重庆八中初2021级2020—2021学年度(上)入学考试数学试题

6
⎨
0.5 y=x -1
⎨
y = 2x -1
⎨
0.5 y=x +1
⎨
y = 2x -1
重庆八中初2021 级2020—2021 学年度（上）入学考试
数学试题
（全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题答案书写的答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
参考公式：抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠的顶点坐标为
2
4
,
24
b a
c b
a a
⎛⎫
-
-
⎪
⎝⎭
，对称轴为
2
b
x
a
=-.
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、
D 四个答案，其中只有一个是正确的．
1．
1
的相反数是（）
4
A．
1
4
B．-
1
4
C．4 D．-4
2．下列图形中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
3．国家发改委2 月7 日紧急下达第二批中央预算内投资2000000 元人民面，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2000000 用科学记数法表示为（）A．2 ⨯107B．2 ⨯108C．20 ⨯107D．0.2 ⨯108
4．如图，该立体图形的左视图为（）
5．使分式x
3 -x
有意义的x 的取值范围为（）
A．x >-3B．x < 3 C．x ≠-3D．x ≠ 3
6．估计 3 ⨯-1的值应在（）
A．1 和2 之间B．2 和3 之间C．3 和4 之间D．4 和5 之间
7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（）
A．
⎧y =x + 4.5
⎩
B．
⎧y =x + 4.5
⎩
C．
⎧y =x - 4.5
⎩
D．
⎧y =x - 4.5
⎩
3 8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A ．如果a 2 = b 2 ，那么a = b
B ．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C ．13 个人中至少有两个人生肖相同
D ．将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，一定正面向上
9．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，第1 个黑色 形由3 个正方形组
成，第2 个黑色 形由7 个正方形组成，…．，那么组成第 8 个黑色
形的正方形个数为（
）
A ．20
B ．31
C ．33
D ．37
10. 若关于x 的分式方程131022ax x x -+-=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)
1
22
x x x x a ≥-⎧⎪
⎨--<⎪⎩有且仅有3个负整数解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
11．如图，在等腰Rt △ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = BC = + 1 ，点 D 是
AC 上一点，将△BCD 沿 BD 折叠至△BC 'D ，连接 AC ' 且满足 AC ' = DC ' ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）
A ．2
B 2(62)-． 6+2
D 3
12.如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴上的正半轴上，点D在对角线OB：
2
3
y x
=，且满足26
OD=,反比例函数(0,0)
k
y k x
x
=>>的图象经过C、D两点，已知平行四边形OABC的面积是20
3
，则点B的坐标（）
A．
47
27,
3
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
B．
10
5,
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．()
6,4D．
238
38,
3
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
二、填空题：（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．13．分解因式：x3 -xy2 =．
14．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15 个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75 ，则袋中白球有个．
15．已知一个正n 边形的每个内角都为144︒，则边数n 为．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90︒，CA =CB = 4 ，分别以A 、B 、C 为圆心，以
1
AC 为半径画
2弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．
17．一条笔直的公路上顺次有A 、B 、C 三地，甲车从B 地出发往A 地匀速行驶，到达A 地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B 地出发往A 地匀速行驶（乙车比甲上快），到达A 地停留1 小时后，调头按原速向C 地行驶，甲乙两车相遇后，甲车速度提升至原速的1.5 倍，乙车速变不变，若AB 两地相距300 千米，在两车行驶的过程中，甲，乙两车之间的距离y （千米）与乙车行驶时间x
（时）之间的关系如图所示，则甲车到达A 地后，经过时乙车到达C 地．
18．今年8 月20 日，重庆八中学子在第37 届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣程度，老师对同学们做了－次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8 人；选数学的人数是选生
物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5 倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24 人，则喜欢数学共有人．
三、解答题（本大题7 个小题，每小题10 分，共70 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10 分）计算：
（1）2
2(1)(2)(21)
