吉林省东北师范大学附属中学净月校区高三数学上学期第

吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三数学上学期第二
次模拟考试试题理
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A＝错误!未找到引用源。

，B＝错误!未找到引用源。

，则A错误!未找到引用源。

B＝（）
A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

2.已知数列错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则数列错误!未找到引用源。

的前6项和为（）
A．63 B．127 C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

3.若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是第三象限的角，则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

( )
A．错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

4.已知错误!未找到引用源。

是两个不同的平面，错误!未找到引用源。

是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）
A．若错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

B．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

C．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

D．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

错
误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

5.已知正项数列错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

，错误!未
找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

等于（）A．错误!未找到引用源。

B．4 C．8 D．16
6.已知两定点错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，点P在椭圆错
误!未找到引用源。

上，且满足错误!未找到引用源。

＝2，则错误!未找到
引用源。

为（）
A．－12 B.12 C．一9 D．9
俯视图侧视图
正视图
7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积
是（）
A．2B．错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

8.点F为椭圆错误!未找到引用源。

的一个焦点，若椭圆上存在点错误!未找到引用源。

使错误!未找到引用源。

为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

9.已知抛物线错误!未找到引用源。

的焦点F到双曲线C：错误!未找到引用源。

渐近线的距离为错误!未找到引用源。

，点错误!未找到引用源。

是抛物线错误!未找到引用源。

上的一动点，P到双曲线C的上焦点错误!未找到引用源。

的距离与到直线错误!未找到引用源。

的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）
A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

10.已知错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

内的一点，且错误!未找到引用源。

若错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的面积分别为错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的最小值是（）A．20 B．18 C．16
D．9
11.已知圆错误!未找到引用源。

：错误!未找到引用源。

，平面区域Ω：错误!未找到引用源。

.
若圆心错误!未找到引用源。

，且圆错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

轴相切，则错误!未找到引用源。

的最大值为（）A.错误!未找到引用源。

B.错误!
未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

12.已知函数错误!未找到引用源。

，设方程错误!未找到引用源。

的四个实根从小到大依次
为错误!未找到引用源。

，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（）
（1）错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

；（2）错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

；
（3）错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

；（4）错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

.
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.在边长为1的正三角形ABC中，设错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

__________．
14.若等比数列错误!未找到引用源。

的各项均为正数，且错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

________．
15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥错误!未找到引用源。

,其中底面四边形错误!未找到引用源。

是边长为错误!未找到引用源。

的正方形，错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引用源。

,则球体毛坯体积的最小值应为．
16.若存在实常数错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

，使得函数错误!未找到引
用源。

和错误!未找到引用源。

对其公共定义域上的任意实数错误!未找到引用源。

都满足：错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

恒成立，则称此直线错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的“隔离直线”，已知函数错误!
未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，有下列命题：
①错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

内单调递增；
②错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

之间存在“隔离直线”，且错误!未找到
-；
引用源。

的最小值为4
③错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

之间存在“隔离直线”，且错误!未找到
-；·
引用源。

的取值范围是(4,0]
④错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

之间存在唯一的“隔离直线”错误!未找到引用源。

.
其中真命题的个数为（请填所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）
在锐角错误!未找到引用源。

中,错误!未找到引用源。

分别为角错误!未找到引用源。

所对的边，且错误!未找到引用源。

.
（Ⅰ）确定角错误!未找到引用源。

的大小；
（Ⅱ）若错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

的面积为错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的值．
18.（本小题12分）
已知数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项和为错误!未找到引用源。

,
若错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

),且错误!未找到引用源。

.
（Ⅰ）求证：数列错误!未找到引用源。

为等差数列；
（Ⅱ）设错误!未找到引用源。

,数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项和为错误!未找到引用源。

,证明:错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

).
19.（本小题12分）
如图, 已知四边形错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

均为直角梯形，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

，平面错误!未找到引用源。

⊥平面错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

（Ⅰ）证明：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引
用源。

；
（Ⅱ）求平面错误!未找到引用源。

和平面错误!未找到引用源。

所成锐二面
角的余弦值.
20．(本小题12分)
已知椭圆错误!未找到引用源。

：错误!未找到引用源。

的一个焦点为错误!未找到引用源。

，左右顶点分别为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

. 经过点错误!未找到引用源。

的直线错误!未找到引用源。

与椭圆错误!未找到引用源。

交于错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线错误!未找到引用源。

的倾斜角为错误!未找到引用源。

时，求线段错误!未找到引用源。

的长；
（Ⅲ）记错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的面积分别为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的最大值.
21．（本小题12分）
设函数错误!未找到引用源。

．
（Ⅰ）若函数错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上为减函数，求实数错误!未找到引用源。

