基于推广B样条细分方法的曲面混合

基于推广B样条细分方法的曲面混合
沈永超;方美娥
【摘要】提出用推广B样条细分曲面来混合多张曲面的方法,既适用于一般网格曲面,又适用于推广B样条参数曲面混合.根据需要选择阶数和张力参数,可全局调整整张混合曲面的形状.中心点和谷点的计算都设置了形状参数,可局部调整混合部分形状.推导出二次曲面细分初始网格计算公式,并将3阶推广B样条细分曲面混合方法用于多张二次曲面混合,与已有的二次曲面混合方法相比具有明显的优势.
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2016(037)002
【总页数】6页(P172-177)
【关键词】曲面混合;推广B样条细分;控制网格;二次曲面
【作者】沈永超;方美娥
【作者单位】杭州电子科技大学图形图像研究所,浙江杭州310027;杭州电子科技
大学图形图像研究所,浙江杭州310027
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
曲面混合是计算机辅助几何设计领域中曲面造型的常用技术，大量文献对该问题进行了研究[1-7]，多张曲面混合方法包括偏微分方程法(partial differential equation, PDE)、势能方法、隐式曲面方法、参数曲面方法以及细分混合方法等。

这些方法有各自的优缺点，但对于多张曲面混合情形，其中大多数方法在混合部分
需要多张曲面拼接，可导致各部分曲面不兼容，拼接处的连续性比基曲面低，也不利于混合造型的后续操作，从这个角度看，细分混合方法具有较大优势，混合后的造型是一张整体的细分曲面，不存在拼接问题，且连续性与所选择的细分方法一致，混合效果较好。

文献[7]提出的细分混合方法具有代表性，其可用于4×5的曲面片的混合，采用Catmull-Clark细分方法，因此可用于一般网格混合，也可用于基
曲面是双三次B样条的情形。

本文研究基于推广B样条细分方法(generalized B-spline subdivision, GBS)的多张曲面混合，适用于一般网格混合以及任意次的推
广B样条曲面混合，曲面次数的任意性和该方法具有的张力参数可调性也使得混
合造型曲面形状调整方便，由于GBS方法可精确生成二次曲面，因此本文方法也
可用于二次曲面混合。

GBS方法是一种任意拓扑网格上任意阶带张力参数的非静态细分方法，细分极限
曲面在规则网格上为任意次推广B样条曲面(包含经典的B样条曲面、三角多项式空间及双曲多项式空间B样条曲面)，详见文献[8]，这里给出偶数阶和奇数阶的推广B样条细分规则。

1.1 偶数阶推广B样条曲面细分
令细分阶数为k，k为偶数，且k≥4，张力参数初值为u0。

在细分的第l层，假定当前控制网格为Ml，细分张力参数为ul，则第l层k阶推广B样条曲面细分包括
3个步骤：①中点插入；②非均匀光滑；③次均匀光滑。

在中点插入步骤中，为网格每条边计算中点，为每个面计算中心点。

然后，连接每点中心点和与该面相邻接的中点，并添加到Ml中，形成新的网格，记作Ml+1。

在非均匀光滑步骤中，网格的拓扑结构不变，只更新网格顶点。

更新顶点的规则为：， VE和Vold是在同
一条边上的点，而VF和Vold是在同一个面上的点，取，，且α(N)+ β( N)
+ γ( N)=1，N为相应顶点的邻接边数。

在均匀光滑步骤中，网格的拓扑结构同
样保持不变，顶点更新规则与非均匀光滑步骤类似，但系数不同，取。

另外，每细
分一层，细分张力参数按公式迭代更新一次。

1.2 奇数阶推广B样条曲面细分(一层)
令细分阶数为k，k为奇数，且k≥3。

在细分的第l层，假定当前控制网格为Ml，细分张力参数为u1，则第l层k阶推广B样条曲面细分包括2个步骤：①一次类Chaikin细化；②次均匀光滑。

第一步中，计算每个面中每个顶点的新顶点，即，这里是在当前面中位于同一条边上的点，而是当前面中除了Vold和的点，其中取，，拓扑规则与Doo-Sabin细分方法相同。

