大学物理振动波动PPT课件

b. 和t 求解
如 :
旋转矢量法
解析法 由 x00.0 40.0c8os
π
3
旋矢法
v 由0 旋 矢A 图si n 0 判s 断 i n 0 π3
A π
x/m
知 π
.
3
o
3
0.04 0.0158
15.
[例2] 一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求：
(1) 初相 ；(2) 求运动方程,并用旋矢表示之；
讨论: a. 所含各种情况
= 0 , 直线(谐振动)
y A1 x A2
= /2 , 3/2 正椭圆 如 A1=A2 圆
— 其他情况 斜椭圆
b. 右旋与左旋
如 = 2 - 1>0
y 超前x 顺时针旋转(右旋)
如 = 2 - 1<0
x超前y 逆时针旋转(左旋).
28
28.
*三 .多个同方向同频率简谐运动的合成
两边对 t 求导
d(1mv21kx2)0 dt 2 2
.
d2x k x 0 dt2 m
21
21.
[例] 求图示系统的振动频率 .设轻绳与定滑轮
间无相对滑动.
分析:
k
J,r
a. 寻找平衡位置 , 建立图示坐标系 mgkx0
b. Ⅰ法 动力学法
m
o
x0
偏离x 平动与转动隔离
对m : mgFT ma
对J : F Trk(x0x)J
Fr 2mr2
at
5 (Rr)
d2
dt2
at r
d2
dt 2
2
(sin)
R FT c r
F
mg
T 2π 7(Rr)l
5g.
18
18.
[例2] 细杆(m,l )竖直时,水平轻质弹簧( k )处于 自然状态, 求细杆作小幅摆动时的周期T。
分析: 偏离
对o : [m2 ls gin ksli( n lco )s ]1 3 m 2d d 2 tl2
一.广义振动 — 物理量在中心值附近作周期性变化
1. 机械振动
位置或位移
特征
运动学— 周期性 动力学— 恢复力
形态
轨迹 — 直线或曲线 形式 — 平动(质点) 或转动(刚体)
2. 非机械振动 电磁振荡、交流电……
以上具有相似物理规律.和研究方法
1
1.
二.最基本的振动 —— 简谐运动
叠加
简谐运动
复杂振动
规定 逆时针在前为超前
3
2o
图(a) A1
x
对(a)图 x2超前x1 (2－1)≤
(b)图 x1 超前 x2 /2 或. x2滞后 x1 /2
A2
图(b)
12
12.
如 x(22kk1)
K0,1,2,同相 “步调一致”
x 反相 “步调相反”
x
x
A1
o A2
o
A1
t
o A2
o
t
12 0
5. t 或
弹簧振子固有周期 T 2 π m
.
k
6
6.
3. 相位 x
由前知 v f[ (t ) ]“ t ” — t 时状态(相)
a
xAcost()
x = A ,v = 0 t2k k = 0,1,2,…
x = 0 ,v < 0
t2k
2
x =－A ,v = 0 t2k
x = 0 ,v > 0 t32k
2
(或
相位差初相差规定相位差同频率两振动步调回到平衡位置第一次如振子由初始状态同相步调一致反相步调相反已知运动方程一系列物理量由已知条件运动方程确定三要素其它物理量一质量为001kg的物体作简谐运动其振幅为008m周期为4s起始时刻物体在x004m处向ox轴负方向运动如图
第九章 振动
概述
振动、波动 — 横跨物理学所有领域
25.
[例] 一谐振动 x10.3cost(3)(S)I
分别与下列谐振动合成,求合运动方程.
(1) x20.4cost(3)(S)I
(2) x30.4cost(43)(S)I (3) x40.3cost(3)(S)I (4) x50.4cost (56)(S)I 讨论: 比较：旋矢法与解. 析法
26
16
16.
9－3 单摆和复摆
一.复摆 (物理摆) — 一维角谐振动模型
如图 偏离平衡位置
Mmgsiln 如 5 sin
转动正向
O
l
*C
M(mg )l (Kmg)l
有
d2
dt2
(mgl)
J
(2 mgl)
J
P
（C点为质心）
m co ts ()运动方程 (准谐振动) A
转
T 2 2π
J mgl
y
vm t
π
2
an
A
M
o a vP x
t
.
