2020高二数学下学期第一次月考试题文普通班

【2019最新】精选高二数学下学期第一次月考试题文普通班
（本卷满分：150分，时间：120分钟，）
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
2.某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，
然而它的实际效果非常大，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
3.命题“∃x0∈R，－2x0＋1＝0”的否定是( )
A．∃x0∈R，－2x0＋1≠0 B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0 D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0
4.给出下列命题：
①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5.已知命题p：存在x0∈(0，＋∞)，＜；命题q：△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(¬q) C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)
6.a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
A．a＋b＜0 B．a－b＞0 C．＞1 D．＜－1
7.抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为( )
A． (，±) B． (，±) C． (，±) D． (，±)
8.若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上
的图象可能是( )
A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D
9.设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是
( )
A． 1 B．－1 C． D．－2
10.下列求导运算正确的是( )
A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－
2xsinx
11.已知f(x)＝sinx＋cosx＋，则f′等于( )
A．－1＋ B．＋1 C． 1 D．－1
12.命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”，命题q：“∃x0∈[1,2]，log2x0＋m>0”，
若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>－1 C．－1<m<1 D．－1≤m≤1
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“ ¬q”都是假命题，则x的值组成的集合
为________________．
14.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝
________.
15.设抛物线y2＝4x的一条弦AB以点P(1,1)为中点，则弦AB的长为________．
16.若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17.设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，
若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
18.已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，
求实数m的取值范围．
19.设命题p：实数x满足(x－a)(x－3a)<0，其中a>0，命题q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20.已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
21.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3
相切，求实数a、b、c的值．
22.设f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的
面积为定值，并求此定值．
答案
1.【答案】A
2.【答案】D
【解析】该题考查的是互为逆否命题关系的命题真值相同，也就是在选项中找到该命题的逆否命题．
3.【答案】D
【解析】
4.【答案】D
【解析】①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
5.【答案】C
【解析】当x0∈(0，＋∞)时，，故命题p为假命题；在△ABC中，sinA＞sinB⇔a＞b⇔A ＞B，故命题q为真命题．所以(¬p)∧q为真命题．
6.【答案】A
【解析】a＋b＜0⇏a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.
7.【答案】B
【解析】设P(x0，y0)，则x0＋＝2，
∴x0＝.将x0＝代入y2＝x，得y0＝±.故选B.
8.【答案】A
【解析】依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切
线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
9.【答案】B
【解析】∵＝－1，
∴＝－1，
∴f′(1)＝－1.
10.【答案】B
【解析】′＝1－，所以A不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C不正确；
(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正确；
(log2x)′＝，所以B正确．故选B.
11.【答案】D
【解析】f′(x)＝cosx－sinx，
∴f′＝cos－sin＝－1.
12.【答案】C
【解析】由“p∧q”为真命题，得p，q都是真命题．
命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1,2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1；
命题q：“∃x0∈[1,2]，log2x0＋m>0”为真命题，则∃x0∈[1,2]，－m<log2x0，只要－m<(log2x)max＝1，得m>－1.综上所述，－1<m<1.
13.【答案】{－1,0,1,2}
【解析】因为“p∧q”为假，“¬q”为假，所以q为真，p为假．故即
因此x的值可以是－1,0,1,2.
14.【答案】2
【解析】点P在切线上，
∴f(5)＝－5＋8＝3，
f′(5)＝k＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
15.【答案】
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入抛物线方程得＝4x1，①
＝4x2，②
①－②整理得k＝＝＝2，
故AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，代入抛物线y2＝4x的方程得4x2－8x＋1＝0，
则x1＋x2＝2，x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝.
16.【答案】(e，e)
【解析】由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令lnx＋1＝2，得x＝e，
所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．
17.【答案】若命题p为真命题，可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1<m<2.
【解析】
18.【答案】方法一由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10.
∴p：－2≤x≤10.
又x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
∴q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
故有或
解得m≥9.
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
方法二由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10.
∴p：－2≤x≤10，∴¬p：x＜－2或x＞10.
又x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
∴q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴¬q：x＜1－m或x＞1＋m.
∵¬p是¬q的必要不充分条件，
故有或
解得m≥9.
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
【解析】
19.【答案】解(1)∵a＝1，∴不等式化为(x－1)(x－3)<0，∴1<x<3；
由≤0得2<x≤3.
∵p∧q为真，∴2<x<3.
(2)∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
又q：2<x≤3，p：a<x<3a，
∴∴1<a≤2.
【解析】
20.【答案】(1)y＝2x－1.(2)y＝2x－1或y＝10x－25【解析】(1)设切点为(x0，y0)，
∵y′|x＝x0＝
＝＝2x0，
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得
5－y0＝2x0(3－x0)①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x②
联立①，②得，x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)
当切点为(1,1)时，
切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
21.【答案】解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1.①
∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②
又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，③
联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
【解析】
22.【答案】(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
【解析】。