重庆中考数学阅读专题(含详细答案)

1.
（2017•重庆）对任意一个三位数n，若是n知足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称那个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后能够取得三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字取得213，对调百位与个位上的数字取得321，对调十位与个位上的数字取得132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，因此F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）假设s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
2.
（2016•重庆）咱们明白，任意一个正整数n都能够进行如此的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，若是p，q两因数之差的绝对值最小，咱们就称p×q是n的最正确分解．并规定：F（n）=．例如12能够分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正确分解，因此F（12）=．
（1）若是一个正整数a是另外一个正整数b的平方，咱们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）若是一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），互换其个位上的数与十位上的数取得的新数减去原先的两位正整数所得的差为18，那么咱们称那个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
3.
（2021•重庆）若是把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么咱们把如此的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，因此64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”可否被11整除，并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
4．
（重庆南开2016）若是一个自然数能够表示为两个持续奇数的立方差，那么咱们就称那个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，因此2、26均为“麻辣数”．
【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】
（1）请判定98和169是不是为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“那个难不倒图图，咱们明白奇数能够用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解进程．5.
（2016春•重庆八中月考）若是一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称那个自然数为聪慧数，例如：16=52﹣32，16确实是一个聪慧数，小明和小王对自然数中的聪慧数进行了如下的探讨：
小明的方式是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…
小王以为小明的方式太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．
因此，自然数中所有奇数都是聪慧数．
问题：
（1）依照上述方式，自然数中第12个聪慧数是15
（2）他们发觉0，4，8是聪慧数，由此猜想4k（k≥3且k为正整数）都是聪慧数，请你参考小王的方法证明4k（k≥3且k为正整数）都是聪慧数．
（3）他们还发觉2，6，10都不是聪慧数，由此猜想4k+2（k为自然数）都不是聪慧数，请利用所学的知识判定26是不是是聪慧数，并说明理由．
6.
（2021春•重庆一中月考）咱们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[]=1，[﹣]=﹣3．请解决以下问题：
（1）[π]=3，[﹣π]=﹣4．（其中π为圆周率）；
（2）已知x、y知足方程组，求x、y的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．
7.
（2016•重庆巴蜀中学期末）咱们来概念下面两种数：
①
平方和数：假设一个三位数或三位以上的整数分成左、中、右三个数后知足：中间数=（左侧数）2+（右边数）2，咱们就称该整数为平方和数；例如：关于整数251．它中间的数字是5，左侧数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：关于整数3254，它的中间数是25，左侧数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．固然152和4253这两个数也是平方和数；
②双倍积数：假设一个三位数或三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后知足：中间数=2×左侧数×右边数，咱们就称该整数为双倍积数；例如：关于整数163，它的中间数是6，左侧数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：关于整数3305，它的中间数是30，左侧数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，固然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，咱们统一用字母a表示一个整数分出来的左侧数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请依照上述概念完成下面问题：
（1）若是一个三位整数为平方和数，且十位数为9，那么该三位数为390；若是一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，那么该三位数为241或142；（2）若是一个整数既为平方和数，又是双倍积数．那么a，b应该知足什么数量关系；说明理由；
（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．
重庆中考阅读答案：
（2017•重庆）对任意一个三位数n，若是n知足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称那个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后能够取得三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字取得213，对调百位与个位上的数字取得321，对调十位与个位上的数字取得132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，因此F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）假设s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为．
（2016•重庆）咱们明白，任意一个正整数n都能够进行如此的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，若是p，q两因数之差的绝对值最小，咱们就称p
×q是n的最正确分解．并规定：F（n）=．例如12能够分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正确分解，因此F（12）=．
（1）若是一个正整数a是另外一个正整数b的平方，咱们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）若是一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），互换其个位上的数与十位上的数取得的新数减去原先的两位正整数所得的差为18，那么咱们称那个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最正确分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设互换t的个位上的数与十位上的数取得的新数为t′，那么t′=10y+x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，
∵＞＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
（2021•重庆）若是把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么咱们把如此的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6
，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，因此64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”可否被11整除，并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；
任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则
a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，
∵=91a+10b
∴四位数“和谐数”abba能被11整数；
∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•102+y•10+x=101x+10y，
=9x+y+，
∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，
∴2x﹣y=0，
∴y=2x（1≤x≤4）．
4．（重庆南开2016）若是一个自然数能够表示为两个持续奇数的立方差，那么咱们就称那个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，因此2、26均为“麻辣数”．
【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】
（1）请判定98和169是不是为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“那个难不倒图图，咱们明白奇数能够用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解进程．【解答】解：设k为整数，那么2k+1、2k﹣1为两个持续奇数，
设M为“麻辣数”，
则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；
（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；
（2）令M≤2016，那么24k2+2≤2016，
解得k2≤＜84，
故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，
故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．
5.
