2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3

章末分层突破
①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)②y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)③(±a,0)(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0)⑦2
c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)⑩y ＝±b a x ⑪y ＝±a b
x
⑫y 2
＝±2px (p ＞0)⑬x 2
＝±2py (p ＞0)⑭⎝ ⎛⎭
⎪⎫
±p
2，0⑮y ＝±p
2
要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一
个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1|
|PF 2|
的值．
【精彩点拨】 要求|PF 1|
|PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，
求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．
【自主解答】 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2
＝a 2
－b 2
＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.
(1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2
＝|F 1F 2|2
＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨
⎪⎧
|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以
|PF 1|
|PF 2|
＝7
2
. (2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
.
即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2
，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．) 所以|PF 1||PF 2|＝2.
1．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )
A ．x 2
－y 28＝1(x ＞1)
B ．x 2
－y 2
8＝1(x ＜－1)
C ．x 2＋y 2
8
＝1(x ＞0)
D ．x 2
－y 2
10
＝1(x ＞1)
【解析】 设PM 、PN 与⊙C 分别切于点E 、F ，如图，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.
从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，
∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2
－y 2
8
＝1(x ＞1)．
【答案】 A
和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两
个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为
b
7
，求椭圆的离心率e .
【精彩点拨】 求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离，转化为离心率e 的方程求解．
【自主解答】 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a
，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b a
x ，
即bx －ay ＋ab ＝0.
又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得
d ＝
|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b
7
，
∴7·(a －c )＝a 2
＋b 2
.又b 2
＝a 2
－c 2
， 整理，得8c 2
－14ac ＋5a 2
＝0，
即8⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2－14c a
＋5＝0，∴8e 2
－14e ＋5＝0. ∴e ＝12或e ＝5
4(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e ＝12.
2．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n
2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程
是( )
A ．x ＝±152y
B ．y ＝±152x
C ．x ＝±
34
y D ．y ＝±
34
x 【解析】 由题意，3m 2
－5n 2
＝2m 2
＋3n 2
，∴m 2
＝8n 2
，令x 22m －y 23n ＝0，y 2
＝3n 2
2m x 2＝316
x 2，
∴y ＝±
34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±3
4
x . 【答案】 D
1.直线l ：f (x ，y )＝0和曲线C ：g (x ，y )＝0的公共点坐标是方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ，y ＝0，
g x ，y ＝0的解，l 和C 的交点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．
2．弦长公式：
(1)斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝ 1＋k 2
·[ x 1＋x 2 2
－4x 1x 2]或当k 存在且不为零时，|AB |＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|，(其中x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)根据根与系数的关系求得)．
(2)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)过焦点F 的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .
已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱
形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)． ①若|AB |＝42
5
，求直线l 的倾斜角；
②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →
＝4，求y 0的值．
【精彩点拨】 (1)建立关于a ，b 的方程组求出a ，b ；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解．
【自主解答】 (1)由e ＝c
a ＝32
，得3a 2＝4c 2. 由c 2
＝a 2
－b 2
，得a ＝2b .
由题意，知1
2
·2a ·2b ＝4，即ab ＝2.
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ，
ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.
所以椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由(1)知点A 的坐标是(－2,0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直
线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋2 ，x 2
4
＋y 2
＝1，
消去y 并整理，得(1＋4k 2
)x 2
＋16k 2
x ＋(16k 2
－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2
－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 2
1＋4k 2，从而y 1＝4k
1＋4k 2.
所以|AB |＝⎝
⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 2
1＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 22
＝41＋k
2
1＋4k
2. ①由|AB |＝425，得41＋k 2
1＋4k 2＝
42
5
. 整理，得32k 4
－9k 2
－23＝0，即(k 2
－1)(32k 2
＋23)＝0， 解得k ＝±1.
所以直线l 的倾斜角为π4或3π
4
.
②设线段AB 的中点为M ，
则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2
1＋4k ，2k 1＋4k . 以下分两种情况：
a ．当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →
＝(－2，－y 0)，QB →
＝(2，－y 0)．
由QA →·QB →
＝4，得y 0＝±2 2.
b ．当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2.