的最小值；
（Ⅱ）若存在错误!未找到引用源。

，使错误!未找到引用源。

成立，求实数错误!未找到引用源。

的取值范围．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时
用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
A B
D
E
O
22.（本小题10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

的直径，错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

的中点，错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

的中点．（Ⅰ）求证：错误!未找到引用源。

；
（Ⅱ）求证：错误!未找到引用源。

．
23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线错误!未找到引用源。

的参数方程是错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数），以坐标原点为极点，错误!未找到引用源。

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线错误!未找到引用源。

的极坐标方程为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

．
（Ⅰ）求直线错误!未找到引用源。

的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线错误!未找到引用源。

与曲线错误!未找到引用源。

相交于错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

两点，求错误!未找到引用源。

．
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
设函数错误!未找到引用源。

．
（Ⅰ）解不等式错误!未找到引用源。

；
（Ⅱ）若错误!未找到引用源。

对一切实数错误!未找到引用源。

均成立，求实数错误!未找到引用源。

的取值范围．
ACCDB DDDCB BA
﹣ ；50；错误!未找到引用源。

；①②④
17.（本小题10分）
在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角A ，B ，C ，所对的边，且错误!未找到引用源。

(1)确定角C 的大小；
（2）若错误!未找到引用源。

，且△ABC 的面积为错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

十b 的值．
17.（本题10分）
解（132sin a c A =及正弦定理得，sin sin 3
a A c C == 3sin 0,sin A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=
…………5分 （2）解法1：7,.3c C π
==Q 由面积公式得
133sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得
22222cos 7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ② 由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故
解法2：前同解法1，联立①、②得
2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩
＝１３ 消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或
所以2332a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩
或故5a b +=…………10分
18.已知数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项和为错误!未找到引用源。

,
若错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

),且错误!未找到引用源。

.
(1) 求证：数列错误!未找到引用源。

为等差数列；
（2) 设错误!未找到引用源。

,数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项和为错误!未找到引用源。

,证明:错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

).
18.解(Ⅰ) 由题设错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

,
两式相减得错误!未找到引用源。

, (2)
分
方法一：由错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

.
则数列错误!未找到引用源。

是常数列，即错误!未找到引用源。

，也即错误!未找到引用源。

……………………6分
所以数列错误!未找到引用源。

是首项为错误!未找到引用源。

,公差为错误!未找到引用源。

的等差数列………………………7分
方法二：由错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

，
两式相减得错误!未找到引用源。

,且错误!未找到引用
源。

…………………6分
所以数列错误!未找到引用源。

等差数
列. …………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

, …………………9分
当错误!未找到引用源。

时,错误!未找到引用源。

成立；………………………………………………………10分
当错误!未找到引用源。

时,错误!未找到引用源。

…………………12分
所以错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

综上所述,命题得证. ………………
（理）19.如图, 已知四边形错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

均为直角梯形，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用
源。

∥错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

，
平面错误!未找到引用源。

⊥平面错误!未找到引用源。

,错误!未
找到引用源。

（Ⅰ）证明：AG错误!未找到引用源。

平面BDE;
（Ⅱ）求平面错误!未找到引用源。

和平面错误!未找到引用源。

所成锐二面角的余弦值.
19.如图, 已知四边形错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

均为直角梯形，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

，平面错误!未找到引用源。

⊥平面错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

（Ⅰ）证明：AG错误!未找到引用源。

平面BDE;
（Ⅱ）求平面错误!未找到引用源。

和平面错误!未找到引用源。

所成锐二面角的余弦值. 【解析】由平面错误!未找到引用源。

，平面错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

平面BCEG, 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.………2分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
错误!未找到引用源。

………….3分
（Ⅰ）设平面BDE的法向量为错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

平面BDE的一个法向量为错误!未找到引用源。

………………………………………………..5分
错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

，∴AG∥平面BDE. (7)
分
（Ⅱ）设平面错误!未找到引用源。

的法向量为错误!未找到引用源。

，平面错误!未找到引用源。

和平面错误!未找到引用源。

所成锐二面角为错误!未找到引用源。

……….8分因为错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

，……….10分错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引用源。

的一个法向量为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
故平面错误!未找到引用源。

和平面错误!未找到引用源。

所成锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。

……….12分
20．(本小题满分12分)
已知椭圆错误!未找到引用源。

：错误!未找到引用源。

的一个焦点为错误!未找到引用源。

，左右顶点分别为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

.
经过点错误!未找到引用源。

的直线错误!未找到引用源。

与椭圆错误!未找到引用源。

交于错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线错误!未找到引用源。

的倾斜角为错误!未找到引用源。

时，求线段错误!未找到引用源。

的长；
（Ⅲ）记错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的面积分别为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的最大值.
20．(本小题满分12分)
解：（I）因为错误!未找到引用源。

