吉林省实验中学1314学年高三上学期第四次阶段检测数学(理)试题(附答案)

吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A
B 等于 （ ）
A.{|1}x x ≤
B.{|12}x x ≤<
C.{|01}x x <≤
D.{|01}x x <<
2.已知复数z 满足2(3)(1i z i i
+=+为虚数单位）
，则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
3.下列说法正确的是 （ ） A. 命题“R x ∈∃使得0322
<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p ：“2c o s s
i n ,≤+∈∀x x R x ”
，则⌝p 是真命题 4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a
a
a
⋅⋅⋅⋅= （ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．2+log 25 5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）
6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线
)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）
A ．]3,
0(π
B ．)2,3[ππ
C ．]32,2(ππ
D ．),3
[ππ
7.设函数()|sin(2)|3
f x x π
=+
，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 最小正周期为π
C. ()f x 图象关于点(,0)6π
-
对称 D. ()f x 在区间7[,]312
ππ
上是增函数 8.如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现
将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ） A ．
125 B ．21
C ．
32 D ．4
3 9.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条渐近线均和圆C :22650x y x +-+=相
切,则该双曲线离心率等于 ( ) A.
553 B. 2
6 C. 23 D. 55
10.若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 2
1
-=，c=x a + y b ),(R y x ∈，则y x +的最大值是 ( ) A ． 2
B.
C
D. 1
11.高为
4
2
的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （ ） A ．
42 B. 2
2 C
D. 1 12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，
3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）
A.10,5,5+∞（]（）
B. 10,[5,5+∞（））
C.11,]5,775（（）
D.11
,[5,775（））
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a =
.
14.设ΔABC 的三边长分别为,,a b c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a b c
++；
类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ .
15.已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，则
||OA OM +的最小值是 .
16.设抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，过点)0,4(-Q 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若||2||QB QA =，则直线l 的斜率=k .
三、解答题：本大题共6道题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知向量)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，（其中
0>ω），函数x f ⋅=)(，若)(x f 相邻两对称轴间的距离为
2
π
. (I)求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；
(Ⅱ)在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，ABC ∆的面积35=S ，b =4，
1)(=A f ，求边a 的长.
18．(本题满分12分)
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满 足11B M C E ，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
19．(本题满分12分)
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
20．(本题满分12分)
已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率2e =,原点到过点(,0)A a ,
(0,)B b -(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求22
11x y + 的
取值范围；
(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k
=+≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的
圆上,求k 的值.
21．(本题满分12分)
已知函数f （x ）＝2ln x +ax 2－1（a ∈R ） (Ⅰ)求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若a ＝1，分别解答下面两题，
（i ）若不等式f （1+x ）+f （1－x ）＜m 对任意的0＜x ＜1恒成立，求m 的取值范围； （ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且f （x 1）+f （x 2）＝0，求证x 1+x 2>2.
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:
如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。

求证：(Ⅰ)P A ·PD =PE ·PC ； (Ⅱ)AD=AE .
23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θ
θsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线
的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
求直线2AF 的极坐标方程；
(Ⅱ)经过点1F ，且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，
求||||||11NF MF -的值.
24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数()|1|f x x =-。