y y y
+--+（2）
2
542
1
11
x x x
x
x x
--
⎛⎫
++÷
⎪
--
⎝⎭
20．（10 分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，对角线AC 、BD交于点O ，BD平分∠ABC ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接QE ，若DC = 2
长．
，AC = 4 ，求OE 的
5
21．（10 分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100 分，现从两个班分别随机抽取了20 名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x 表示，共分为五组：
A:0≤x<80，B:80≤x<85，C:85≤x<90，D:90≤x<95，E:95≤x≤100），
下面给出了部分信息：
甲班20 名学生的成绩为：
乙班20 名学生的成绩在D 组中的数据：93，91，92，94，92，92，
92．甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：
班级甲班乙班
平均数91 92
中位数91 b
众数c92
方差41.227.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a ，b ，c 的值：a =；b =；c =；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x ≥ 95 ）的学生人数是多少？
22.小明根据学习函数的经验，对函数
4
1,(1)
2
6, (1)
x
y x
x x
⎧
+>-
⎪
=+
⎨
⎪+≤-
⎩
的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）如表是y 与x 的几对对应值：
x…-7 -5 -1 0 1 2 3 4 …
y…-1 a 5 3 7
3
b
9
5
5
3
…
其中a =；b =；
（2）函数图象与y轴的交点坐标是；
（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图
象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质：
；
（5）观察函数图象，直线y =m（m 为常数）
恰好与函数图象有两个交点，则m 的取
值范围是．
甲班
82 85 96 73 91 99 87 91 86 91
87 94 89 96 96 91 100 93 94 99
23．（10 分）“无夜景，不重庆”，以“祖国万岁”为主题的庆祝中华人民共和国成立70 周年灯光秀，
9 月21 日至10 月10 日在“山水之城，美丽之地”重庆上演．据了解，此次以重庆大剧院灯光
“领舞”，临近的12 栋楼字灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED 照明灯和LED 投射灯共50 万个，共花费860 万元．已知LED 照明灯的售价为每个8 元，LED 投射灯的售价为每个100 元．请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：
（1）本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED 照明灯和LED 投射灯各多少个？
（2）某栋楼宇计划安装LED 照明灯18000 个，LED 投射灯500 个，因楼宇本身的设计原因，实际安装时LED 投射灯比计划多安装了20% ，LED 照明灯的数量不变，商家为祖国70 华
诞而让利把LED 照明灯和LED 投射灯售价分别降低了m% 、3
m% ，实际上这栋楼宇LED 5
照明灯和LED 投射灯的总价为159000 元，请求出m 的值．
24：（10 分）根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）
材料2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别2 倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数 A 规定一个运算；K (A)=x2 +y2 +z2 ，例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、
8、2．则K (191)= 22 + 82 + 22 =
72 ．请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数：，最小的三位对称数：；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100 个对称数；
（3）一个四位的“对称数” B ，若K (B)= 8 ，请求出 B 的所有值．
25．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(-6, 0) ，点 B 的坐标是(4, 0) ．等腰Rt △BOC
的顶点C 在 y 轴正半轴．
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）如图 2，点 D 为线段 BC 上一动点， E 为直线 AC 上一点，连接 DE 且满足 DE 平行于 y 轴，连
接 BE ，求△BDE 面积取得最大值，并求出此时 E 的坐标；
（3）在第（2）问 △BDE 面积取得最大值条件下，如图 3，将 △AOC 绕点O 顺时针旋转得到△A 1OC 1 ，
点C 1 恰好落在直线 DE 上，将△A 1OC 1 沿着直线 AC 平移得到△A 2O 2C 2 ，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A 2O 2C 是以O 2C 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O 2 的坐标；若不存在，说明理由．
四、解答题（本大题 1 个小题，共8 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画
出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8 分）在Rt ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边AB的中点，连接CD ，点E 在边BC 上，且AE⊥CD 交CD 于点F.
（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = ，求AF 的长；
（2）如图2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +
（3）如图3，当∠ACB = 75︒
时，直接写出
FA
的值．
CF
2
BF
；
7。