QA →＝(－2，－y 0)，QB →
＝(x 1，y 1－y 0)， QA →
·QB →
＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)
＝16k 2
－41＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k
1＋4k ＋6k 1＋4k ＝4 16k 4＋15k 2
－1 1＋4k 2 2
＝4， 整理，得7k 2
＝2，故k ＝±147
. 所以y 0＝±214
5
.
综上，y 0＝±22或y 0＝±214
5.
3．在抛物线y 2
＝16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．
【解析】 设所求直线与y 2
＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 2
1＝16x 1，y 2
2＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，
即
y 1－y 2x 1－x 2＝16
y 1＋y 2
，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2,1)得b ＝－15； 故所求直线方程为y ＝8x －15.
【答案】 8x －y －15＝0
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t 就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的普通方程，
设直线y ＝ax ＋b 与双曲线3x 2
－y 2
＝1交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过
原点，求P (a ，b )的轨迹方程．
【精彩点拨】 求点P (a ，b )的轨迹方程，即探究a ，b 满足的关系式，通过条件“以
AB 为直径的圆过原点”即可找出a ，b 满足的条件．
【自主解答】 联立方程组得：⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝ax ＋b ，3x 2－y 2
＝1，
消去y 得：(a 2－3)x 2＋2abx ＋b 2
＋1＝0. ∵直线与双曲线交于A ，B 两点，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－3≠0，
Δ>0解得：a 2
<3.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2ab a 2－3，x 1·x 2＝b 2
＋1a 2－3.
由OA →⊥OB →
，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.
又y 1y 2＝(ax 1＋b )(ax 2＋b )＝a 2
x 1x 2＋ab (x 1＋x 2)＋b 2
，
∴有b 2＋1a 2－3＋a 2·b 2＋1a 2－3－2a 2b 2a 2－3
＋b 2
＝0，
化简得：a 2
－2b 2
＝－1.
故P 点的轨迹方程为：2y 2
－x 2
＝1(x 2
<3)．
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
3
，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径
的圆与直线y ＝x ＋2相切．
(1)求a 与b ；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
【解】 (1)由e ＝c
a ＝
1－b 2a 2＝33，得b a ＝63
. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)法一：由c ＝a 2
－b 2
＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．
因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2
＋y 2
＝(x －1)2
，即
y 2＝－4x .
所以此轨迹是抛物线．
法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．
此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2
＝－4x .
1.(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值． 2．圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：
变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．
如图3­1所示，过抛物线y 2
＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、
B 两点．
图3­1
(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．
【精彩点拨】 (1)利用AB ⊥x 轴发现定点再证明．
(2)设直线AB 与x 轴交点M ，利用S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝1
2|OM |(|y A |＋|y B |)求解．
【自主解答】 (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，则y 2
0＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p,0)．
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联
立方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝2px ，y ＝k x －a ，消去x 得ky 2
－2py －2pak ＝0，
则y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB . ∴y 1y 2＝－x 1x 2.
由方程组消去y ，得k 2x 2
－(2k 2
a ＋2p )x ＋k 2a 2
＝0， 则x 1·x 2＝a 2
.因此，a 2
＝2pa .∴a ＝2p . 故直线AB 过定点(2p,0)．
(2)由(1)知：AB 恒过定点M (2p,0)．∴S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝1
2|OM |(|y 1|＋
|y 2|)≥p (2|y 1y 2|)．
又y 2
1＝2px 1，y 2
2＝2px 2，∴(y 1y 2)2
＝4p 2
x 1x 2.又∵y 1y 2＝－x 1x 2，于是|y 1y 2|＝4p 2
.故S △AOB
的最小值为4p 2
.
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，B 为椭圆短轴的一个顶点，过B 点作椭圆的弦BM ，求
弦长的最大值．
【解】 设M (x ，y )，B (0，－b )， 则有|BM |2
＝x 2
＋(y ＋b )2
，
由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2
＝a 2b
2(b 2－y 2)， 代入上式得|BM |2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a 2
b 2y 2＋2by ＋a 2＋b 2
＝b 2－a 2b 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫y －b 3a 2－b 22＋a 4c 2(－b ≤y ≤b )，
由于a ＞b ＞0，b 2－a 2b 2＜0，b 3
a 2－b
2＞0，
所以当b 3
a 2－
b 2≤b ，即a 2
≥2b 2
时，|BM |2
max
＝a 4
c
2；
当
b 3a 2
－b
2
＞b ，即a 2＜2b 2
时，
函数|BM |2
＝f (y )在上单调递增， 当y ＝b 时，|BM |2
max ＝4b 2
.
