河南省南阳市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品Word版,含答案解析)

2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.
设集合A ={1，3，5，7}，B ={x |2≤x ≤5}，则A ∩B =（ ）
A. B. C. D. {1,3}
{3,5}{5,7}{1,7}
2.
如图是水平放置的△ABC 的直观图，A ′B ′∥y ′轴，A ′B ′=A ′C ′，则△ABC 是（ ）
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
3.函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x ＞0时，f （x ）=-x +1，则当x ＜0时，f （x ）的表达式为（ ）
A. B. C. D. ‒x +1
‒x ‒1x +1x ‒1
4.
已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则α⊥γβ⊥γα//βm//αm//βα//β
C. 若，，则
D. 若，，则m//αn//αm//n
m ⊥αn ⊥αm//n
5.
两条直线，互相垂直，则的值是 l 1:ax +(1+a)y =3l 2:(a +1)x +(3‒2a)y =2a ( )
A. 3
B. C. 或3 D. 0 或3
‒1‒16.
已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）
A.
B. C.
D. 100
3
π100π50
3
π50π
7.
若实数x ，y ，满足2x -y -5=0，则的最小值是（ ）
x 2+y 2
A. B. 1
C. D. 5
5
55
8.设对任意实数x ∈[-1，1]，不等式x 2+ax -3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或
D.
a >0
a >1
2
a >0a <‒12a >1
4
9.
已知圆C 1：（x +a ）2+（y -2）2=1与圆C 2：（x -b ）2+（y -2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为 （ ）
A. B.
C.
D. 23
94
32
6
2
10.若且
abc ≠0，则=（ ）
5a
=2b
=10c c
a
+c
b
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
11.已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）=2x -
f(x)=(m ‒1)2x
m
2‒4m +2
t ，∀x 1∈[1，6）时，总存在x 2∈[1，6）使得f （x 1）=g （x 2），则t 的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. 或 D. ⌀t ≥28t ≤1t >28t <11≤t ≤28
12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某
多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S =（ ）
A. 40π
B. 41π
C. 42π
D. 48π
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.点P （3，-2，4）关于平面yOz 的对称点Q 的坐标为______．
14.若函数f （x ）=|2x -1|-m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．15.已知过点M （-3，0）的直线l 被圆x 2+（y +2）2=25所截得的弦长为8，那么直线
l 的方程为______．
16.圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球（球的半
径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（1）求经过直线l 1：x +3y -3=0和l 2：x -y +1=0的交点，且平行于直线2x +y -3=0的
直线l 方程．
（2）已知直线l 1：2x +y -6=0和点A （1，-1），过点A 作斜率为k 的直线l 与l 1相交于点B ，且|AB |=5，求斜率k 的值．
18.已知
．f(x)=log 0.5(x 2
‒mx ‒m)（1）若函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围；
（2）若函数f （x ）在区间上是递增的，求实数m 的取值范围．
(‒2，‒1
2)
19.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是
AB ，BC 的中点．
（1）求证：平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；
（2）在棱DD 1上是否存在一点P ，使得BD 1∥平面PMN ，若存在，求D 1P ：PD 的比值；若不存在，说
明理由．
20.已知函数
（a ＞0
且a ≠1）是定义在R 上的奇函数．
f(x)=1‒
2
2a x ‒1+1（1）求实数a 的值；
（2）当x ∈[1，+∞）时，mf （x ）≤2x -2恒成立，求实数m 的取值范围．
21.如图，正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰
直角三角形，AB =AE ，FA =FE ，∠AEF =45°．（1）求证：EF ⊥平面BCE ；
（2）设线段CD ，AE 的中点分别为P ，M ，求异面直线PM 与BC 所成角的正弦值；
（3）求二面角E -BC -D 的大小．
22.已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，-3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），
x21x2221
B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，
则A∩B={3，5}．
故选：B．
直接利用交集的运算法则化简求解即可．
本题考查交集的求法，考查计算能力．
2.【答案】C
【解析】
