微弱信号检测1

Hale Waihona Puke TTx (t ) y (t )dt
互相关函数的重要特点：
互相关函数不再是偶函数，即Rxy(τ) ≠ Rxy(-τ)，但Rxy(τ) ＝Ryx (-τ)。
互相关函数的下界由下式确定：
R xy ( )
R x ( 0) R y ( 0)
τ值很大时，互相关函数反映x (t) 和y (t)均值的乘积， 即： Rxy () x y 对于平稳随机噪声，Rxy(τ)仅与时间差τ有关，与计 算时间的起点无关。
②归一化互相关函数ρxy(τ)
xy ( )
Rxy ( ) Rx (0) R y (0)
R xy ( ) Rx (0) R y (0) 1 x ( ) 1
1.3.4 随机噪声的功率谱密度函数 研究周期信号或非周期信号时，信号的特征常 用频谱描述，反映信号各频率分量的幅度和相位 随频率变化的情况，也可用能谱或功率谱描述。 随机信号既不能用确定的时间函数表示，也无法用 幅度谱表示，只能用功率谱描述其频率特性。 电噪声测量及计算主要关心噪声功率。 （1）功率谱密度函数Sx(ω) 设噪声电压x(t)的功率为Px，则噪声的功率谱密度 Px 函数定义为：S x () lim 0 j S ( ) R ( ) e d x x 自相关函数和功率谱密度 1 函数满足傅里叶变换关系： Rx ( ) 2 S x ( )e j d
P (a x b) p( x)dx且
a b
p( x)dx
上式说明：在概率密度函数曲线下覆盖的面积 为 1。
随机噪声波形x(t)
与概率密度函数
p(x)之间的关系
（1）正态分布概率密度函数
对于正态分布的随机噪声，在普通示波器上观测到
的将是杂乱无章的亮带，可以用亮带的峰峰值除以
微弱信号检测
1
微弱信号检测 与随机噪声
1.1 微弱信号检测概述
1.1.1 微系统
（1）MEMS（ Micro- electro Mechanical 微机电系统 （2）Micro system （3）Micro machine 微系统的发展和应用 监视系统、电子对抗系统、电子战无人机（UAV）、 纳米机器人、隐形技术、武器惯性测量、武器保险/解 保和引爆、平台稳定、个人/运载工具导航、条件基维 护（CBM）、环境感知、大量数据存储、显示等。 微系统 微机器 Systems ）
④y(t)的均值 μy： ∵ y(t)的幅值B是高斯分布，其均值为0，方差为1。 ∴ y E[ y(t )] E[B sin(0t )] E(B) E[sin(0t )] 0 ⑤互相关函数Rxy(τ): ∵B和φ相互独立 ∴ Rxy ( ) E[ x( x ) y(t )] E[ Asin(0 (t ) )B sin(0t )] x y 0 ⑥互协方差函数Cxy(τ): C xy ( ) Rxy ( ) x y 0
例2.随机相位正弦波 x(t ) A sin(0t )，φ在0~2π 之间均匀分布，幅度A为常数；随机幅度正弦波
1 b2 率密度函数为：p( B) exp[ ] ，试求x(t)和y(t)的 2 2 统计特征量 x、 2 x、Rx ( )、 y、Rxy ( )和C xy ( )。
2 A 2 x E[ x 2 (t ) x ] E[ A2 sin 2 (0 )] E[1 cos(20 t 2 ) 2 A2 A2 1 2 A2 0 cos(20 t 2 )d 2 2 2 2
③x(t)的自相关函数Rx(τ)：
SNR
N
SNRo SNIR SNRi
常规检测方法 微弱信号检测 吉时利公司
1.2 常见噪声类型
1.2.1 噪声特性
噪声是存在于电路内部的固有的扰动信号， 是一种随机信号，不能预知其精确大小。
1.2.2 噪声测量 测量噪声电压时，测量设备的动态范围必须 大于3倍的被测噪声的有效值。
用电压表（交流毫伏表）测噪声时，必须使 表针指示不大于1/3倍，实际测量时使表针指 示小于一半量程即可。
互协方差函数 定义为： C xy (t1, t2 ) E{[ x(t1 ) x ][ y(t2 ) y ]} Rxy (t1, t2 ) x y 如果对于任意的t1和t2都满足Cxy(t1,t2)=0，则称x(t) 与y(t)互不相关。
对于平稳随机噪声，上式可化简为： C xy ( ) Rxy ( ) x y，其中 ＝t1 t2