所以当a ≥2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝a 2
c
；
当a ＜2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝2b .
又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数．
已知P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：
以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切．
【精彩点拨】 根据椭圆的定义，结合图像中三角形中位线定理来解决问题． 【自主解答】
设以PF 2为直径的圆的圆心为A (如图所示)，半径为r . ∵F 1、F 2为焦点， ∴由椭圆定义知
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2r ， ∴|PF 1|＋2r ＝2a ，即|PF 1|＝2(a －r )． 连接OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |＝12|PF 1|＝1
2
×2(a －r )＝a －r .
故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切．
6．曲线x 2
＋y 2
＝4与曲线x 2
＋y 2
9＝1的交点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 画出图形，由图形知交点有4个．
【答案】 D
1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→
·MF 2
→
＜0，则y 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
33，33 B ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－223，223
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－233
，233
【解析】 由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→
，MF 2→
，然后利用向量的数量积公式求解．
由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→
＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→
＝(3－x 0，－y 0)．
∵MF 1→
·MF 2→
<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 2
0<0， 即x 2
0－3＋y 2
0<0.
∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20
2－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 2
0<0，∴－
33<y 0<
3
3
.故选A. 【答案】 A
2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为
( )
A.33
B ．23
C.
22
D ．1
【解析】 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 2
0＝2px 0，
即x 0＝y 20
2p
.
设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →
，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2 0－y ′ ，
化简可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝p ＋x 03，
y ′＝y
3
.
∴直线OM 的斜率为k ＝y 0
3p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0
＋y 0
≤2p 22p 2
＝2
2(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．
【答案】 C
3．如图3­2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，
且右焦点F 到左准线l 的距离为3.
图3­2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，
C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．
【导学号：32550097】
【解】 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2
c
＝3，
解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2
2
＋y 2
＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2(k 2
－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2
±2 1＋k 2
1＋2k
2
， C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2，
且AB ＝ x 2－x 1 2
＋ y 2－y 1 2
＝ 1＋k 2
x 2－x 1 2
＝22 1＋k 2
1＋2k
2
. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k
1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －2k 2
1＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2
＋2k 1＋2k 2 ，
从而PC ＝2 3k 2
＋1 1＋k
2
|k | 1＋2k 2
. 因为PC ＝2AB ，所以2 3k 2
＋1 1＋k 2
|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 2
1＋2k 2
， 解得k ＝±1.
此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.
4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B
的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为
510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
，求E 的方程．
【导学号：32550098】
【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝
510，从而b 2a ＝510
， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2
＝2b ，故e ＝c a ＝255
.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x
5b ＋y
b
＝1，点N 的坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2
b ，－12b .
设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，
则线段NS 的中点T 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫54
b ＋x 1
2，－14b ＋74.
又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧
54b ＋x 12
5b ＋－14b ＋7
4b
＝1，
72＋1
2
b x 1
－52
b ＝5，
解得b ＝3.
所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 2
45＋y 2
9
＝1.
5．如图3­3，设椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)．
图3­3
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 【解】 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2a
2＋y 2
＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2
kx ＝0，
故x 1＝0，x 2＝－2a 2
k 1＋a 2k
2.
因此|AM |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2a 2
|k |1＋a 2k
2·
1＋k 2
. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，
Q ，满足|AP |＝|AQ |.
记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 2
1， |AQ |＝2a 2
|k 2|1＋k 22
1＋a 2k 2
2
， 故2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 21＝2a 2
|k 2|1＋k 2
21＋a 2k 2
2， 所以(k 2
1－k 2
2)＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 2
1＋k 2
2＋a 2
(2－a 2
)k 21k 2
2＝0，
因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2
－2)．①
因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2
(a 2
－2)>1， 所以a > 2.
因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2.
由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22
.
所求离心 率的取值范围为0<e ≤2
2
.。