10
10.
注 a. 规定
＋
b. 旋矢图
－
一般：
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限 正角，
状态
相位
Ⅳ象限 负角
一 一对应
二.旋转矢量法
1. 表示谐振动（三要素）
xAco st()
3
o
3
A
v0
x0 P x
2. 描绘x－t 曲线
3. 确定初相位 (或相位) (几何法)
.
11
m与J : ar
2 k r2
mr2 J
. 2
x
对m :
d2x dt2
xmkr2r2
J
x
对J
:
d2
dt2
kr2
mr2 J
——系统固有性质 22 22.
c. Ⅱ法 能量法
k
J,r
偏离 x 系统( m、k、J、地球 )
E 1 2m 2 v m g 1 2Jx 2 1 2k(x 0 x )2 C o
14
14.
m 0 .0 k ,1 A g 0 .0 m ,T 8 4 s ,t0,x0.04m0 ,0 v
求(1) t1.0s,x,F
(2) x = 0.04 m 到-0.04 m最短时间
v
分析:
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08
a. 先求运动方程(三要素) ,其中 为关键
解析法
分解
理想模型
一维平动 — 弹簧振子 一维转动 — 复摆（含单摆）
.
2
2.
9－1 简谐运动 振幅 周期与频率 相位
一.简谐运动
k l0
F
弹簧振子(一维平动
mm
集中质量＋弹性系统)
A o xA x
以平衡位置为原点、建立图示坐标系
偏离x FFkx 动力学方程 等
k：劲度系数、一般为振动常数
价
ddt22xm k x2x 运动微分方程
10,2
A
如振子由初始状态 ( x0=－A/2 回到平衡位置(第一次)
,
v0<)
A
P
A/2
o
由旋矢图知 t5
A x
32 6
6. 谐振动合成( 9－5)
. 由此 与 t 可互求13 13.
三.谐振动的运动学分析
1. 已知运动方程→ 一系列物理量
2. 由已知条件→运动方程(确定三要素) →其它物理量
(动和静)平衡位置，偏离. 量x ( )、力(矩)分析…5
5.
二.简谐运动的运动学描述
1.振幅 A
最大位移 A xmax
2.周期与频率
表征能量
xAcost()A co (s t [T)]A co ts (2)
x
比较 T2
A
即 2π 2
T
o
Tt
T
A
2
单位时间,全振动次数的2倍
、T、 — 固有量，取决振动系统动力学特征
ad2xA2cost ()
dt2
am
d. 推广 — 角谐振动( < 5° )( 9－3 )
.
4
4.
[例] 证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量(k, )
（1）将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧 伸长量为l0
（2）如图所示，两弹簧串联，水平面光滑
k
k1
k2
m
l0 m
讨论:
动力学分析 — 判断振动性质，求固有量
很小时, sin co s1
o
θ
有
(m2 g lk2l)1 3m2ld d2 t2
mg
L
F
K
T2 2ml
3(mg2kl)
讨论: 动力学分析步骤?.
19
19.
9－4 简谐运动的能量
以弹簧振子为例
t :系统能量 E k1 2m v21 2m 2A 2si2(n t)
E P1 2k2x 1 2m 2A 2co 2(st)
A0
29
29.
讨论:
D
R
a. 若 2k k0,1,2 o N A
同相合成 A NA0 最大
A0
A0
A0
A0 A0
A0
b. 若 N2k
B
A
A0C
A0
72 72
k 1 , 2 , 但 k N , 2 N , 3 N ,
A（0 N个矢量构成一闭合图形）72
如 N5,k1 则 72 （如图）
E E k E P1 2m 2 v 1 2k2x 1 2k2 A C守恒
能量
Ep
总能量
C
E
B
势能
Ek
o T T 3T T
42 4
动能
t.
Ep
A O x A20 x 20.
