2015-2016学年陕西省咸阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题为5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（）
A．B．
C．D．
3．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1
4．（5分）下列函数求导正确的是（）
A．（sin x）′＝﹣cos x B．（cos x）′＝sin x
C．（2x）′＝x•2x﹣1D．（）′＝﹣
5．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是（）
A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0B．若x2﹣3x+2＝0，则x＝2
C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2D．若x≠2，则x2﹣3x+2＝0
7．（5分）要证明不等式+＜2，可选择的方法有（）
A．分析法B．综合法
C．反证法D．以上三种方法均可
8．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为（）
A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%
9．（5分）若实数m满足0＜m＜8，则曲线C1：﹣＝1与曲线C2：﹣＝1的（）
A．焦距相等B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等D．离心率相等
10．（5分）已知椭圆+＝1（m为实数）的左焦点为（﹣4，0），则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）观察下列各式：＝2•，＝3，＝4•，…，若＝9•，则m＝（）
A．80B．81C．728D．729
12．（5分）函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）
A．在（1，2）上函数f（x）为增函数
B．在（3，4）上函数f（x）为减函数
C．在（1，3）上函数f（x）有极大值
D．x＝3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点
二、填空题：每小题5分，共20分．
13．（5分）若输入a＝3，b＝4，则通过如图程序框图输出的结果是．
14．（5分）设i为虚数单位，则复数i2015的共轭复数为．
15．（5分）函数f（x）＝alnx+x在x＝1处取得极值，则a的值为．
16．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣9x+3．求：
（Ⅰ）f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f（x）的极值．
18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1＝0上．（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB 的中点C的横坐标．
19．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N+）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．
20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？
21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝﹣2x+m（m＞0），试求m的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝+x在x＝1处的切线方程为2x﹣y+b＝0．（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．
2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题为5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：
所以z在复平面内对应的点为（1，﹣1）
位于第四象限
故选：D．
2．【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
对照图形：BD样本点成直线形带状分布，B是负相关，D是正相关，
C样本点不成直线形带状分布．
∴两个变量具有正相关关系的图是D．
故选：D．
3．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
4．【解答】解：（sin x）′＝cos x，（cos x）′＝﹣sin x，（2x）′＝ln2•2x，（）′＝﹣，故选：D．
5．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．【解答】解：命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是
“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”．
故选：C．
7．【解答】解：用分析法证明如下：要证明+＜2，
需证（+）2＜（2）2，
即证10+2＜20，
即证＜5，即证21＜25，显然成立，
故原结论成立．
综合法：∵（+）2﹣（2）2＝10+2 ﹣20＝2（﹣5）＜0，∴+＜2．
反证法：假设+≥2通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．
从以上证法中，可知三种方法均可．
故选：D．
8．【解答】解：∵K2＝8.01＞6.635，对照表格：
∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．
故选：C．
9．【解答】解：当0＜m＜8，则0＜8﹣m＜8，16＜24﹣m＜24，
即曲线C1：﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝24，b2＝8﹣m，c2＝32﹣m，
曲线C2：﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a′2＝24﹣m，b′2＝8，c′2＝32﹣m，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A．
10．【解答】解：椭圆+＝1（m为实数）的左焦点为（﹣4，0），即有a＝|m|，b＝3，c＝4，
由c2＝a2﹣b2，即16＝m2﹣9，
可得a＝|m|＝5，
可得离心率e＝＝．
故选：B．
11．【解答】解：：＝2•＝2•，
＝3，
，＝4•＝4，
…，
所以，
所以＝9•＝9，
所以m＝93﹣1＝729﹣1＝728；
故选：C．
12．【解答】解：根据导函数图象知，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（2，4）时，f′（x）＜0，x∈（4，5）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2），（4，5）上为增函数，在（2，4）上为减函数，x＝2是f（x）在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点；
∴A正确．
故选：A．
二、填空题：每小题5分，共20分．
13．【解答】解：模拟执行程序，可得
a＝3，b＝4
d＝9+16＝25，
c＝5，
输出c的值为5．
故答案为：5．
14．【解答】解：i2015＝（i4）503•i3＝﹣i，
∴它的共轭复数为i．
故答案为：i．
15．【解答】解：由题意得f′（x）＝+1
因为函数f（x）＝alnx+x在x＝1处取得极值，
所以f′（1）＝0，即a+1＝0，所以a＝﹣1．
故答案为﹣1．
16．【解答】解：由于抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．再由抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，
故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．
17．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+6x﹣9，解f′（x）≥0得：
x≥1，或x≤﹣3；
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3]，[1，+∞）；
（Ⅱ）x＜﹣3时，f′（x）＞0，﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴x＝﹣3时f（x）取极大值30，x＝1时，f（x）取极小值﹣2．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1＝0上，∴F（1，0）
∴抛物线方程为y2＝4x；
（Ⅱ）抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
直线AB的方程为y＝x﹣1，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．
将y＝x﹣1代入y2＝4x得x2﹣6x+1＝0．
则x1+x2＝6，x1•x2＝1．
故中点C的横坐标为3．
19．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，
a2＝，a3＝，a4＝
猜想：a n＝；
（Ⅱ）∵通项公式为a n的数列{a n}，若a n+1﹣a n＝d，d是常数，
则{a n}是等差数列，…大前提
又∵﹣＝，为常数；…小前提
∴数列{}是等差数列．…结论
20．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（2分）
（2）∵，，…（6分）
，
，，
，…（9分）
故y关于x的线性回归方程是：．…（10分）
（3）当x＝25时，y＝1.28×25+4.88＝36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）
21．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，∴c＝，a＝2，
∴b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＝1；
（Ⅱ）直线AB的方程为y＝﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得
17x2﹣16mx+4m2﹣4＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝，①
由OA⊥OB，
知x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m）
＝5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2＝0，
将①代入，得5×﹣2m×+m2＝0，
∵m＞0，
∴m＝2．
22．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝+x，
∴f′（x）＝+1，
∵f（x）在x＝1处的切线方程为2x﹣y+b＝0，
∴+1＝2，2﹣1+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣1；
（Ⅱ）f（x）＝lnx+x，g（x）＝x2﹣kx+lnx+x，
∴g′（x）＝x﹣k++1，
∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴g′（x）≥0在其定义域上恒成立，
∴x﹣k++1≥0在其定义域上恒成立，
∴k≤x++1在其定义域上恒成立，
而x++1≥2+1＝3，当且仅当x＝1时“＝”成立，∴k≤3．。