江苏省南师附中高2020届高2017级高三年级第二学期期初检测试卷数学参考答案及评分标准

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（必做题,160分）
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.[]2,4-
2.二
3.6
4.5
5.()2,0
6.
58 7.3
8.252 9.12 10.120,
5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11.[)4,+∞ 12.19 13.[]1,11- 14.3ln 2,02⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分） 解：（1）由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R ,得a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C , 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A
cos C ,得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ,…………2分
即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A .
因为A ＋B ＝π－C ,所以sin(A ＋B )＝sin C , 所以sin C cos C ＝sin C cos A ,…………4分
因为C 是△ABC 的内角,所以sin C ≠0,所以cos C ＝cos A .
又因为A ,C 是△ABC 的内角,所以A ＝C .…………6分
（2）由（1）知,因为A ＝C ,所以a ＝c ,所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2
a 2.…………8分
因为BA →·BC →
＝1,所以a 2cos B ＝a 2－2＝1,所以a 2＝3.…………10分 所以cos B ＝1
3
.…………12分
因为B △(0,π),所以sin B ＝1－cos 2B ＝22
3.…………14分
16.（本小题满分14分）
解：（1）因为AD △平面BCC 1B 1,AD ⊂平面ABCD ,平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC , 所以AD △BC .…………4分
又因为BC ⊄平面ADD 1A 1,AD ⊂平面ADD 1A 1, 所以BC △平面ADD 1A 1.…………6分
（2）由（1）知AD △BC ,因为AD △DB ,所以BC △DB ,…………8分 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1△平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , 所以DD 1△BC ,…………10分
又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1,DB ⊂平面BDD 1B 1,DD 1∩DB ＝D , 所以BC △平面BDD 1B 1,…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1,
所以平面BCC 1B 1△平面BDD 1B 1.…………14分 17.（本小题满分14分）
解：（1）连接AB ,因为正方形边长为10米,
所以10OA OB AB ===,则3
AOB π
∠=
,所以»10
3
AB π=
,…………2分
所以广场的面积为2211050(1010)10100233
π
π⋅
⋅+=+-
答：广场的面积为
501003
π
+-.…………6分 （2）作OG CD ⊥于G ,OK AD ⊥于K G ,记OAK α∠=, 则2220sin AD DG OK α===,…………8分 由余弦定理得2
2
2
2cos OD OA AD OA AD α=+-⋅
221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22
α
αααα-=+-⨯⨯=+⨯
-
230045)1)α=-+≥o ,…………12分
所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o
时取等号,
所以201)OA OB OC OD +++≤+=
因此求4条小路的总长度的最小值为.
答：4条小路的总长度的最小值为.…………14分 18.（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0). 依题意,c a ＝12,且a 2
c ＝4,解得a ＝2,c ＝1.
故b 2＝a 2－c 2＝3.
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.…………4分
（2）设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 124＋y 123＝1,x 224＋y 22
3
＝1.
两式相减,得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0,14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2
x 1＋x 2＝0,
所以14＋13·k ·(－12)＝0,得k ＝3
2
.
…………8分
（3）由题意,S 1S 2＝32,即1
2·|AF |·|y 1|
12·|BF |·|y 2|＝32,整理可得|y 1||y 2|＝1
2
,…………10分
所以→NF ＝2→FM .
代入坐标,可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1,即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1
y 2＝－2y 1
.…………12分
又点M ,N 在椭圆C 上,所以⎩⎨⎧
x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)2
3
＝1
,解得⎩
⎨⎧x 1＝7
4
y ＝38 5.
所以M 的坐标为(74,35
8).…………16分
19.（本小题满分16分）
解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2,则f ′(1)＝1－a ＝2,解得a ＝－1,则f (x )＝ln x －1
x ＋1,
此时f (1)＝ln1－1＋1＝0,则切点坐标为(1,0), 代入切线方程,得b ＝－2, 所以a ＝－1,b ＝－2.…………2分
（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1,g ′(x )＝1x －a
x 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.
△当a ＝0时,g ′(x )＝1x ＞0,则g (x )在区间(0,1
2)上为增函数,
则g (x )在区间(0,1
2
)上无最小值.…………4分
△当a ≠0时,方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0, 则方程有两个不相等的实数根,设为x 1,x 2,
由韦达定理得x 1x 2＝－1,则两根一正一负,不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0), （i ）若a ＞0,
若x 2△(0,12) ,则m (0)＝－a ＜0 ,m (12)＝a 4＋1
2－a ＞0 ,解得0＜a ＜23.
此时x △(0,x 2)时,m (x )＜0,则g (x )递减；x △(x 2,1
2)时,m (x )＞0,则g (x )递增,
当x ＝x 2时,g (x )取极小值,即为最小值.
若x 2≥12,则x △(0,12),m (x )＜0,g (x )在(0,1
2)单调减,无最小值.…………6分
（ii ）若a ＜0,
此时x △(0,x 2)时,m (x )＞0,则g (x )递增；x △(x 2,＋∞)时,m (x )＜0,则g (x )递减, 在区间(0,1
2)上,g (x )不会有最小值.
所以a ＜0不满足条件.
