新人教版数学八年级下册(初二下)精品教案,导学案(含同步练习)：第十六章 二次根式

新人教版数学八年级下册（初二下）精品教案
第十六章二次根式
16.1二次根式（第1课时）
16.1 二次根式（第2课时）
注意：
●单独的一个数或者是单独的一个字母也叫
做代数式.如：0，b，2006都是代数式.
●只有用运算符号连接而成的式子才是代数
式，用其它符号连接而成的式子不是代数式，
如：x＋1＝3，是等式而不是代数式.再如：y
－3≥0是不等式，但是，不等式的两边也是
代数式.
充.
对于注意事项,教师要加以补充
和强调其必要性.
尝试应用1．下列各式中计算正确的是（）
A.6
)6
(2-
=
-
- B.9
)3
(2=
-
C.16
)
16
(2±
=
- D.
25
16
)
25
16
(2=
-
-
2 . 计算：
（1）()2
0.5；（2）
2
3
5
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
；（3）
2
3
2
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
3．填空：4=（）2；3=（）2；5=（）
2；
3.教材第5页练习1、2.
4．如图，在平面直角坐标系中A（3，2）、
B(6，2)、C（3，
5）是三角形的三
个顶点，
求：BC的长.
教师出示题目:
学生练习时,教师巡视、辅导，了
解学生的掌握情况.
对于2、3题
教师组织学生讨论,并引导学生
发现解决问题的关键: 式子a
中，a≥0非常重要.
x
y
成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流
引导学生自己出一组题，小组内做.
学习小组内互相交流，讨论，
展示.
补偿提高1．计算：
（18）2 （
2
3
）2（
9
4
）2（0）2（-4
7
8
）2
22
(35)(53)
-
2．若数轴上表示数x的点在原点的左边，则
化简2
3x+x的结果是（）
A、－4x
B、4x
C、－2x
D、2x
3．已知实数x，y满足x y
-++=
540，
求代数式的值.
教师出示题目.
第1题、第2题由学生独立
完成. 教师巡视，个别辅导.
请学生板练.
师生共同评析.存在的共性
问题共同讨论解决.
第3题鼓励学生独立思考后解决.
感觉有困难的学生可以寻求同学
的帮助，然后完成.小组交流内.
小结本节课你学到了什么知识？你有什么认
识？
学生自己说出本节课的收获
作业设计作业：
教材P
5
习题21.1
复习巩固2题 (3)、(4)
3题 (1)、(2).
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
16.1二次根式
【教学目标】
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；
2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
【教学重点】
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
【教学过程】
一.创设情境提出问题
1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）
之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的
高分别是h1 km、h2 km
你能化简这个式
子吗？
式子
公式中
r=中的
表示什么意义？
2.问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则_____
（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？
表示的数怎样变化？
二.合作探究形成知识
（1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？
分别表示3，S ，65，5
h
的算术平方根
这些式子的共同特征是：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．
（a≥0） 的式子叫做二次根式，
称为二次根号．
三.初步应用 巩固知识
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．
例2 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
呢？
答案：（1）a为任何实数；（2） a =1．总结：被开方数不小于零．
四.比较辨别探索性质
五.综合应用深化提高
六.课堂小结
七.回顾总结反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
四.作业：
教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．
五．教后反思
16.2 二次根式的乘除（第1课时）
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引
导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的
16.2 二次根式的乘除（第2课时）
16.2 第一课时二次根式乘法
第二课时：二次根式的除法
最简二次根式
a b
，如
16.2二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点
重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程
（一）复习回顾
1、计算：
（1）4×9=______ 9
4⨯=_______
16⨯=_______
（2）16×25 =_______ 25
100⨯=_______
（3）100×36 =_______ 36
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
4⨯
（1）4×9_____9
16⨯
（2）16×25____25
100⨯
（3）100×36__36
（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

（三）自主学习
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：
1、用计算器填空：
（1）2×3____6（2）5×6____30
（3）2×5____10（4）4×5____20
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：
（1）9×27 （2）25×32
（3）a 5·
ab 51 （4）5·a 3·b 3
1
2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：。

（2）化简：
①54 ②2212b a
③4925⨯ ④64100⨯
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？
（六）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

