2024届湖南省邵阳市邵东县第一中学高三普通高校统一招生考试仿真卷(三)数学试题试卷

2024届湖南省邵阳市邵东县第一中学高三普通高校统一招生考试仿真卷（三）数学试题
试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．把函数2()sin f x x =的图象向右平移
12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]
②()g x 的一个对称轴是12x π=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
④()g x 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．复数21i z i
+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是
A ．z =
B ．z 的共轭复数为31+22i
C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 3．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值
范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 4．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x y z
+=（ ） A ．52- B ．2- C ．2 D ．72
5．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）
A ．正相关，相关系数r 的值为0.85
B ．负相关，相关系数r 的值为0.85
C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-
D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-
6．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( )
A ．2
B ．4
C ．23
D ．27 7．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）
A ．7?k >
B ．6?k >
C ．5?k >
D ．4?k >
8．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔
高，恰好为祖冲之发现的密率355113
≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A ．(4h π
B ．(2h π+
C ．(8h π+
D ．(2h π+ 9．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的极大值点为( ) A ．3
π- B ．6π- C ．6π D ．3π 10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的
面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
11．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49 B ．49- C ．43 D ．43
- 12．已知双曲线22
22:10,0()x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )
A B C ．4 D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.
14．如图，1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b
-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120
F B F B ⋅=，则双曲线C 的离心率是______.
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222
(2)(0)x y r r -+=>上有且仅有一对点,M N ，使得MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍，则r 的值为_______.
16．过点()()32,5,2A B ---，
，且圆心在直线3240x y -+=上的圆的半径为__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()x
f x e x =-，()()()ln
g x x k x k x =++-． （1）若1k =，()()f t g t ''=，求实数t 的值．
（2）若,a b R +∈，()()()()00f a g b f g ab +≥++，求正实数k 的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．
()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；
()2是否存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得34
B PAE D PFB V V --=
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y 上，且OA OB ⊥．
（1）证明：直线AB 与圆22
1x y +=相切；
（2）设AB 与椭圆C 的另一个交点为D ，当AOB 的面积最小时，求OD 的长．
20．（12分）如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点.
（1）求证：//FB 平面ACM ；
（2）求二面角M AC F --的大小.
21．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 22．（10分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解题分析】 由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
【题目详解】
由题,21cos 2()sin 2
x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝
⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误； 当12x π=
时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确； 当3x π
=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
【题目点拨】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用. 2、D
【解题分析】 利用复数的四则运算，求得1322
z i =
+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【题目详解】
由题意()()()()22121313111122
i i i i z i i i i i ++++====+--+-，
则22
z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
【题目点拨】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．
3、A
【解题分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由
导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得0
0242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.
【题目详解】
函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，
由题意得
()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=， 即00002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-， 令()ln 5h x x x =+-，
∴()111x h x x x -'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减，
∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，
∴44a ≤，
∴01a <≤.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题. 4、A
【解题分析】 由题意，可得2x z y +=
，2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2z y =-，代入即得解 【题目详解】
由x ，y ，z 成等差数列， 所以2
x z y +=，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=， 所以2
20x x z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-， 因为x ，y ，z 是不相等的非零实数， 所以
2x z =-，此时2
z y =-， 所以15222x y z +=--=-． 故选：A
【题目点拨】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5、C
【解题分析】
根据正负相关的概念判断．
【题目详解】
由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
6、A
【解题分析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.
【题目详解】
由于()2222244a b a b a a b b -=
-=-⋅+=2=， 故选：A.
【题目点拨】 本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.
7、C
【解题分析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5?
本题选择C 选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
8、D
【解题分析】
设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得
42a h =π，所以2h a π=，
，
所以需要灯带的总长度约为44(22h +π⨯=π+h ，故选D ．
9、A
【解题分析】
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.
【题目详解】
因为()11cos 222
f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12
f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦， 故可得3x π
=-或3
x π
=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3
π-
. 故选：A.
【题目点拨】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.
10、A
【解题分析】
根据||1OF =可知2
4y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【题目详解】
由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.
由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.