（2016春•重庆八中月考）若是一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称那个自然数为聪慧数，例如：16=52﹣32，16确实是一个聪慧数，小明和小王对自然数中的聪慧数进行了如下的探讨：
小明的方式是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…
小王以为小明的方式太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．
因此，自然数中所有奇数都是聪慧数．
问题：
（1）依照上述方式，自然数中第12个聪慧数是15
（2）他们发觉0，4，8是聪慧数，由此猜想4k（k≥3且k为正整数）都是聪慧数，请你参考小王的方法证明4k（k≥3且k为正整数）都是聪慧数．
（3）他们还发觉2，6，10都不是聪慧数，由此猜想4k+2（k为自然数）都不是聪慧数，请利用所学的知识判定26是不是是聪慧数，并说明理由．
【解答】解：（1）继续小明的方式，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，即第12个聪慧数是15．
故答案为：15；
（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．
因此，4k（k≥3且k为正整数）都是聪慧数．
（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是聪慧数．
6. （2021春•重庆一中月考）咱们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[]=1，[﹣]=﹣3．请解决以下问题：
（1）[π]=3，[﹣π]=﹣4．（其中π为圆周率）；
（2）已知x、y知足方程组，求x、y的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．
【解答】解：（1）由题意可得：[π]=3，[﹣π]=﹣4；
故答案为：3，﹣4；
（2）解方程组得：，
那么﹣1≤x＜0，2≤y＜3；
（3）当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，现在y=（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3=6；
当0≤x＜1时，[x]=0，现在y=3；
当1≤x＜2时，[x]=1，现在y=12﹣2×1+3=2；
当x=2时，[x]=2，现在y=22﹣2×2+3=3；
综上所述：y最大=6，y最小=2．
7.
（2016年•重庆巴蜀中学期末）咱们来概念下面两种数：
①平方和数：假设一个三位数或三位以上的整数分成左、中、右三个数后知足：中间数=（左侧数）2+（右边数）2，咱们就称该整数为平方和数；例如：关于整数251．它中间的数字是5，左侧数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：关于整数3254，它的中间数是25，左侧数是3，右边数是
4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．固然152和4253这两个数也是平方和数；
②双倍积数：假设一个三位数或三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后知足：中间数=2×左侧数×右边数，咱们就称该整数为双倍积数；例如：关于整数163，它的中间数是6，左侧数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：关于整数3305，它的中间数是30，左侧数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，固然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，咱们统一用字母a表示一个整数分出来的左侧数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请依照上述概念完成下面问题：
（1）若是一个三位整数为平方和数，且十位数为9，那么该三位数为390；若是一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，那么该三位数为241或142；（2）若是一个整数既为平方和数，又是双倍积数．那么a，b应该知足什么数量关系；说明理由；
（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．
【解答】解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，
∴左侧数为3，右边数为0，
∴该三位数为390．
∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，
4=2×2×1，
∴该三位数为241或142．
故答案为390，241或142．
（2）若是一个整数既为平方和数，又是双倍积数．那么a，b应该知足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0，
∴a=b．
（3）由题意，
易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225，
∵a＞0，b＞0，
∴a﹣b=±5，a+b=35，∴a2﹣b2=±175．。