（七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。

（1）)9()4(-⨯-＝94-⨯- （2）323b a =ab b 3
（3）×（）=68)2(6⨯-⨯=4812- （4）161694
⨯ =1616
94⨯⨯＝34⨯＝12 2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1) -3
3
2 (2) a a 21
2-
（八）达标测试：
A 组
1、选择题
（1）等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=85
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 2、化简：
（1）360； （2）4
32x ；
3、计算：
（1）3018⨯； （2）75
2
3⨯
； B 组
1、选择题
（1）若04
1
44222=+
-++++-c c b b a ，则c a b ••2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8 B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=
C ．5251694322==+=+
D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=- 2、计算：（1）68×（-26）； （2
；
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根
式的化简。

三、学习过程 （一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯
3、填空： （1
=________
=_________
（2
=________
=________
（3
=________
=_________
（二）提出问题：
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的除法法则进行计算？
3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习
自学课本第7
页—第8页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律：
2、利用计算器计算填空: （1
=_________（2
=_________（3
=______
3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。

把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：。

（四）合作交流
1、
自学课本例3，仿照例题完成下面的题目：
计算：（1 （2
2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：
化简：（
1 （
2 （五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之
商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。

（六）拓展延伸
阅读下列运算过程：
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：(1)
=_________
=_________ (３
=_____ ___ (４
=___ ___ 3==
5==
（七）达标测试：
A组1、选择题
（1
的结果是（）．
A． B． C
D．
（2
的结果是（）
A．
-
3
B．．-
3
．
2、计算：
（1）
48
2
（2）
x
x
8
23
（3）
16
1
4
1
÷（4
B组
用两种方法计算：
（1（2）
3
4
6
课型: 新授课上课时间：课时： 1
学习内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
学习目标
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
学习过程
一、自主学习
（一）复习引入
2
7
2
77
1．计算（1）
==，（2）==
，（3）
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的
传播半径的比是_________． （二）、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如
下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
. 例 1．化简：(1) ; (2)
(3)
==
==
==
例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．
二、巩固练习
教材练习
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
-1，
，
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
+
+1）的值． ==
2、归纳小结 （1）．重点：最简二次根式的运用． （2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 四、课堂检测 （一）、选择题
3532
2782a 2==121=-32=-
1
（y>0）化为最简二次根式是（ ）． A ．
（y>0） B ．（y>0） C ．（y>0） D ．以上都不对
2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A
．
．
3
的结果是（ ） A ．
- B ．
C ．-
D ．
二、填空题
1=_________．（x ≥0） 2．
化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提高题
若x 、y 为实数，且y=，求的值．
16.3 二次根式的加减（第1课时）
x y xy xy y
3322441
2
x x x -+-++x y
x y +-
两位）？
图21.3.1-1 分析：先利用勾股定理求出AB 的长度，再求出BC 的长度，然后相加：
AB =5216422=+，BC =51422=+ AB+BC+AC+BD =)(71.13753m ≈+
小组讨论分析，养成良好的分析问题，解决问题的能力和习惯. 成果 展示
通过今天的学习你有何收获?
1二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?
2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性.
3.在学习过程中运用了类比的学习方法.
学习小组内互相交流，讨论，展示.
补 偿 提 高
1．以下二次根式：①12；②2
2；③2
3；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③
和④
2．计算5a -3b -7a +9b =________．
3. 计算:（1）()279818-+
（2）()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+68
15.024.
练习2:教材第16页练习
教师出示题目. 第(1)题、第(2)题由学生独立完成. 教师巡视，个别辅导.
请几位学生板练.
师生共同评析.存在的共性
问题共同讨论解决.
第(3)题鼓励学生独立思考后解
决.感觉有困难的学生可以寻求
同学的帮助，然后完成.小组交流
内. 作 业 设 计 教材第12页.习题21.2
复习巩固 2题，3题 (3)、(4) 综合运用 4题 （2），6题 (3)、(4)
教师布置作业，分层要求. 学生按要求独立完成作业完成.
16.3 二次根式的加减（第2课时）
【教学任务分析】
52)(2652)
=b，求
,=
二次根式复习课
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相
除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：。