D10-2二重积分的计算(ppt文档)

2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
化二重积分为累次积分关键：确定积分限
y
y

2
(x)

y
d
y 1(x) y
oa
x
xc
b
o
(图—1)
x 1( y) x 2( y)
x
(图— 2)
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
D
D1
D2
D3
4 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy

b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy

d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
1(
y
c
y) y

x
D
1 ( x)
z
书例4
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)

D
:
00

y x

R
R2

x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
例5. 计算
-1
不好算
说明:化二重积分为累次积分时，为计算简便, 要 选择合适的顺序。
例3. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域. 书例3
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2
y
y2
x
则
D
:

y2 1

x y

y 2

2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D : x1yx11
I
1 1
1 x
y
1 x2 y2 dydx
1
yx
-1
o x
1x
-1
1 3
1 1
(1
x2

y2
)
3 2
1
dx x
1 3
1 ( x 3 1)dx
1
2 1(x3 1)dx 1
x 2(y)
x
先对 x 积分， 视 y 为常数
二重积分
累次积分
小结：
1 如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
计算：先y后x
f ( x, y)d
D xyd 1dyy2 xy d x

2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
dy

1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2
第十章
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算
思路： 将二重积分转化为累次积分：
一个变上限定积分，一个定积分。
要根据 f , D 的特点选择合适的 坐标系,确定积分限。
一、在直角坐标系下的计算
设f ( x, y)在D上可积,则积分值与划分的 方 法 无 关 ！ 故 可 以 取 特殊 的 划 分 方 法 计 算 二重积分
y
y dy y
d dxdy
x
o
x x dx
几何分析：曲顶柱体体积的计算
z f (x, y)

x x0
I f ( x, y)dxdy
z y 2(x)
z=f (x,y)
D
设曲顶柱的底为
y
D
D


(Hale Waihona Puke x,y)1
(
x) a

y x


b
2
(
x)
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11

y x

x 2
书例1
y
I
2
dx
1
x xyd y 1
2 1

1 2
xy2
xd
1
x
2 y
yx
1

2
1
1 2
x3

1 2
x
dx

9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:

y 1

x y

2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y

2 d
y
y

2 1
2
y

1 2
y3
dy 9 8
例2. 计算 I y 1 x2 y2 d , D
书例2
其中D 是直线 y＝x, x＝-1, y＝1 所围的闭区域.
y
解. 将D看作X–型区域, 则
视 x 为常数
同样, 曲顶柱的底为
D (x, y) 1( y) x 2 ( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f (x, y) d
D

d
[
2 ( y) f (x, y) dx ]d y
c 1( y)
d
x 1(y)
y c

o
30
2
例2. 计算 I y 1 x2 y2 d , D
其中D 是直线 y＝x, x＝-1, y＝1 所围的闭区域.
y
注意. 若D看作Y–型区域, 则
D
:
11
x y
y 1
y
-1
I
1 1
y
y 1
1 x2 y2 dxdy
1 yx
o 1x
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
D
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
3 若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
2 如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
计算：先x后y
f ( x, y)d
o a x0 b x y 1(x)
任取
截面积为
一般地
z y 2(x)
截面积为
y D
故曲顶柱体体积为
o a x bx
b
y 1(x)
V D f (x, y) d a A(x)d x

b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
先对 y 积分,