2 以qq4 2=931，，q=± .
當已知a1，q與n時，用Sn=
a1 (1
qn
比較方便； )
當已知a1，q與an時，用Sn= 1 q 比較方便.
a1 anq
1q
【補償訓練】設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn.
【解析】設數列{an}的公比為q，由題設得a1q 6， 當解a得1=aq31，23q，或=2aq時1，32. ，an=3×2n-1，Sn=3×(2n6-a11)；a1q2 30.
當n為正奇數時，
Sn
n 1 2
2
n
1( 2
n 1
2 2
1)
2
n1
4(1 4 2 )
1 4
n
1
當n14為n2正 n偶 1數72 時 13， 2n1.
Sn
n 2
2
n 2
(n 1) 2 2
2
4(1 1
n
42
4
)
1 n2 n 4 4 2n， 4 233
所以數列{an}的前n項和為
Sn
1
4
1
a1
1q 1q
n
80，①
所以qan1=1181qq，2n 因 6為56q0>，0②，所以q>1，又a1>0.
當a1=2，q=3時，an=2×3n-1，Sn=3n-1.
【延伸探究】
1.(變換條件)若將本題條件“a2=6，6a1+a3=30”改為 “a1+a3=10，a4+a6= ”，則結果如何？
5 4
【解析】設公比為q，
由已知得 a1 a1q2 10，
即
a1
a1q3
a1q5
5， 4
1 q2 10，①，
【變式訓練】等比數列{an}的前n項和為Sn，已知
a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求n和公比q的值.
【解析】方法一：在等比數列{an}中，
a1an=a2an-1=128.
又a1+an=66，所以
aa11an
an
66， 128，
解得aa1n
2或， 64
aa所1n 以624q，，≠1.
{1} an
【解題探究】本例中如何得到數列{an}的遞推公式？
若數列{an}是等比數列，則數列{ 1 } 是等比數列嗎？ 提示：直接利用前n項和Sn與通項aann的關係推出數列{an}
的遞推公式.數列{an}是等比數列，則數列 也是等
1
比數列.
{}
an
【解析】(1)當n≥2時，有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1 則an=2an-1(n≥2)，