又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -=
=所以211||2
OMN S OF y y =⋅-=. 故选：A
【题目点拨】 本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
11、B
【解题分析】
由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【题目详解】
解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，
又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()
PA PB PC ⋅+
2||PA AP PA =⋅=-
又∵AM ＝1 ∴2||3
PA =
∴()
49
PA PB PC ⋅+=- 故选B ． 【题目点拨】
判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或
222
AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．
12、D 【解题分析】
设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据12
3PA PA k k =可得2
22
33y x a =-①，再根据又22
00221x y a b
-=②，由①②可得(
)()
22
2222033b a
x
a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．
【题目详解】
解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，
∵123PA PA k k =，
∴
00
00·3y y x a x a
=+-，即22
20033y x a =-，① 又2200
221x y a b
-=，②， 由①②可得(
)()
22
2
2220
33b a x
a b a -=-，
∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，
∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、乙、丁 【解题分析】
本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 【题目详解】
从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁.
【题目点拨】
本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 14、2 【解题分析】
根据三角形中位线证得1//AO BF ，结合120F B F B ⋅=判断出AO 垂直平分2BF ，由此求得b
a
的值，结合222c a b =+求得
c
a
的值. 【题目详解】
∵2F A AB =，∴A 为2BF 中点，1//AO BF ，∵120F B F B ⋅=，∴AO 垂直平分2BF ，
∴2160AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，即tan 60b a =︒=，∴b =，222234c a a a =+=，即2c
e a
==. 故答案为：2 【题目点拨】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15 【解题分析】
写出AB 所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于r 的等式，求解得答案． 【题目详解】 解：直线AB 的方程为
03
2013
y x -+=---+，即30x y ++=． 圆2
2
2
(2)(0)x y r r -+=>的圆心(2,0)
到直线AB 的距离
d =
=， 由MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍的点M ，N 有且仅有一对， 可得点M 到AB 的距离是点N 到直线AB 的距离的2倍， 可得MN 过圆的圆心，如图：
)r r +=-，解得r =
．
【题目点拨】
本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 1610 【解题分析】
根据弦的垂直平分线经过圆心,结合圆心所在直线方程,即可求得圆心坐标.由两点间距离公式,即可得半径. 【题目详解】
因为圆经过点()()32,5,2A B ---，
则直线AB 的斜率为()
()()
22235k --=
=---
所以与直线AB 垂直的方程斜率为1'2
k =-
点()()32,5,2A B ---，
的中点坐标为()4,0M - 所以由点斜式可得直线AB 垂直平分线的方程为()1
42
y x =-
+,化简可得240x y ++= 而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线3240x y -+=上,设圆心(),O a b
所以圆心满足2403240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得2
1a b =-⎧⎨
=-⎩
所以圆心坐标为()2,1O -- 则圆的半径为()()22
322110r OA ==-+++=
故答案为:
10
【题目点拨】
本题考查了直线垂直时的斜率关系,直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系,圆的半径的求法,属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1（2）1k
【解题分析】
（1）求得()f x '和()g x '，由1k =，()()f t g t '='，得()ln 110t
e t -+-=，令()()ln 11t
t e t ϕ=-+-，令导数求
得函数()t ϕ的单调性，利用()()00t ϕϕ≤=，即可求解．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--，利用导数求得()h x 的单调性，转化为()()()
ln 1h x h b ≥+，令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >），利用导数得到()t x 的单调性，分类讨论，即可求解． 解法二：可利用导数，先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤，
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解． 【题目详解】
（1）由题意，得()1x
f x e '=-，()()ln
g x x k ='+，
由1k =，()()f t g t '='…①，得()ln 110t
e t -+-=，
令()()ln 11t
t e t ϕ=-+-，则()11
t t e t ϕ='-
+， 因为()()
2
1
01t
t e t ϕ=+
+'>'，所以()t ϕ'在()1,-+∞单调递增，
又()00ϕ'=，所以当10x -<<时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增； 当0x >时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；
所以()()00t ϕϕ≤=，当且仅当0t =时等号成立． 故方程①有且仅有唯一解0t =，实数t 的值为1．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--（0x >）， 则()()1x
h x e b ='-+，
所以当()ln 1x b >+时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当()0ln 1x b <<+时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()()
ln 1h x h b ≥+ ()()
()()()()ln 100ln 1f b g b f g b b =++---+
()()()()ln 1ln 1ln b k b k b b k k =++-++-．
令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >）， 则()()()ln ln 1t x x k x =+-+'．
（i ）若1k >时，()0t x '>，()t x 在()0,+∞单调递增， 所以()()00t x t >=，满足题意． （ii ）若1k =时，()0t x =，满足题意．
（iii ）若01k <<时，()0t x '<，()t x 在()0,+∞单调递减， 所以()()00t x t <=．不满足题意． 综上述：1k ≥．
解法二：先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤…（*）． 令()1x
x e x ϕ=--，
则当0x ≥时，()10x
x e ϕ='-≥，()x ϕ单调递增，