(Ⅰ)解不等式()(4)8f x f x ++≥；
(Ⅱ)若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a
>.
吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测
(理科)答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．2
1(1)23(2)
n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 14．12343V
S S S S +++ 15．223 16．322± 三．解答题（本大题共6小题，共计70分）
17 .(I) x x x x x f ωωωωcos sin 32sin cos )(22+-= x x ωωsin 32cos +=)6
2sin(2π
ω+
=x ………………3分
由题意可得π=T ，∴1=ω，∴)6
2sin(2)(π
+=x x f ……………4分
当1)6
2sin(=+
π
x 时，)(x f 的最大值为2，
此时x 的集合是⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+=
Z k k x x ,6|ππ
……………6分 （Ⅱ）2
1
)62sin(1
)6
2sin(2)(=
+∴=+
=ππ
A A A f
π<<A 0
3
,6
56
2π
π
π
=
∴=
+
∴A A …………………8分
5353
sin 21===c bc S ，π
. …………10分
由余弦定理得：a 2=16+25－2×4×5cos 3
π
=21 21=∴a ……………12分 18.(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO
因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，
所以1//EO A B ………………2分
又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，
因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM =. ………8分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，
设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
则有1
00AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，
令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分 因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC = 所以
cos ,||||
AC n AC n AC n ⋅<>=
=-
平面1AEC 与平面1ABB A 1 ………………12分 19（Ⅰ）(0.20.16)15018+⨯⨯=
这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………4分
（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =
事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1())0.729P B P A =-=
()1()0.271P B P B =-=
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271 …………8分 （III ）分布列如下表：
39.96EX =
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟． ……………12分
20.(Ⅰ)因为
c a =
,22
2a b c -
=,所以 2a b =. 因为原点到直线AB :
1x y a b -=的距离5d ==
,解得4a =,2b =. 故所求椭圆C 的方程为2
21164
x y
+=. ……………………4分
(Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,
所以 01
01
010121,2.
22
y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 001435y x x -=,001345y x y +=.
所以2222
1100x y x y +=+.
因为点()00,P x y 在椭圆C :2
21164
x y +=上,所以2
2222
01100344x x y x y +=+=+
. 因为044x -≤≤, 所以2211416x y ≤+≤.所以2211x y +的取值范围为[]4,16. …8分
(Ⅲ)由题意221,
1164
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ,整理得22
(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>.
设22(,)E x y ,33(,)F x y ,EF 的中点是(,)M M M x y , 则2324214M x x k x k +-=
=+,2
1
114M M
y kx k =+=+. 所以21
M BM M y k x k
+=
=-. 所以20M M x ky k ++=. 即
22
4201
414k k k k k
-++=++. 又因为0k ≠, 所以2
18k =
.所以4
k =± ………………12分
21．21. (Ⅰ)f (x )的定义域为(0,)+∞，ax x x f 22)(+=
'， ………………1分 令,0)(>'x f 0x >，2220ax ∴+>， ①当0a ≥时，/()0f x >在(0,)+∞恒成立，∴f(x)递增区间是(0,)+∞；
②当0a <时，
又x >0, ()f x ∴递增区间是 ………4分 （Ⅱ）（ⅰ） 设22
()(1)(1)2ln(1)(1)12ln(1)(1)1F x f x f x x x x x =++-=+++-+-+--,
化简得：2()2ln(1)2ln(1)2F x x x x =++-+, 分 01x <<，/()0F x ∴<在01x <<上恒成立，()F x ∴在(0,1)x ∈上单调递减， 所以()(0)0F x F <=，0m ∴≥,即m 的取值范围是),0[+∞ .……………8分 （ⅱ）(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上单调递增,
①若12,(0,1)x x ∈，则12()0,()0,f x f x <<则12()()0f x f x +<与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,
②若12,(1,)x x ∈+∞，则12()0,()0,f x f x >>则12()()0f x f x +>与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,
③若11x =，则1()0f x =，又0)()(21=+x f x f ，2()0f x ∴=得21x =与12x x ≠矛盾, ④不妨设1201x x <<<，则由（Ⅱ）知当01x <<时,(1)(1)0f x f x ++-<,
令11x x -=，则11112(2)()0(2)()()f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=, 又()f x 在(0,)+∞上单调递增，122,x x ∴-<即122x x +> . …………12分 证2：22121122()()02ln 12ln 10f x f x x x x x +=⇔+-++-=
221212*********ln ()220()22ln 2x x x x x x x x x x x x ⇔++--=⇔+=-+,
设12t x x =，则t>0，()22ln 2g t t t =-+，令/()0g t >，得1t >，()g t ∴在（0，1）单调递减，在(1,)+∞单调递增,
min ()(1)4g t g ∴==，
∴4)(2
21≥+x x ,又因为1=t 时,121==x x ,""=∴不成立. 212()4x x ∴+>，122x x ∴+>. …………12分
22. （Ⅰ）PE 、PB 分别是⊙2O 的割线，
PB PD PE PA ⋅=⋅∴① …………2分
又PA 、PB 分别是⊙1O 的切线与割线，
PB PC PA ⋅=∴2② …………4分
由①，②得PC PE PD PA ⋅=⋅∴ …………5分
（Ⅱ）连接DE AC 、，设DE 与AB 相交与点F
BC 是⊙1O 的直径，∴∠ 90=CAB
AC ∴是⊙2O 的切线. …………6分 由（Ⅰ）知，
ADE CAD DE AB ED AC PD
PC PE PA ∠=∠⊥∴∴=,//, …………8分 AC 是⊙2O 的切线. AED CAD ∠=∠∴ AE AD =∴ …………10分
23．（Ⅰ）C ：13
42
2=+y x ，轨迹为椭圆，其焦点)0,1(),0,1(21F F - 32-=AF k )1(3:2--=x y AF
即3cos 3sin :2=+θρθρAF 即2
3)3sin(=+
πθρ …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）32-=AF k ，
⊥l 2AF ,∴l 的斜率为3
3，倾斜角为 30，
所以l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数） 代入椭圆C 的方程中，得：
036312132=--t t
因为M 、N 在1F 的异侧
13
312||||||||2111=+=-t t NF MF …………10分 24.（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，
4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；
当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；
当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．
所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分 （Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a
)即|ab －1|＞|a －b |． ……………6分 因为|a |＜1，|b |＜1，
所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |．
故所证不等式成立． ……………10分
.。