解：∵水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，
∴AB⊥AC，AB≠AC，
∴△ABC是直角三角形，
故选：C．
根据斜二测画法作平面图形的直观图的原理，可得△ABC中
AB⊥AC，AB≠AC，得△ABC是直角三角形．
本题给出三角形的直观图的形状，判断三角形原来的形状，着重考查了斜二测画法作平面图形的直观图和三角形形状的判断等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数；
∴设x＜0，则-x＞0；
∴f（-x）=-（-x）+1=f（x）；
∴f（x）=x+1．
故选：C．
根据f（x）为R上的偶函数，可设x＜0，从而得出f（-x）=x+1=f（x）．
考查偶函数的定义，根据偶函数定义求对称区间上的函数解析式的方法．
4.【答案】D
【解析】
解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；
答案B：α与β相交时候，m与交线平行；
答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；
答案D：，正确
故选：D．
用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．
本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例．
5.【答案】C
【解析】
解：∵两条直线l1：ax+（1+a）y=3，l2：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，
∴a（a+1）+（1+a）（3-2a）=0，
解得a=-1或a=3．
∴a的值是-1或3．
故选：C．
由两条直线l1：ax+（1+a）y=3，l2：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，得a（a+1）
+（1+a）（3-2a）=0，由此能求出a的值．
本题考查实数值的求法，考查直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】D
【解析】
解：∵圆锥的侧面展开图的半径为圆锥的母线，
∴圆锥的侧面积为=50π．
故选：D．
圆锥的母线为侧面展开图的半径，代入圆的面积公式即可．
本题考查了圆锥的结构特征，侧面积计算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】
解：的几何意义是原点到直线2x-y-5=0上的点的距离，
由点到直线的距离公式可得最小值为d==．
故选：C．
的几何意义是原点到直线2x-y-5=0上的点的距离，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．
本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
解法一：y=x2+ax-3a的对称轴是x=．
①当-≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞，与a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②当，即-2＜a＜2时，
x=-1或x=1时，有最大值．
由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞，故；
当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a，故．
∴；
③当≤-1，即a≥2时，
x=1时有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a，
∴a≥2．
综上所述，a＞．
故选B．
解法二：设f（x）=x2+ax-3a，
∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a＜0恒成立，
∴，
即，
∴，故．
故选：B．
本题考查函数的恒成立问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讲座思想的合理运用．
9.【答案】B
【解析】
解：由已知，
圆C1：（x+a）2+（y-2）2=1的圆心为C1（-a，2），半径r1=1．
圆C2：（x-b）2+（y-2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．
∵圆C1：（x+a）2+（y-2）2=1与圆C2：（x-b）2+（y-2）2=4相外切，
∴|C1C2|=r1+r2．
即a+b=3．
由基本不等式，得ab≤=．
故选：B．
根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．
本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】
解：因为，
所以取常用对数得：alg5=blg2=，
所以=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2．
故选：A．
通过指数取常用对数，转化为所求比值求解即可．
本题考查指数与对数的互化，对数的基本运算，考查计算能力．
11.【答案】D
【解析】
解：由f（x）是幂函数得：m=0或2，
而在（0，+∞）上单调递增，
则f（x）=x2，
x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），
x∈[1，6）时，g（x）∈[2-t，64-t），
若∀x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）=g（x2），
则[1，36）⊆[2-t，64-t），
故，解得：1≤t≤28，
故选：D．
根据幂函数的定义以及函数的单调性求出f（x）的解析式，分别求出f（x），
g（x）的值域，问题转化为[1，36）⊆[2-t，64-t），求出t的范围即可．
本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，考查求函数的值域问题以及集合的包含关系，是一道中档题．
12.【答案】B
【解析】
解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，
HA为△ABC外接圆的半径，HG=2，HA=，
故R=AG==，
∴该多面体的外接球的表面积S=4πR2=41π．
故选：B．
判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．