T
T
x (t ) x (t )dt
Rx(τ)的重要性质：
Rx(τ)仅与时间差（即时延τ）有关，与时间起点无关；
由于绝大多数噪声相互独立，故Rx(τ)随τ增加而衰减； τ＝0时，时间τ产生的噪声与其自身相关，此时Rx (τ)具有最 大值，代表噪声的均方值。
1 Rx (0) lim T 2T
y(t ) B sin(0t )
，B是与φ 相互独立的随机量，B的概
解：①x(t)的均值μx：
x E[ x (t )] x (t ) p( x )dx 0 A sin(0 ) p( )d

2 ②x(t)的方差 x ：
2
A 2 0 sin(0 t )d 0 2
可以认为是均匀分布噪声，计算机内部运算过程中由
运算精度导致的舍入误差也可看作均匀分布噪声。 1.3.2 均值、方差和均方值 （1）均值（数学期望值） x E[ x(t )] x(t ) p( x)dx 电路中的噪声（具有各态遍历性质），其统计平均

可用时间平均来计算。
1 x lim T 2T
自相关函数可以应用于随机噪声，也可以应用于确定性信 号。
例1. 利用采样保持器对零均值连续随机电压波形进行 不断的采样保持，保持的时间间隔为1s。设各采样之 间互不相关，采样值在-1~+1之间均匀分布。t=0之后 第一次采样时间t1在0~1s之间均匀分布。采样保持器
的输出波形x(t)如图，试求x(t)的功率Px和自相关函数
对于零均值平稳随机噪声x(t)与y(t) ，有 x y 0 则： C xy ( ) Rxy ( ) 若对所有τ都满足 Rxy ( ) Ryx ( ) ，则 0 x(t)与y(t)互不相关。
相关函数的上述特性对于从噪声中检测微弱信号非 常有用。一般情况下，被检测的有用信号和淹没信号 的噪声之间不存在相关性，因此，采用相关方法可能 将有用信号从随机噪声中提取出来。 相互独立 描述两路随机噪声之间的相互关系的另一术语。 当随机噪声x和y相互独立时，其联合概率密度p(x,y) 可以分解为：p(x,y)=p(x)p(y) 上式成立时，x和y必定相互独立，且 E[xy]=E[x]E[y]。 相互独立的两路随机噪声一定互不相关，当互不相 关不一定相互独立。
1.1.2 微系统和外部作用
1.1.3 微弱信号
不仅意味着信号幅度很小，主要指被噪声 淹没的信号。
1.1.4 微弱信号检测
从强噪声中提取有用信号，或用新技术、新 方法提高检测系统输出信号的信噪比。 S 1.1.5 信噪比SNR和信噪改善比SNIR 1.1.6 检测分辨率与灵敏度
检测量 检测方法 电压 /nV 103 0.1 10-3 电流 /nA 0.1 10-5 10-8 温度/K 10-4 5×10-7 10-6 电容 /pF 0.1 10-5 微量分析 /克分子 10-5 10-8 SNIR 10 105
R x ( ) E[ x (t ) x (t )] E[ A sin(0 t ) A sin(0 (t ) )] A 2 E[ A sin(0 t ) A sin(0 (t ) )] A2 E[cos(0 t ) cos(0 (2t ) 2 )] 2 A2 A 2 1 2 A2 cos(0 t ) 0 cos(0 (2t ) 2 )d cos(0 t ) 2 2 2 2
2 2 x2 x x
2 对于零均值噪声， σx为其有效值，即均方值。 x2 x
电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一般
不再随时间变化，噪声电压称为广义平稳随机过程。
1.3.3 随机噪声的相关函数 相关函数Rx(τ)表示随机过程两个时间上的相
1 lim 关性。定义为： Rx ( ) T 2T
2 x