第二步拓扑不变，顶点更新规则与偶数阶算法第三步类似，系数不同，取，。

每层细分张力参数按公式迭代更新一次。

文献[7]针对4×5的网格提出了混合控制网格构造方法，本文为了混合网格适用于任意规模的网格，只提取基曲面2×2的部分网格来构造填补混合部分N边形洞的控制网格，基曲面其余部分网格则采用邻接面连接的方式填充混合网格，其顶点计算公式与提取部分边缘网格顶点相同，因此整个混合部分控制网格构造方法简单。

为了避免中心点成为高阶奇异点，采取了中心点向外偏移的办法构造中心多边形网格，避免了中心奇异点的出现。

混合网格构造分为4个步骤：辅助点、谷点、中
心点计算以及网格拓扑构建。

给定基曲面片为N片曲面，记第k片曲面Pk的控
制网格为。

2.1 计算辅助点
在每个基曲面上提取2×2四边形控制网格，借此构造3行辅助顶点，由于对每个
基曲面的操作相同，选取第k个基曲面为例，令其上提取的四边形控制网格的 4
个顶点为(在增加辅助点后的网格示意图 1中这 4个点重新编号，分别对应。

如图
1所示，是和的中点；是和的中点；是和的中点；是的和的平均；是和的中点；是和的中点；是点和的平均；是，，，和的平均；是的和的平均。

由此构造的前3行顶点就是构造混合控制网格时要用到的辅助点。

2.2 计算中心点
中心点V0的计算公式如下：
其中，α是可以任意指定的形状控制参数。

该公式能使中心点基本位于顶点集的中心，且偏离中心的方向与向量的和同向，由公式可以看出α越大，中心点在向量
的和的方向上偏离得就越大。

如果直接把V0与各个曲面片的相连，V0的度为N。

当N很大时，V0的度就会很大，V0就成为度很高的奇异点。

为了避免这种情况，将中心点分别沿的方向上偏移。

公式如下：
其中，β为可任意指定的形状控制参数，β 越大，在方向上的偏移就越大。

2.3 计算谷点
在第k片和第k+1片曲面之间新增顶点，称之为谷点，记为的公式如下：
其中，kα是可以任意选择的形状控制参数，kα越大，与的和的方向上的偏移就越大。

2.4 混合网格拓扑构建
2.4.1 阶为奇数
对 N个曲面片进行如下循环操作：对于第k(1, …, N)个曲面片，将，，依次相连
形成一个四边形；将依次相连形成一个三角形；将依次相连形成一个三角形。

最后依次连接N个中心偏移点，形成N边形，如图2(a)所示，其中在图中重新编号为，表示第k个谷点的前一个谷点，在图中重新编号为。

2.4.2 阶为偶数
混合之前先将谷点分别向和偏移，可得；，其中kθ是大于0小于1的形状控制参数，θk不能为0或1，如果θk为0，都是，如果kθ为1，，分别为。

计
算和时，如果有需要，kθ可以取不同的值。

然后，对N个曲面片进行如下循环操作：对于第k (1,… ,N )个曲面片，将，，依次相连形成一个四边形；将，
依次相连形成一个三角形，将，依次相连形成一个四边形。

最后依次连接N个中
心偏移点，形成N边形。

如图2(b)所示。

图3给出了一个六管道曲面混合的例子。

图3(a)是六管道的控制网格，图3(b)是
图3(a)混合之后的控制网格。

然后用GBS方法对图3(b)混合之后的网格进行细分，图3(c)是设置阶为4，张力参数为2时的结果，图3(d)是阶为8，张力参数为0.7的结果，取不同的阶数和张力参数得到不同形状的混合曲面，可方便地调整混合曲面的形状。

混合曲面的光滑性较好，连续性与GBS曲面一致，即采用k阶GBS方法混合则混合曲面整体保持Ck- 2阶连续，只有奇异点处为C1连续，关于GBS曲面的连续性证明见文献[8]。

针对多张二次曲面的混合问题也有很多相关研究，如GrÖnder基方法[9]、吴方法[10]、分片代数曲面方法[11]、切分结合S曲面补洞方法等[12]，与一般曲面混合类似，这些方法也存在多张曲面拼接问题，或要求基曲面满足较严格的约束条件，PDE方法及已有的细分混合方法也可用于二次曲面混合，但混合结果只能逼近作
为基曲面的二次曲面。