本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体
的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程
思想，是中档题．
13.【答案】（-3，-2，4）
【解析】
解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，
可得点P（3，-2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为：（-3，-2，4）．
故答案为：（-3，-2，4）．
根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．
本题考查空间点的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基
础题．
14.【答案】（0，1）
【解析】
解：由f（x）=|2x-1|-m=0，得|2x-1|=m，
画出函数y=|2x-1|与y=m的图象如图，
由图可知，要使函数f（x）=|2x-1|-m有两个不
同的零点，则实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
把函数f（x）=|2x-1|-m的零点转化为函数y=|2x-1|与y=m的图象交点的横坐标，画出两个函数的图象，数形结合得答案．
本题考查函数的零点判定定理，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.【答案】x=-3或5x-12y+15=0
【解析】
解：设直线方程为y=k（x+3）或x=-3，
∵圆心坐标为（0，-2），圆的半径为5，
∴圆心到直线的距离d==3，
∴=3，
∴k=，∴直线方程为y=（x+3），即5x-12y+15=0；
直线x=-3，圆心到直线的距离d=|-3|=3，符合题意，
故答案为：x=-3或5x-12y+15=0．
设直线方程为y=k（x+3）或x=-3，根据直线l被圆圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k值，验证x=-3是否符合题意．
本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=-3．
16.【答案】3
【解析】
解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱，
可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3．
故答案为：3．
设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
17.【答案】解：（1）联立直线l 1：x +3y -3=0和l 2：x -y +1=0，解得x =0，y =1，得到交点P （0，1）．
设经过点P 且平行于直线2x +y -3=0的直线方程为2x +y +m =0，把点P 代入可得2×0+1+m =0，解得m =-1．
∴要求的直线方程为：2x +y -1=0．
（2）设直线方程为y +1=k （x -1），
联立方程组可得，解得B （，），
k +7k +24k ‒2
k +2由距离公式可得（-1）2+（+1）2=25，解得
k =-．k +7k +24k ‒2
k +234【解析】
（1）联立直线l 1：x+3y-3=0和l 2：x-y+1=0的方程即可得到交点P 的坐标．设经过点P 且平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，把点P 代入求出m 即可；
（2）设直线方程为y+1=k （x-1），联立方程组解交点，由距离公式可得k 的方程，解方程可得．
本题考查了两条直线的交点、平行直线的方程，考查直线的一般式方程的求解，涉及截距式和分类讨论的思想，属中档题．
18.【答案】解：（1）由函数
的定义域为R 可得：f(x)=log 0.5(x 2‒mx ‒m)不等式x 2-mx -m ＞0的解集为R ；
∴△=m 2+4m ＜0；
解得-4＜m ＜0；
∴实数m 的取值范围是：（-4，0）；
（2）由函数f （x ）在区间上是递增的得
(‒2，‒12)g （x ）=x 2-mx -m 在区间上是递减的；
(‒2，‒12)且g （x ）＞0在区间上恒成立；(‒2，‒12)则，解得；
{m 2≥‒12g(‒12)=14+m 2‒m ≥0‒1≤m ≤12
∴实数m 的取值范围为．
[‒1，12]【解析】（1）根据f （x ）的定义域为R 即可得出：不等式x 2-mx-m ＞0的解集为R ，从而得出△=m 2+4m ＜0，这样即可解出实数m 的取值范围；
（2）根据f （x ）在上是递增的可得到，函数g （x ）=x 2-mx-m 在区间
上是递减的，并且g （x ）＞0在区间上恒成立，从而得出
，这样即可解出实数m 的取值范围．
考查对数函数的定义域，复合函数的单调性，二次函数的单调性，以及二次函数的图象．
19.【答案】（1）证明：连接AC ，则AC ⊥BD ，又
M ，N 分别是AB ，BC 的中点，
∴MN ∥AC ，∴MN ⊥BD ．∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，
∴BB 1⊥平面ABCD ，∵MN ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥MN ，
∵BD ∩BB 1=B ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D ，
∵MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ．
（2）解：设MN 与BD 的交点是Q ，连接PQ ，
∵BD 1∥平面PMN ，BD 1⊂平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D ∩平
面PMN =PQ ，
∴BD 1∥PQ ，PD 1：DP =1：3
【解析】
（1）连接AC ，由正方形性质得AC ⊥BD ，又由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，易得MN ∥AC ，则MN ⊥BD ．BB 1⊥MN ，由线面垂直的判定定理，可得MN ⊥平面BB 1D 1D ，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；