讨论:
能量法 —— 判断广义简谐运动
简谐运动——能量特征——能量守恒 以弹簧振子为例：
振子偏离平衡位置 x 时
E1mv21k x2 C 22
一.简谐运动与匀速圆周运动
如图所示 旋转矢量 A
t0(M0,P0)
t (M,P)
A
M
t M 0
A
o x PP0 x
y
vm t
π
2
an
A
o
a
v
x
t
.
9
9.
矢端M
运动性质
匀速率 圆周运动
投影点P 关系
简谐振动 合与分
角速度(逆) 角频率 数值相等
( t＋ ) t 时角位置 相位
同上
t = 0 角位置 初相位 同上
A2
x x 1 x 2 A cot s)( 2
仍为谐振动， 不变
Ox
2
1
x
1
A1
A
x
A A 1 2 A 2 2 2 A 1A 2co2 s1( )与相位差 有关
tanA A 11csio n1 1 s A A2 2scio n 22 s .
24
24.
讨论:
x
a.如 2kπ 21
(k0， 1， ) o
如: x1A1cost
x2A 2co ts ()
x3 A 3 cots2 ()
x N A N cot s(N [ 1 )]
合运动仍为简谐运动
相位差依次恒为
D
R o N A
xA co ts ()
R
E
如 则
A A1 A A2 0 s isnin NA 22N .A 0NB212GA0 C
)
2
如
t
=
0
则
—
初始状态 .
一般取k= 0 描述 ±2k—重复性
7
7.
4. 常数A 、 的确定( 解析法)
t=0
x0 Acos
v0Asin
A
x
2 0
( v0
)2
arctan(
v0 )
x0
— 任意角(4个象限)
或
arccosx0
A
再结合v0(>0、=
0、<0)判断
.
8
8.
9－2 旋转矢量
11.
讨论:如振子P，t = 0 时处于下状态，求
(1)
x0
A 2
v0 0 ;
(2)
x0
A 2
v0 0
v0
由图知
A1 1
1
3
2
3
2
3
4
3
A P 2
4. 相位差 (同频率) A/2 o
— 两振动“步调”
v0
相位差
A2
A
x
A2
A1
o
2 1
x
( t 2 ) ( t 1 ) 2 1(初相差)
[例1] 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振 幅为0.08 m,周期为4 s,起始时刻物体在 x = 0.04 m 处,向ox 轴负方向运动（如图）.试求: (1) t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力；
(2) 由起始位置运动到 x = -0.04m处所需要的最
短时间.
v x/m
0.080.04 o 0. .04 0.08
26.
二.两个相互垂直同频率简谐运动的合成
x A 1 cot s1 ( )y A 2co t s2 ) (
合振动轨迹方程(消去t )—— 椭圆方程
A x1 2 2A y2 2 2A 2 1 x A 2c yo2s (1)si2(n21)
.
27
27.
A x1 2 2A y2 2 2A 2 1 x A 2c yo2s (1)si2(n21)
如 N5,k2则 14 4144
72
A0
144
（如图）
144
c. 次级大 (2k1).
14430
30.
四.两个同方向不同频率简谐运动合成 —拍
判 别
：角频率
2 k m
— 系统属性
式
xAcost() 运动方程
A、 ：积分常数 — 初. 始条件
3
3.
注 a. x — 平衡位置 量度
b. k、 — 固有性质 与初始条件无关
A、 — 初始条件 与固有性质无关
c.
xAcost ()
vdxAsi nt()
t 或( t + )
dt vm
周期性函数
(3) 第一次到达 x 2 A 处的速度和 x(cm)
2
加速度。
分析: a. 简便路径: 用旋矢法求
2
o
1
1
t (s)
和 ,并结合相位法求第三问
b. 旋矢图
2 A0
A1
由图知
2 3
1
11t
6
第一次到达次 x 2
2
A 处相位
P
2 1 o
t2
1 1.414 x(c
2 2
A
4
m)
讨论: 比较：解析法、旋. 矢法、相位法
l
—
质心
c
至转轴
o
距离
二.单摆 (数学摆) — 复摆一个特例
J m2l
T 2π
l .g
l FT
动 正 向
O m
P 17
17.
[例1]一半径为 r 的均质球,可沿半径为 R 的固定
大球壳的内表面作纯滚动(如图)试求圆球绕平衡