由于GBS曲面能精确生成二次曲面，因此运用本文提出的GBS混合方法混合多张二次曲面可以克服已有方法的缺陷，最终的混合曲面为一
张细分曲面，方法简单，又具有细分方法的高效性，且不存在拼接问题，由于采用3阶的GBS方法混合二次曲面，因此除个别奇异点外，整张混合曲面保持C1连续。

3阶GBS方法混合二次曲面步骤如下：首先根据基曲面所属二次曲面的类型，计
算出精确表示这些基曲面的GBS初始网格，同时确定张力参数，算法详见3.1节，然后运用2.4节的方法构造混合曲面初始网格，再利用3阶GBS方法生成最终的
混合曲面。

3.1 二次曲面(基曲面)细分初始网格构造
由于二次曲面(圆柱面、抛物面、双曲面、球面、圆锥面)可以看成二次曲线母线(直线、抛物线、双曲线、圆弧、射线)绕其轴线生成的旋转面，因此根据文献[8]旋
转曲面的细分初始网格算法，只需要推导出这些二次曲线的3阶推广B样条控制网格即可，然后利用文献[8]的算法2可计算对应二次曲面的细分初始网格。

为公式推导方便，先根据文献[8]对应的推广B样条基函数给出3阶推广B样条基函数及曲线的定义：
若，则函数Ni,3(t)为空间{cosωt,sinωt,1, t, t2}上的2次推广B样条基函数(均匀节点，节点区间长度e)，其中t∈[ie,( i+3)e]，
当ω=0时，Ni,2(t)按L’Hospital法则计算。

若给定控制顶点序列，则表示以为控制多边形的3阶推广B样条曲线。

下面分别推导3阶推广B样条曲线精确表示抛物线、双曲线和圆弧的控制顶点计算公式，由于GBS是对应细分方法的极限曲线，因此该控制顶点也是3阶推广B 样条细分生成的初始网格顶点。

(1) 令抛物线的标准方程为(x(t), y(t))=(t,at2+bt+ c), t∈[t1, t2)，根据
ω=0,P( t)=(x(t), y(t))求解可得细分生成该段抛物线的初始网格顶点Pi=(xi, yi)(i= 0,1,2)满足：
细分的张力参数。

(2) 令双曲线的标准方程为(x( t),y(t)) =(acosh(t), bsinh(t)), t∈[t1, t2)，根据ω=i, P( t)=(x( t), y( t))求解可得细分生成该段抛物线的初始网格顶点Pi( xi,
yi)(i=0,1,2)满足：
细分的张力参数。

(3) 令圆弧的标准方程为(x(t),y(t))=(acost , asint), t∈[t1, t2)，根据
ω=1,P(t)=(x(t), y(t))求解可得细分生成该段抛物线的初始网格顶点Pi( xi,
yi)(i=0,1,2)满足：
细分的张力参数。

对于一般方程，均可通过坐标变换转换成标准形式，根据标准方程计算出的控制顶
点实施相应的逆坐标变换即可获得该曲线的控制顶点。

3.2 二次曲面混合实例
给出4个图例来展示用本文的混合方法混合二次曲面的效果，因为基曲面都是二次曲面，均采用3阶的GBS混合方法，张力参数与基曲面一致，其中图4(a)取
u0=1，图4(b)、(d)中取u0=cos(π/4)，图4(c)取u0=cosh(π/4)。

推广B样条包含了经典的B样条、三角多项式样条和双曲多项式样条，因此基于推广B样条的细分方法在造型上具有适用于任意规模网格、阶数任意、张力参数可调的优势，又能精确地细分生成二次曲面，本文将其应用于一般曲面混合，比已有的细分混合方法造型更丰富，形状调整更方便，应用于二次曲面混合，比已有方法具有面片数少，混合方法简单，效率高等优势。

但奇数阶混合网格中存在一些奇异点影响混合效果，未来工作将进一步改进混合部分控制网格构造方法，减少奇异顶点。

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