（2）设MN 与BD 的交点是Q ，连接PQ ，PM ，PN ，由线面平行的性质定理，我们易由BD 1∥平面PMN ，BD 1⊂平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D∩平面PMN=PQ ，得BD 1∥PQ ，再由平行线分线段成比例定理，得到线段DP 与PD 1的比．
本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．
20.【答案】解：（1）：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数．
∴f （0）=1-
==0，2
2a +12‒a 2+a ∴a =2．
∴函数f （x ）=1-=，
22x +12x ‒12x +1∴f （-x ）==-=-f （x ），
2‒x ‒12‒x +12x ‒1
2x +1∴f （x ）是定义在R 上的奇函数．
∴a =2．
（2）由题意得，当x ≥1时，m （1-）≤2x -2
2
2x +1即m •≤2x -2恒成立，
2x ‒1
2x +1∵x ≥1，
∴2x ≥2，
∴m ≤，x ≥1恒成立，
(2x ‒2)(2x +1)
2x ‒1设t =2x -1（t ≥1），
则
m ≤=t -(t ‒1)(t +2)t 2t +1设g （t ）=t -，
2t +1则函数g （t ）在t ∈[1，+∞）上是增函数．
∴g （t ）min =g （1）=0，
∴m ≤0，
∴实数m 的取值范围为m ≤0．
【解析】
（1）利用函数是减函数，通过f （0）=0求解a ，即可．
（2）当x ∈[1，+∞）时，mf （x ）≤2x -2恒成立，求出m 的不等式，利用换元法通过函数的单调性求解m 的范围．
本题考查函数与方程的综合应用，函数的恒成立条件的转化，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
21.【答案】解：（1）证明：因为平面ABEF ⊥平面
ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，
平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以BC ⊥平面
ABEF ．所以BC ⊥EF ．
因为△ABE 为等腰直角三角形，AB =AE ，
所以∠AEB =45°又因为∠AEF =45°，
所以∠FEB =45°+45°=90°，即EF ⊥BE ．
因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE =B ，所以EF ⊥平面BCE ．
（2）取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，
则MN AB PC ，//‒12//
‒所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ．
所以∠NCB 为PM 与BC 所成角（或其补角）
正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB =AE ，设AE =a ，BN =．BC =a ，所以NC =，
22a 6
2a 在直角三角形NBC 中，sin ∠NCB =．
33（3）由（1）知BC ⊥平面ABEF ．所以BC ⊥AB ，BC ⊥EB ，
因此，∠EBA 为二面角E -BC -D 的平面角．
又因△ABE 是等腰直角三角形，所以∠EBA =45°
故二面角E -BC -D 的大小为45°．
【解析】
（1）证明BC ⊥AB ，推出BC ⊥平面ABEF ．得到BC ⊥EF ．证明EF ⊥BE ．然后证明EF ⊥平面BCE ．
（2）取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，证明PM ∥CN ．∠NCB 为PM 与BC 所成
角（或其补角），设AE=a ，BN=
．BC=a ，在直角三角形NBC 中，求解
sin ∠NCB ．（3）说明∠EBA 为二面角E-BC-D 的平面角．转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，异面直线所成角以及二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22.【答案】解：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0），
∵直线3x -4y +9=0与圆M 相切∴=3．
|3a +9|
32+(‒4)2解得a =2，或a =-8（舍去），
所以圆的方程为：（x -2）2+y 2=9----------------------------------（4分）
（II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x =0，与圆M 交于A （0，），B （0，-5），
5此时+=x 1x 2=0，所以x =0符合题意-------------------------（6分）x 21x 2221
2当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y =kx -3，
由消去y ，得（x -2）2+（kx -3）2=9，
{y =kx ‒3(x ‒2)2+y 2=9整理得：（1+k 2）x 2-（4+6k ）x +4=0-----------（1）
所以x 1+x 2=4+6k
1+k 2，x 1x 2=
41+k 2由已知得：x 21+x 22=212x 1x 2(x 1+x 2)2=252x 1x 2，(
4+6k 1+k 2)2
=252×41+k 2
整理得：7k 2-24k +17=0，∴-----------------------（10分）
k =1，177把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2-16（1+k 2）=48k +20k 2中，判别式的值都为正数，所以
，所以直线L 为：，
k =1，177y =x ‒3，y =177x ‒3即x -y -3=0，17x -7y -21=0
综上：直线L 为：x -y -3=0，17x -7y -21=0，x =0---------------------------（12分）
【解析】（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0），由直线3x-4y+9=0与圆M 相切可求出a 值，进
而可得圆M的标准方程；
（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档．。