T
T
[ x (t ) x ]2 dt
（3）均方值 均方值反映随机噪声的功率，是随机噪声瞬时取值 的平方的数学期望值。
x E[ x (t )] x (t ) p( x)dx
2 2 2
1 x lim T 2T
2

T
T
x 2 (t )dt
均值、方差和均方值之间的关系：
当τ＝0时，Rx(τ)具有最大值。 Rx(0) 反映随机噪声的功率。
如果x(t)包含某种周期性分量，则Rx(τ)包含同样周期的周期
性分量。 互不相关的随机噪声之和的自相关函数等于随机噪声的自
相关函数之和。
对于平稳的随机噪声， Rx(τ)仅与时间差τ有关，与计算时 间的起点无关。
当τ→∞时，自相关函数反映随机噪声直流分量的功率。
Rx(t)的图形。
Px x 2 E[ x 2 (t )] x 2 (t ) p( x )dx
1
0.5 x 2 (t )dx
1
1 3
（2）互相关函数与互协方差函数 互相关函数反映两个不通的随机噪声x(t)和y(t)在不 通时刻t1和t2取值的相关程度，定义为：

T
T
x (t )dt
对电压或电流型随机噪声，均值表示其直流分量。
（2）方差 方差反映随机噪声的起伏程度，是随机噪声
瞬时取值与其均值之差的平方的数学期望值。
E[ x(t ) x ] [ x(t ) x ] p( x)dx
2 x 2 2
1 lim T 2T
（1）自相关函数

T
T
x 2 (t )dt x 2
随机噪声x(t)的自相关函数Rx(t1,t2)是其时域特性的
平均度量，反映同一随机噪声x(t)在不同时刻t1和t2取 值的相关程度。定义为： Rx (t1, t2 ) E[ x(t1 ) x(t2 )]
自相关函数的重要特点 对于实信号，自相关函数是τ的偶函数。
Rxy (t1, t 2 ) E[ x(t1 ) y(t2 )]
平稳随机噪声的统计特征量与时间的起点无关。
令t1=t- τ，t2=t，则： Rxy (t1, t2 ) Rxy ( ) E[ x(t ) y(t )]
用时间平均计算上式的统计平均，互相关函数可表
示为：
1 Rxy ( ) lim T 2T
普通电压表测噪声均方根值应×1.13修正。
1.2.3 随机噪声分类 （1）白噪声
（2）限带白噪声
（3）窄带噪声
1.3 随机噪声的统计特征
常用的概率统计描述方法包括概率密度函数、 数学期望值、方差、均方值、相关函数等。
1.3.1 概率密度函数（PDF） 对于连续取值的随机噪声，p(x)表示噪声电压 x(t) 在 t 时刻取值为 x 的概率。对于所有 x 都有 p(x)>0。 t时刻噪声电压取值在a和b之间的概率为：
（3）归一化相关函数 自相关函数和互相关函数不但反映随机噪声在 不同时刻取值的相关程度，而且反映随机噪声的 幅度和功率，而幅度和功率受系统增益的影响。 归一化相关函数消除了幅度和功率影响，能准 确表现噪声在不同时刻取值的相关程度。 ①归一化自相关函数ρx(τ)
R x ( ) x ( ) R x (0) R x ( ) R x (0) 1 x ( ) 1
6.6来粗略估计其标准差σx。对于零均值噪声，σx可以
看作其有效值。 测量随机噪声的放大器的动态范围应大于6.6倍的 被测噪声的有效值，否则噪声峰值可能被限幅，加大 测量误差。
（2）均匀分布概率密度函数 均匀分布的噪声电压x(t)在其取值范围内各点 的概率相同。 数字信号处理中，A/D转换过程中的信号量化误差，