为椭圆的焦点,所以错误!未找到引用源。

又错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

所以椭圆方程为错误!未找到引用源。

…………………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为错误!未找到引用源。

,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为错误!未找到引用源。

,和椭圆方程联立得到
错误!未找到引用源。

,消掉错误!未找到引用源。

,得到错误!未找到引用源。

…………………………5分
所以错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

…………………………6分
（Ⅲ）当直线错误!未找到引用源。

无斜率时,直线方程为错误!未找到引用源。

, 此时错误!未找到引用源。

, 错误!未找到引用源。

面积相等，错误!未找到引用源。

…………7分
当直线错误!未找到引用源。

斜率存在（显然错误!未找到引用源。

）时,设直线方程为错误!未找到引用源。

,
设错误!未找到引用源。

和椭圆方程联立得到错误!未找到引用源。

,消掉错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

显然错误!未找到引用源。

，方程有根，且错误!未找到引用源。

………………8分
此时错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

………………………………10分因为错误!未找到引用源。

,上式错误!未找到引用源。

，（错误!未找到引用源。

时等号成立）
所以错误!未找到引用源。

的最大值为错误!未找到引用源。

………………………………12分
另解：（Ⅲ）设直线错误!未找到引用源。

的方程为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，则
由错误!未找到引用源。

得，错误!未找到引用源。

．
设错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

．………………8分
所以，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

……………………10分
当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

．
由错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

．
当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

从而，当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

取得最大值错误!未找到引用源。

．…………………………12分
21．（本小题满分12分）设函数错误!未找到引用源。

．
（1）若函数错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上为减函数，求实数错误!未找到引用源。

的最小值；
（2）若存在错误!未找到引用源。

，使错误!未找到引用源。

成立，求实数错误!未找到引用源。

的取值范围．
21.解：（1）由已知得x＞0，x≠1．
2ln 1()0(ln )
x f x a x -
'=-≤在错误!未找到引用源。

上恒成立．…1分 所以当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

又错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，………2分 故当11ln 2
x =，即2x e =时，错误!未找到引用源。

． 所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14
． ……………5分 （2）命题“若存在错误!未找到引用源。

，使错误!未找到引用源。

成立”等价于 “当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”．
由（1），当2[,]x e e ∈时，错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

．
问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有错误!未找到引用源。

”． ①当14
a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数， 则错误!未找到引用源。

=2221()24
e f e ae =-≤，故211
24a e -≥． …………………7分 ②当错误!未找到引用源。

<错误!未找到引用源。

时，由于错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上的值域为错误!未找到引用源。

（ⅰ）错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

恒成立，故错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上为增函数， 于是，错误!未找到引用源。

，矛盾．…………………9分
（ⅱ）错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

，由错误!未找到引用源。

的单调性和值域知，
存在唯一错误!未找到引用源。

，使错误!未找到引用源。

，且满足：
当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

为减函数；当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

为
增函数；所以，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

……………………11分 所以，错误!未找到引用源。

，与错误!未找到引用源。

矛盾．
综上得错误!未找到引用源。

……………………………………………………………12分 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵
的中点，E 为BC 的中点．
O
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．
【证明】：（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，
所以OED三点共线．……………………………2分
因为E为BC的中点且O为AC的中点，
所以OE∥AB，故DE∥AB.……………………………5分
（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB．
又因为AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD．……………8分
AC CD ＝
AD
CE
AD·CD＝AC·CE
2AD·CD＝AC·2CE
2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线错误!未找到引用源。

的参数方程是错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数），
以坐标原点为极点，错误!未找到引用源。

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线
错误!未找到引用源。

的极坐标方程为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

．（Ⅰ）求直线错误!未找到引用源。

的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线错误!未找到引用源。

与曲线错误!未找到引用源。

相交于错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

两点，求错误!未找到引用源。

．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）消去参数得直线错误!未找到引用源。

的直角坐标方程：错误!未找到引用源。

---------2分
由错误!未找到引用源。

代入得错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
（也可以是：错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

）---------------------5分
（Ⅱ）错误!未找到引用源。

得
错误!未找到引用源。

-----------------------------7分
设错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
则错误!未找到引用源。

.---------10分
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）E
A
D
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数错误!未找到引用源。

．
（I）解不等式f(x)>0；
（II）若f(x)+错误!未找到引用源。

>m对一切实数错误!未找到引用源。

均成立，求实数m的取值范围．
24.解：（I）当x错误!未找到引用源。

时，f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0，得x>-5，所以x错误!未找到引用源。

成立.
当错误!未找到引用源。

时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立.
当错误!未找到引用源。

时，f(x)=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立.
综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} . …………5分 (II)f(x)+错误!未找到引用源。

=|2x+1|+2|x-4|错误!未找到引用源。

.
当错误!未找到引用源。

，所以m<9. …………10分。