苏州市2019～2020学年第一学期高三数学上学期期中调研试卷附答案解析

苏州市2019～2020学年第一学期高三上学期期中调研
数学试卷
(满分160分，考试时间120分钟) 2019．11
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＞0}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z 满足
z
2＋i
＝i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________． 3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a⊥b ，则实数x 的值是________． 4. 函数y ＝
lg （x －1）
2－x
的定义域为________．
5. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5＝________．
6. 已知tan α＝2，则
sin α
cos α＋2sin α
的值为________．
7. “x ＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
8. 已知函数y ＝sin 2x 图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度得到函数y ＝sin(2x ＋π
6
)的图象，则φ的值为________．
9. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x
，x ≥0，2x ＋1，x ＜0，则不等式f(x ＋2)＞f(x 2
)的解集为________．
10. 已知函数f(x)＝ln x －m
x 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是________．
11. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，已知a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________．
12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →.若AE →·EB →
＝－6，则cos C ＝________． 13. 若方程cos(2x －π6)＝3
5
在(0，π)上的解为x 1，x 2，则cos(x 1－x 2)＝________．
14. 已知函数f(x)＝3x 2
－x 3
，g(x)＝e x －1
－a －ln x ．若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3
∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值； (2) 求sin(A ＋C)的值．
16. (本小题满分14分)
已知向量a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)． (1) 若a∥b ，x ∈[0，π
2
]，求x 的值；
(2) 若f(x)＝a·b，x∈[0，π
2
]，求f(x)的最大值及相应x的值．
17. (本小题满分14分)
已知等比数列{a n}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．
(1) 求数列{a n}的通项公式；
(2) 设b n＝|a n－2n＋1|，求数列{b n}的前n项和T n.
18. (本小题满分16分)
如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4
m，BC＝
3
3
m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在
圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.
(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；
(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x－1
x .
(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；
(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{a n}满足(n－1)a n＋1＝na n－a1，n∈N*.
(1) 求证：数列{a n}为等差数列；
(2) 设数列{a n}的前n项和为S n.若a2－a1＝1，且对任意的正整数n，都有1
3
＜
1
S1
＋
1
S2
＋
1
S3
＋…＋
1
S n
＜
4
3
，求整数
a1的值；
(3) 设数列{b n }满足b n ＝a n ＋
310.若a 2－a 1＝1
5
，且存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t 是整数，求|a 1|的最小值.
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 从A ，B ，C 三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换) 已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 3.
(1) 求矩阵M ；
(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2
＝x ，求曲线C 的方程．
B. (选修44：坐标系与参数方程)
已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos β，
y ＝tsin β(t
为参数，0＜β＜π
2
)．若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．
C. (选修45：不等式选讲)
设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3
2
.
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是3
4
，甲、丙二人都没有击中目标的概率是
112，乙、丙二人都击中目标的概率是1
4
.甲、乙、丙是否击中目标相互独立． (1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；
(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
23. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.设λ＝b a
.
(1) 当λ＝3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2) 当平面AEF⊥平面A 1EF 时，求λ的值．
数学参考答案及评分标准
1. {1，2}
2. －1
3. 1
4. (1，2)
5. 31
6. 25
7. 充分不必要
8. π
12 9. (－1，2)
10. (－∞，－1e ) 11. 9 12. 13 13. －35
14. [1，e 2
－ln 3－4)
15. 解：(1) 由余弦定理cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ，且c ＝7，C ＝120°得a 2＋b 2
＋ab ＝49.(3分)
因为a －b ＝2，所以b 2
＋2b －15＝0.(5分) 因为b ＞0，所以b ＝3，a ＝5. 综上：a ＝5，b ＝3.(7分)
(2) 由(1)知a ＝5，b ＝3，c ＝7，所以cos B ＝a 2
＋c 2
－b 2
2ac ＝13
14.(10分)
因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝1－cos 2
B ＝3314.(12分)
因为sin(A ＋C)＝sin(π－B)＝sin B ＝33
14
， 所以sin(A ＋C)的值为33
14
.(14分)
16. 解：(1) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)，a ∥b ， 所以cos xsin x ＝3cos 2
x ，
所以cos x(sin x －3cos x)＝0，(2分)
所以cos x ＝0或sin x －3cos x ＝0，即cos x ＝0或tan x ＝ 3.(4分) 因为x∈⎣
⎡⎦⎤0，
π2，所以x ＝π2或x ＝π
3
.(6分) (2) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)， 所以f(x)＝a·b ＝cos 2
x ＋3cos xsin x(8分) ＝
1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin(2x ＋π6)＋1
2
.(10分) 因为x∈⎣
⎡⎦⎤0，
π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤
π6
，7π6， 所以sin(2x ＋π
6)∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32，(12分)
所以f(x)的最大值为32，此时x ＝π
6.(14分)
17. 解：(1) 设等比数列{a n }的公比为q(不为0)，
因为a 2 ，a 3＋1，a 4成等差数列，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4.(1分) 因为a 2＝2，所以2(2q ＋1)＝2＋2q 2
，
解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 1＝a 2
q ＝1，(3分)
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2
n －1
.(5分)
(2) 设c n ＝a n －2n ＋1＝2n －1
－2n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n
－2(n ＋1)＋1－(2n －1
－2n ＋1)＝2
n －1
－2，
所以n≥3，c n ＋1＞c n .(7分)
因为c 4＝1＞0，所以n≥4时，c n ＞0，即n≥4时，b n ＝c n ＝2
n －1
－2n ＋1.
