2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值教学案(

选修4－2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特
征值与特征向量
(对应学生用书(理)189～191页)
考情分析考点新知
①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进
行矩阵的运算.
②求二阶矩阵的特征值和特征向量，利用特
征值和特征向量进行矩阵运算．
①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆
矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.
②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利
用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向
量进行矩阵运算.
1. 设M＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
01
10
，N＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
10
1
2
，求MN.
解：MN＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
01
10⎣⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
10
1
2
＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1
2
10
.
2. 矩阵M＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
a2
73
，假设矩阵M的逆矩阵M－1＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
b－2
－7a
，求a、b的值．解：由题意，知MM－1＝E，⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a2
73⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
b－2
－7a
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
，即
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
ab－140
7b－213a－14
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧ab－14＝1，
7b－21＝0，
3a－14＝1，
解得a＝5，b＝3.
3. 求矩阵
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
12
－12
的特征多项式．
解：f(λ)＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－1－2
1λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[
1
6－2－6
]的特征值．
解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－1－6
2λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.
5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量． 解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－3－6
－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0， 令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，
当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝1，
故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
－1 1； 当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，
y ＝5，
故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤65.
1. 逆变换与逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．
(2) 假设二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，那么AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －
1. (3) 利用行列式解二元一次方程组．
2. 特征值与特征向量
(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．
(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．
[备课札记]
题型1 求逆矩阵与逆变换
例1 用解方程组的方法求以下矩阵M 的逆矩阵．
(1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1101；
(2) M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1221. 解：(1) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤a b c d ，
那么由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1001，
即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，
c ＝0，
d ＝1，
故M
－1＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－10 1. (2) 设M －1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c d ，
那么由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13
，
b ＝23
，c ＝23
，d ＝－1
3，
故M －1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1
3
23
2
3
－13
.
备选变式〔教师专享〕
矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩
阵及点A 的坐标．
解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，那么M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2－3，
故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝－3，
∴ A 点坐标为(2，－3)． 题型2 求特征值与特征向量
例2 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，
其中a ∈R ，假设点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．
(1) 某某数a 的值；
(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．
解：(1) 由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1
－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4
a ＝3.
(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2321，
那么矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，⎩
⎪⎨
⎪⎧〔λ－2〕x －3y ＝0，
－2x ＋〔λ－1〕y ＝0x ＋y ＝0，
∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨
⎪⎧〔λ－2〕x －3y ＝0，－2x ＋〔λ－1〕y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32.
变式训练
M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤17，计算M 5β.
解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－1－2
－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1.
令β＝m α1＋n α2，那么m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2) ＝4(M 5α1)－3(M 5α2)
＝4(λ51α1)－3(λ5
2α2)
＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.
题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3 矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤11
02有特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值；
(2) 对向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α. 解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，
即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，
所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ4
2e 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1916， M 10
α＝M 10
(e 1＋3e 2)＝M 10
e 1＋3M
10
e 2＝λ101e 1＋3λ10
2e 2＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
210＋3210. 备选变式〔教师专享〕
矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
01，相应的特征值为λ1，λ2.
(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －
1及λ1，λ2；
(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，求M 100
α→.
解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1200－1
， 又Me 1→＝λ1e 1→
，即⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
0＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，
同理Me2→＝λ2e2→，即
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
20
0－1⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
1
＝λ2
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤0
1
，故λ2＝－1.
(2) 因为α
→
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤x
y
＝xe1→＋ye2→，所以M100α→＝M100(xe1→＋y·e2→)＝xM100e1→＋yM100e2→＝xλ1001e1→
＋yλ2100e2→＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
2100x
y
.
1. 求函数f(x)＝
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2cosx
sinx－1
的值域．
解：f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－
1
2sin2x∈⎣
⎡
⎦
⎤
－5
2
，－3
2.
2. 矩阵A的逆矩阵A－1＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－
1
4
3
4
1
2－
1
2
，求矩阵A的特征值．
解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－1
4
3
4
1
2
－1
2
，∴A＝(A－1)－1＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
23
21
.
∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
λ－2－3
－2λ－1
＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
3. (2013·某某)矩阵A＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－10
02
，B＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
12
06
，求矩阵A－1B.
解：设矩阵A的逆矩阵为
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
a b
c d
，
那么
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－10
02⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
a b
c d
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
，
即
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－a－b
2c2d
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
，
故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝1
2.
∴矩阵A的逆矩阵为A－1＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
－10
1
2
，
∴A －1B ＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤12
06＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1－2 0 3. 4.
设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2
＋y 2＝1.
(1) 某某数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．
解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，
y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝[]ax bx ＋y ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y. 因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，
化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，
而由a>0可得a ＝b ＝1.
(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 10－21.
1. 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －1a 1，假设点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．
(1) 某某数a 的值；
(2) 求矩阵A 的特征值．
解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0－8，得a ＋1＝－8，
所以a ＝－9.
(2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－9 1，那么矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.
2. M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .
解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4－1－31，根据矩
阵乘法法那么有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，
2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9
2
，y ＝－1，
z ＝5，w ＝－1，
所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤92
－15
－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M －1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
321221⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31＝⎣⎢
⎢⎡⎦
⎥⎥⎤9
2－15－1. 3. 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，假设点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，
0)，某某数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．
解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.
∴M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2321，那么矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4 令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，⎩
⎪⎨
⎪⎧〔λ－2〕x －3y ＝0
－2x ＋〔λ－1〕y ＝0x ＋y ＝0，
∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1；
当λ＝4时，⎩
⎪⎨
⎪⎧〔λ－2〕x －3y ＝0
－2x ＋〔λ－1〕y ＝02x －3y ＝0，
∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32.
4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤a 00b (其中a>0，b>0)．
(1) 假设a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －
1；
(2) 假设曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：
x2
4＋y
2＝1，求a、b的值．
解：(1) 设矩阵M的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x1y1
x2y2
，那么MN－1＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
.又M＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
20
03
，所以
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
20
03⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
x1y1
x2y2
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
10
01
，所以2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝
1
2
，y1＝0，x2＝0，y2＝1
3
，故所求的逆矩阵M－1＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1
20
1
3
.
(2) 设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y′)，
那么
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
a0
0b⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
x
y
＝
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤x′
y′
，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧ax＝x′，
by＝y′.
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以x′2
4
＋y′2＝1，那么a2x2
4
＋
b2y2＝1为曲线C的方程．又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
⎩⎪
⎨
⎪⎧a2＝4，
b2＝1.
又a>0，b>0，所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝2，
b＝1.
1. 矩阵的逆矩阵
(1) A、B、C为二阶矩阵，且AB＝AC，假设矩阵A存在逆矩阵，那么B＝C.
(2) 对于二阶可逆矩阵A＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
a b
c d
(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
d
ad－bc
－b
ad－bc
－c
ad－bc
a
ad－bc
.
2. 二阶行列式与方程组的解
对于关于x、y的二元一次方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧ax＋by＝m，
cx＋dy＝n，
我们把
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
a b
c d
称为二阶行列式，它的
运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
a b
c d
＝ad－bc.
假设将方程组中行列式
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
a b
c d
记为D，
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
m b
n d
记为D x，⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
a m
c n
记为D y，那么
当D≠0时，方程组的解为
⎩
⎨
⎧x＝D x D，
y＝
D y
D.
请使用课时训练〔B〕第2课时〔见活页〕.
[备课札记]。