2018-2019年最新高考总复习数学(理)第五次高考模拟试题及答案解析一

2018年高考数学五模试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.
1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．
2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N= ．
3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．
4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为．
5．已知i是虚数单位，则|﹣|= ．
6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．
7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：
价格x（元）9 9.5 10 10.5 11
销售量y（件）11 a 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a= ．
8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为．
9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c= ．
11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O为坐标原点），且A到F的距离为3，则p= ．
12．已知S
n 是数列{a
n
}的前n项和，向量
= ．
13．已知2a=3b=6c，k∈Z，不等式＞k恒成立，则整数k的最大值为．
14．设S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和，S
8
=4a
3
，a
7
=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数
阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j= ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）
组别候车时间人数
一[0，5） 2
二[5，10） 6
三[10，15）
4
四[15
，20
） 2
五[20，25] 1
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．16．设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥；
（2）求证：≥．
17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，统计结果如下：API [0，50] （50，
100]
（100，
150]
（150，
200]
（200，
250]
（250，300] ＞300
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：
S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）
18．如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，AC=BC=CC
1
=2，M，N分别为AC，B
1
C
1
的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB
1
A
1
；
（Ⅲ）线段CC
1
上是否存在点Q，使A
1
B⊥平面MNQ？说明理由．
19．已知点P （4，4），圆C ：（x ﹣m ）2+y 2=5（m ＜3）与椭圆E ：
+=1（a ＞b ＞0）有一个公
共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． （Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求
•
的取值范围．
20．定义函数f k （x ）=
为f （x ）的k 阶函数．
（1）求f （x ）的一阶函数f 1（x ）的单调区间； （2）讨论方程f 2（x ）=1的解的个数．
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.
1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= 3﹣i ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，
∴=3﹣i．
故答案为：3﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N= {1，2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1，2}，
∴M∩N={1，2}．
故答案为：{1，2}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是 5 ．
【考点】程序框图．
【专题】计算题；算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；
k=1，S=10﹣1=9；
k=2，S=9﹣2=7；
k=3，S=7﹣3=4；
k=4，S=4﹣4=0；
S≤0，输出k=4+1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．
4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为假设a，b，c都是奇数．
【考点】反证法与放缩法．
【专题】证明题；推理和证明．
【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．
【解答】解：假设a，b，c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”，即反设应为“假设a，b，c都是奇数”．
故答案为：假设a，b，c都是奇数．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．已知i是虚数单位，则|﹣|= ．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简﹣，则答案可求．
【解答】解：由﹣=，
则|﹣|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成
绩超过乙的平均成绩的概率为．
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．
【解答】解：由已知中的茎叶图可得
甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，
则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90
设污损数字为x
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X
则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，
当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，
甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．
7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：
价格x（元）9 9.5 10 10.5 11
销售量y（件）11 a 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a= 10 ．
【考点】两个变量的线性相关．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据回归直线过样本中心点（，），求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可．【解答】解：根据题意得，
==10，
==+6，
因为回归直线过样本中心点（，），
所以+6=﹣3.2+4a，
解得a=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目．
8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为9 ．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可．
【解答】解：根据约束条件画出可行域，如图所示．
则A（1，1），B（4，1），
C（4，5），D（1，3），