当0x ≤时，()10x
x e ϕ='-≤，()x ϕ单调递减，
所以()()00x ϕϕ≥=，即()10x
e x x R --≥∈．
变形得，1x e x ≥+，所以1x >-时，()ln 1x x ≥+， 所以当0x >时，1ln x x -≥. 又由上式得，当0x >时，
11
1ln x x
-≥，1ln x x x -≥-，ln 10x x x --≤. 因此不等式（*）均成立．
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >）， 则()()ln h x x k a '=+-，
（i ）若ln a k >时，当a x e k >-时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0a x e k <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()
a
h x h e k ≥- ()()
()()()00a
a
g e k a e k f a f g =---+--
()11ln k a k k k =-+--．
（ii ）若0ln a k <≤时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞单调递增，
所以()()()()00h x h f a f >=- 1a e a =--．
因此，①当01k <≤时，此时ln 0k <，ln a k >，()()11ln 0h x k a k k k ≥-+--≥，
则需10,
10,
k k klnk -≥⎧⎨
--≥⎩
由（*）知，ln 10k k k --≤，（当且仅当1k =时等号成立），所以1k =． ②当1k >时，此时ln 0k >，0a >，
则当ln a k >时，()()11ln h x k a k k k ≥-+-- ()1ln 1ln k k k k k >-+-- ln 10k k =-+->（由（*）知）
； 当0ln a k <≤时，()10a
h x e a >-->（由（*）知）．故对于任意0a >，()0h x >．
综上述：1k ≥． 【题目点拨】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 18、()1证明见解析；()2 2. 【解题分析】
()1利用面面垂直的判定定理证明即可；
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，3
4
B PAE D PFB V V --=
的充要条件是
1
32
4
λλ
+=
，继而得出λ的值. 【题目详解】
解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE AD ⊥．
因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，
所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ，
所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=．
所以，111222
B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+=
==， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．
因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ+=， 所以，2λ=．
即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得3
4
B PAE D PFB V V --=，此时2λ=． 【题目点拨】
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．
19、（1）见解析； （2【解题分析】
（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设OA 的方程为y kx =，可求解得到2
2
2
22||12k
OA k +=+，
22||22OB k =+，可得O 到AB 的距离为1，即得证；
（2）表示AOB 的面积为2
1||||2S OA OB =⋅=，利用均值不等式，即得解.
【题目详解】
（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，
当OA 的斜率为0时，||OA =
||OB =
于是||2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆22
1x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，222212A k y k =+，从而22
2
22||12k OA k
+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B
在y =
上，故x =，
从而2
2
||22OB k =+，于是22
11
1||||
OA OB +=． 此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆22
1x y +=相切． 综上，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． （2）由（1）知，AOB 的面积为
2211211||||122k S OA OB ++=⋅===，
上式中，当且仅当0k =等号成立，所以AOB 面积的最小值为1． 此时，点
A 在椭圆的长轴端点，
B 为．
不妨设
A 为长轴左端点，则直线A
B 的方程为y x =，
代入椭圆C 的方程解得3
D y =
， 即2
89D y =
，2
29D
x =，所以||3
OD = 【题目点拨】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.
20、（1）证明见解析（2）45︒ 【解题分析】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，由//MO FB ，得出结论；
（2）以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可. 【题目详解】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ， 在DFB ∆中，//MO FB ，
又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以//FB 平面ACM ；
（2）由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面ABEF ，故
AF AC ⊥，又AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -，
设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，()4,0,0AC =，()2,1,1AM =-，
由4020m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩
，得()0,1,1m =，
平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =， 由12
cos ,22
AB m =
=， 故二面角M AC F --的大小为45︒.
【题目点拨】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21、
【解题分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【题目详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即
，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
【题目点拨】 本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
22、 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34
E X =
；(Ⅲ)4 【解题分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【题目详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520
⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328
C p X C ===. 故分布列为： X
0 1 2 p 514
1528 328 ()0121428284
E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥. 故m 的最小值为4.
【题目点拨】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。