因为c 1＝0，c 2＝－1，c 3＝－1，所以b 1＝0，b 2＝1，b 3＝1， 所以T 1＝0，T 2＝1，T 3＝2.(10分)
当n≥4时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝(0＋1＋1)＋b 4＋b 5＋…＋b n ＝2＋(23
＋24
＋…＋2
n －1
)－(7＋9＋…＋2n －1)
＝2＋23
（1－2n －3
）1－2－7＋2n －12
·(n －3)＝2n －n 2
＋3.(13分)
综上，T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，
1，n ＝2，
2，n ＝3，2n
－n 2
＋3，n ≥4.
(14分)
18. 解：(1) 如图，作OP⊥CD 分别交AB ，GH 于M ，N.
由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD
＝120°，
所以OM⊥AB，ON⊥GH，点P，M，N分别为CD，AB，GH的中点，∠CON＝60°. 在Rt△COP中，CP＝2，∠COP＝60°，
所以OC＝43
3
，OP＝
23
3
，
所以OM＝OP－PM＝OP－BC＝
3
3
.(3分)
在Rt△ONG中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝43
3
，
所以GN＝43
3
sin θ，ON＝
43
3
cos θ，
所以GH＝2GN＝83
3
sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝
43
3
cos θ－
3
3
，(6分)
所以S＝GF·GH＝(43
3
cos θ－
3
3
)·
83
3
sin θ＝
8
3
(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，
π
3
)，
所以S关于θ的函数关系式为S＝8
3
(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，
π
3
)．(8分)
(2) S′＝8
3
(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝
8
3
(8cos2θ－cos θ－4)．(10分)
因为θ∈(0，π
3
)，所以cos θ∈(
1
2
，1)，所以S′＝0，得cos θ＝
1＋129
16
∈(
1
2
，1)．(12分)
设θ0∈(0，π
3
)且cos θ0＝
1＋129
16
，
所以由S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在(0，θ0)上单调递增，
由S′＜0，得θ0＜θ＜π
3
，即S在(θ0，
π
3
)上单调递减，(14分)
所以当θ＝θ0时，S取得最大值，
所以当cos θ＝1＋129
16
时，矩形EFGH的面积S最大．(16分)
19. 解：(1) 因为f(x)＝x－1
x
，所以f′(x)＝
1
2x
＋
1
2x x
，所以f′(1)＝1.(2分)
因为y＝f(x)经过(1，0)，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1.(4分)
(2) 因为F(x)＝x－1
x
－x，x＞0，
所以F′(x)＝
1
2x
＋
1
2x x
－1，F′(x)在(0，＋∞)上递减．
又F′(1)＝0，(5分)
所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即F(x)在x∈(0，1)上递增；
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即F(x)在x∈(1，＋∞)上递减，(7分) 所以在x＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)
(3) 设g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a(x－1
x
)，x∈(0，1]，
所以g′(x)＝1x －a 2(1x ＋1x x )＝－a （x ）2
＋2x －a
2x x
.
①当a≤0时，g ′(x)＞0对x∈(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递增．
又g(1)＝0，所以∃x 0∈(0，1)时，g(x 0)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾；(10分) ②当a≥1时，设φ(x)＝－a(x)2
＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2
≤0，所以φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所
以g′(x)≤0对(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递减．
又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x∈(0，1]恒成立，所以a≥1成立；(12分)
③当0＜a ＜1时，设φ(x)＝－a(x)2
＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2
＞0，解φ(x)＝0得两根为x 1，x 2，其中x 2＝1＋1－a 2
a ＞1，x 1＝1－1－a 2a ＝a
1＋1－a
2
∈(0，1)，所以0＜x 1＜1，x 2＞1，所以x∈(x 1，1)，φ(x)＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在(x 1，1)上递增．
又g(1)＝0，所以g(x 1)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾．(15分) 综上：a≥1.(16分)
20. (1) 证明：因为(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *
①， 所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－a 1，n ≥2且n∈N *
②.
①－②，得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0，n ≥2且n∈N *
，(2分) 所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，n ≥2且n∈N *
， 所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1， 所以数列{a n }为等差数列．(4分)
(2) 解：因为a 2－a 1＝1，所以{a n }的公差为1.
因为对任意的正整数n ，都有13＜1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜4
3，
所以13＜1S 1＜43，所以34＜S 1＜3，即3
4＜a 1＜3，
所以a 1＝1或2.(6分)
当a 1＝1时，a 2＝2，S 1＝1，S 2＝3，
所以1S 1＋1S 2＝1＋13＝4
3，这与题意矛盾，所以a 1≠1；(7分)
当a 1＝2时，a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2＞0，1S 1＝12＞13，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＞1
3
恒成立．(8分) 因为1S n ＝23(1n －1n ＋3
)，
1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝23(1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －2－1n ＋1＋1n －1－1n ＋2＋1n －1n ＋3)＝23(1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3)＜119＜43
. 综上，a 1的值为2.(10分)
(3) 解：因为a 2－a 1＝15，所以{a n }的公差为1
5，
所以a n ＝a 1＋15(n －1)，所以b n ＝a 1＋15n ＋1
10.(11分)
由题意，设存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t ＝l ，l ∈Z ，
则a 1＋s 5－15＋a 1＋t 5＋1
10
＝l ，即20a 1＝2(5l －s －t)＋1.
因为5l －s －t∈Z ，所以2(5l －s －t)是偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥1
20.(14分)
当a 1＝120时，b 4＝19
20，所以存在a 1＋b 4＝1∈Z .
综上，|a 1|的最小值为
1
20
.(16分)。