则直角梯形ABCD的面积为×3（2+4）=9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面区域面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．
9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为 6 ．
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040．再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数．
【解答】解：由频率分布直方图，得：
（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．
第3组的人数为0.060×5×50=15，
第4组的人数为0.040×5×50=10，
第5组的人数为0.020×5×50=5，
所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，
第4组应抽取×12=4人，第5组应抽取×12=2人．
则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c= 2 ．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】直接利用余弦定理，代入化简，即可求出c．
【解答】解：由acosB+bcosA=2得a•+b•=2，
所以c=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O为坐标原点），且A到F的距离为3，则p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（a，b），则有=，即b=a，代入抛物线方程可得p=a，又由A到F的距离为3，
得a+=3，即可解得答案．
【解答】解：设A（a，b），则有=，即b=a，∴（ a）2=2pa，可得p=a，
又∵a+=3，∴p=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据已知A到F的距离为3，得到a+=3是解答的关键．
12．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量
=
．
【考点】等差数列的性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】计算题．
【分析】由已知中向量
，且
，结合两向量垂直数量积
为0，我们易得到4（a n ﹣1）﹣2S n =0，利用数列的性质我们易判断数列{a n }是一个等比数列，代入数列前n 项和公式，即可得到效果．
【解答】解：∵向量，且
∴4（a n ﹣1）﹣2S n =0 ∴a n =2a n ﹣1
即数列{a n }是以2为公比的等比数列
则
=
=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，数量积判断两个向量的垂直关系，其中利用两向量垂直数量积为0，得到4（a n ﹣1）﹣2S n =0，是解答本题的关键．
13．已知2a =3b =6c ，k ∈Z ，不等式＞k 恒成立，则整数k 的最大值为 4 ．
【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数幂和对数的运算性质，结合基本不等式即可得到结论． 【解答】解：设2a =3b =6c =t ，（t ＞0）， 则a=log 2t ，b=log 3t ，c=log 6t ，
法1：∴ =====2+，
∵lg2≈0.310，lg3≈0.477，
∴，，
则2+≈2+1.54+0.65=4.19
∵不等式＞k恒成立，
∴k≤4，
整数k的最大值为4，
法2： =====2+
＞2，
∵不等式＞k恒成立，
∴k≤4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查与对数有关的恒成立问题，利用对数的运算法则结合基本不等式的性质是解决本题的关键．
14．设S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和，S
8
=4a
3
，a
7
=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数
阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j= 29 ．
【考点】归纳推理．
【专题】计算题；推理和证明．
【分析】设等差数列{a
n }的公差为d，代入已知可解得a
1
和d，可得通项公式，确定第i行的第一个
数，利用数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，可得答案．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，
∵S
8=4a
3
，a
7
=﹣2，
∴8a
1+28d=4（a
1
+2d），a
7
=a
1
+6d=﹣2，
解得a
1
=10，d=﹣2，
∴a
n
=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，
设第i 行的第一个数为b i ，则b 2﹣b 1=d ，b 3﹣b 2=3d ，…，b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣3）d ，
∴b n ﹣b 1=d+3d+…+（2n ﹣3）d=d=﹣2（n ﹣1）2，
∴b n =﹣2（n ﹣1）2+10，
n=18，b 18=﹣568，﹣588=﹣568+（11﹣1）×（﹣2）， ∴i+j=18+11=29， 故答案为：29．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查归纳推理，属基础题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：） 组别 候车时间 人数 一 [0，5） 2 二 [5，10） 6 三 [10，15） 4 四 [15，20） 2 五
[20，25]
1
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计．
【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为
，用60乘以此比例，即得所求．
（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．
【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的概率为，
所以候车时间少于10分钟的人数为
人．…6分
（2）将第三组乘客编号为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为b 1，b 2．
从6人中任选两人包含一下基本事件：（a
1，a
2
），（a
1
，a
3
），（a
1
，a
4
），（a
1
，b
1
），（a
1
，b
2
），
（a
2，a
3
），（a
2
，a
4
），（a
2
，b
1
），（a
2
，b
2
），（a
3
，a
4
），（a
3
，b
1
），（a
3
，b
2
），（a
4
，b
1
），
（a
4，b
2
），（b
1
，b
2
）
其中恰好自不同组包含8个基本事件，
所以，所求概率为…12分
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．
16．设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥；
（2）求证：≥．
【考点】不等式的证明．
【专题】推理和证明．
【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可．
（2）利用分析法由≥，得到条件（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，
推出结论．
【解答】证明：（1）∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，
∵2ab≤a2+b2，2bc≤c2+b2，2ac≤a2+c2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥．
（2）由已知得a+b+c＞0，
欲证≥，只需证≥，
只需证3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，
只需证2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≥0，
即证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，
上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力．
17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下： API
[0，50] （50，
100]