综上,当0＜a ＜23时,g (x )在区间(0,1
2)上有最小值.…………8分
（3）当a ＝0时,由方程f (x )＝bx 2,得ln x ＋1－bx 2＝0,
记h (x )＝ln x ＋1－bx 2,x ＞0,则
h ′(x )＝1
x －2bx ＝－2bx 2＋1x
.
△当b ≤0时,h ′(x )＞0恒成立,即h (x )在(0,＋∞)上为增函数,
则函数h (x )至多只有一个零点,即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根, 所以b ≤0不符合题意.…………10分
△当b ＞0时,
当x △(0,
1
2b
)时,h ′(x )＞0,所以函数h (x )递增； 当x △(
1
2b
,＋∞)时,h ′(x )＜0,所以函数h (x )递减, 则h (x )max ＝h (
1
2b
)＝ln 12b ＋12
. 要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根,
则h (
1
2b
)＝ln 12b ＋12＞0,解得0＜b ＜e
2
.…………12分 （i ）当0＜b ＜e 2时,h (1e )＝－b
e 2＜0.
又(1
e
)2－(
12b )2＝2b －e 22b e 2＜0,则1e
＜1
2b
, 所以存在唯一的x 1△(1
e ,
1
2b
),使得h (x 1)＝0.…………14分 （ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ,记k (b )＝－ln b ＋1－1b ,0＜b ＜e
2,
因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2,则k (b )在(0,1)上为增函数,在(1,e
2)上为减函数,
则k (b )max ＝k (1)＝0,则h (1
b )≤0.
又(1b
)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0,即1b
＞1
2b
, 所以存在唯一的x 2△(
12b ,1
b
],使得h (x 2)＝0, 综上,当0＜b ＜e
2时,方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根.…………16分
20.（本小题满分16分）
解：（1）△若1λ=,因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-,
则()()1111n n n n S a S a +++=+,111a S ==. 又△0n a >,0n S >,
△11
11n n n n
S a S a +++=+,
△31312212121
11111n n n n
S S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得1112n n S a +++=.△ △当2n ≥时,12n n S a +=.△
△－△,得12n n a a +=,即
()1
22n n
a n a +=≥. △当1n =时,22a =,1n =时上式也成立,
△数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,1
2n n a -=.…………4分
△因为()1n n b n a =+,△()1
12
n n b n -=+⋅.
所以01221
2232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,
所以123122232422(1)2n n
n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,
所以121
2222
(1)2n n
n T n --=++++-+⨯L 12(12)
2(1)2212
n n n n n --=+-+⨯=-⨯-,
所以2n
n T n =⋅.…………8分
（2）令1n =,得21a λ=+.令2n =,得()2
31a λ=+.
要使数列{}n a 是等差数列,必须有2132a a a =+,解得0λ=. 当0λ=时,()111n n n n S a S a ++=+,且211a a ==.…………10分 当2n ≥时,()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-,
整理,得2
111n n n n n S S S S S +-++=+,
1
111n n n n
S S S S +-+=+, 从而
33124121231
11111n n n n
S S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得11n n S S ++=,所以11n a +=.…………14分
综上所述,(
)*
1N
n a n =∈,
所以0λ=时,数列{}n a 是等差数列.…………16分
第△卷（选做题,40分）
21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—2：矩阵与变换
解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 .…………4分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3).
令f (λ)＝0,解得M 的特征值为λ1＝1,λ2＝3.…………6分 △当λ＝1时,⎣⎡
⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ,得⎩⎨
⎧x ＋y ＝0，
x ＋y ＝0．
令x ＝1,则y ＝－1,于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦
⎤1－1.…………8分
△当λ＝3时,⎣⎡
⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤x
y ,得⎩⎨
⎧x －y ＝0，x －y ＝0．
令x ＝1,则y ＝1,于是矩阵M 的一个特征向量为
⎣⎡⎦⎤11. 因此,矩阵M 的特征值为1,3,分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1,⎣⎡⎦
⎤11.…………10分 B.选修4—4：坐标系与参数方程
解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=,…………4分
易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，
,…………6分 所以交点Q 的极坐标是
)
π4
，.…………10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）
解：（1）因为l 过M (2,0),且当l 垂直于x 轴时,AB ＝4, 所以抛物线经过点(2,2),
代入抛物线方程,得4＝2p ×2,解得p ＝1.…………2分 （2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，
消去x ,得ky 2－2y －4k ＝0,
则y 1＋y 2＝2
k ,y 1y 2＝－4.…………4分
因为C 为AB 中点,所以y C ＝
y 1＋y 22＝1
k
, 则直线l 1方程为：y ＝1
k
.…………6分
因为直线l 2过点M 且与l 垂直,则l 2方程为：y ＝－1
k
(x －2),
联立⎩⎨⎧y ＝1
k ，y ＝－1
k (x －2)，
…………8分
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1,1k
),
所以,点P 在定直线x ＝1上.…………10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）01
11111101=-=+=a a S ；
2
31121111112102=+-=++=a a a S ；
01
1313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；
3
5114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S .…………4分
（2）由二项式定理得,(1),,k k
k n
a k n k =-∈C N ≤, 因为
!()!1!C k n
k n k n -=)!1(]
)!(!)][1()1[(21+-+++-⋅
++=n k n k k k n n n )!1()!
()!1()!1(!21+-+++-⋅
++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ,…………8分 所以∑
==
n
k k
n a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L
高三数学参考答案 第 11 页 共 11 页 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=.…………10分。