（100，
150]
（150，200]
（200，250]
（250，300] ＞300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染
中度污染 中度重污染 重度污染 天数
4
13
18
30
9
11
15
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：
S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超
过600元的概率；
（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计．
【分析】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由已知条件求出频数，由此能求出该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率． （2）记空气质量轻度污染为事件B ，由已知条件求出P （B ）=，由此能求出三天中恰有一天空气
质量为轻度污染的概率．
【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，
由200＜S ≤600，得150＜ω≤250，频数为39，P （A ）=．
（2）记空气质量轻度污染为事件B ， 由（1）知P （B ）=，
则P （）=
，
记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C ，
则P（C）=××+××+××=0.441．
故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，AC=BC=CC
1
=2，M，N分别为AC，B
1
C
1
的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB
1
A
1
；
（Ⅲ）线段CC
1
上是否存在点Q，使A
1
B⊥平面MNQ？说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC
1
B
1
．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；
（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB
1
，可得四边形MDB
1
N为平行四边形，可得MN∥DB
1
，由线面平行的
判定定理可得MN∥平面ABB
1
A
1
；（Ⅲ）当Q为CC
1
中点时，有A
1
B⊥平面MNQ．连接BC
1
，易证QN⊥
BC
1
．可得A
1
B⊥QN，A
1
B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．
【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
所以CC
1
⊥平面ABC，所以AC⊥CC
1
，…
因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC
1
B
1
．…
因为MC=1，CN==，
所以MN=…
（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB
1
…
在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．
在矩形B
1
BCC
1
中，因为N为B
1
C
1
中点，所以B
1
N∥BC，B
1
N=BC．
所以DM∥B
1
N，DM=B
1
N．所以四边形MDB
1
N为平行四边形，所以MN∥DB
1
．…
因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1…
所以MN ∥平面ABB 1A 1． …
（Ⅲ）解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． … 证明如下：连接BC 1，
在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1．
又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1．… 所以A 1B ⊥QN ． … 同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ ．
故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ ． …
【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题．
19．已知点P （4，4），圆C ：（x ﹣m ）2+y 2=5（m ＜3）与椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）有一个公
共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． （Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求
•
的取值范围．
【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）先利用点A 在圆上求出m ，再利用直线PF 1与圆C 相切求出直线PF 1与的方程以及c ，再利用点A 在椭圆上求出2a ，即可求出椭圆E 的方程；
（2）先把用点Q 的坐标表示出来，再利用Q 为椭圆E 上的一个动点以及基本不等式即可求
出
的取值范围．
【解答】解：（1）点A 代入圆C 方程，得（3﹣m ）2+1=5．
∵m＜3，
∴m=1．
设直线PF
1
的斜率为k，
则PF
1
：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0．
∵直线PF
1
与圆C相切，圆C：（x﹣1）2+y2=5，
∴，
解得．
当k=时，直线PF
1
与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k=时，直线PF
1
与x轴的交点横坐标为﹣4，
∴c=4．
∴F
1（﹣4，0），F
2
（4，0）．
故2a=AF
1+AF
2
=，，a2=18，b2=2．
椭圆E的方程为：．
（2），设Q（x，y），
，．
∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|•|3y|，
∴﹣18≤6xy≤18．
则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．
∴x+3y的取值范围是[﹣6，6]
∴x+3y﹣6的范围只：[﹣12，0]．
即的取值范围是[﹣12，0]．
【点评】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．
20．定义函数f k （x ）=
为f （x ）的k 阶函数．
（1）求f （x ）的一阶函数f 1（x ）的单调区间； （2）讨论方程f 2（x ）=1的解的个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断． 【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数f 1′（x ），令f 1′（x ）=0，讨论当当a=0时，当a ＞0时，当a ＜0时，f 1（x ）的单增区间，单减区间．
（2）由方程f 2（x ）=1，当a=0时，方程无解；当a ≠0时，
=．构造函数g （x ）=
（x ＞0），
求出对数g ′（x ），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0＜＜，即a ＞2e 时，方程有两个
不同解．当＞，即0＜a ＜2e 时，方程有0个解．当=
或＜0即a=2e 或a ＜0时，方程有唯
一解．
【解答】解：（1）f 1（x ）=
（x ＞0），f 1′（x ）=
=
（x ＞0），
令f 1′（x ）=0，当a ≠0时，x=e ． ∴当a=0时，f 1（x ）无单调区间；
当a ＞0时，f 1（x ）的单增区间为（0，e ），单减区间为（e ，+∞）； 当a ＜0时，f 1（x ）的单增区间为（e ，+∞），单减区间为（0，e ）．
（2）由
=1，当a=0时，方程无解；当a ≠0时，
=．
令g （x ）=（x ＞0），则g ′（x ）==．由g ′（x ）=0得x=，
从而g （x ）在（0，）上单调递增，在（
，+∞）上单调递减．g （x ）max =g （
）=．
当x →0时，g （x ）→﹣∞，当x →+∞时，g （x ）→0．
当0＜＜，即a ＞2e 时，方程有两个不同解．
当＞，即0＜a ＜2e 时，方程有0个解．
当=
或＜0即a=2e 或a ＜0时，方程有唯一解．
综上，当a ＞2e 时，方程有两个不同解；当0＜a ＜2e 时，方程有0个解；当a=2e 或a ＜0时，方程有唯一解．
【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用．。