江苏省常州高级中学高三数学上学期试卷 理(含解析)新人教A版

2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．
1．（5分）已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是﹣1 ．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．
解答：
解：复数，
它是纯虚数，所以m=﹣1
故答案为：﹣1
点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（5分）（2011•南京模拟）设集合，则A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．
考点：并集及其运算．
分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．
解答：
解：=；
，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}
故答案为：{x|﹣1＜x＜1}
点评：本题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基本题．
3．（5分）函数的单调递增区间是[0，] ．
考点：正弦函数的单调性．
专题：计算题．
分析：
依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．
解答：
解：∵0≤x≤，
∴≤2x+≤，
由≤2x+≤得：
0≤x≤．
故f（x）的单调递增区间为[0，]．
故答案为：[0，]．
点评：
本题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．
4．（5分）过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．
考点：直线的点斜式方程．
专题：计算题．
分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点（1，0）的斜率，再求解直线方程．
解答：
解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，
过点（1，0）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=（x﹣1），即12x+5y﹣12=0
故答案为：12x+5y﹣12=0．
点评：本题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．
5．（5分）右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列
（n∈N+）中的前200项，则所得y值中的最小值为 1 ．
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列
（n∈N+）中的前200项，则我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数，
即y=1+|x|的函数值，
又∵x依次取数列（n∈N+）中的前200项
∴当n=100时，|x|取最小值0
此时y=1+|x|有最小值1
故答案为：1
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
6．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；数形结合；数形结合法．
分析：
函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值
解答：
解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，
∴=n×，n∈z
∴ω=n×，n∈z
又ω＞0，故其最小值是
故答案为
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，
本题重点是判断出是周期的整数倍，则问题得解
7．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0”
化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；
如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”
必有a（a+1）=2，解得a=1或a=﹣2，
所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
点评：本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．
8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则
α的取值范围为
[0°，90°]∪[120°，180°）．
考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．
分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．
解答：
解：设点P是曲线上的任意一点，
∵∴y'=3x2﹣
∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣
∴k
∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）
故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）
点评：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．（5分）若，则a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：
考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．
解答：
解：∵，y=在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减
∴或或
解之得＜a＜或a＜﹣1．
故答案为：＜a＜或a＜﹣1
点评：本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
10．（5分）如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．
考点：两点间的距离公式．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．
解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=
在Rt△ABD中，AB==
故答案为：
点评：本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足
，则的最小值是﹣2 ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：
由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合基本不等式可得答案．
解答：
解：由题意可得：，
∴，又sin2θ+cos2θ=1
所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，
而=，故=2
=2cosπ=﹣2，
∵，由基本不等式可得：
≤=1，故﹣2≥﹣2
故答案为：﹣2
点评：本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．
12．（5分）（2010•扬州模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若（a2﹣1）3+2010（a2
﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为②③．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．
考点：等差数列的性质．
专题：常规题型；计算题；压轴题．
分析：根据已知条件可判断a2＞1，0＜a2009＜1，0＜a2009＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2009=2，利用等差数列的性质可知a1+a2010=a2+a2009=2可判断
①②，
由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，
从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．
解答：解：由（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1 可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2009﹣1＜0即a2＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0
③a2009＜a2正确
把已知的两式相加可得（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）+（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=0 整理可得（a2+a2009﹣2）•[（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010]=0
结合上面的判断可知（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010＞0
所以a2+a2009=2，而②正确
由于d＜0，a2010＜a2009＜1，则S2009=S2010﹣a2010=2010﹣a2010＞2009①错误
由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006
从而可得0＜a1006＜1＜a1005
④s2009﹣s2=a3+a4+…+a2009=2007a1006＞0，故④错误
故答案为：②③
点评：本题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．
13．（5分）已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是8 ．
考点：基本不等式；二次函数的性质．
专题：计算题；压轴题；转化思想．
分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，
结合基本不等式分析可得答案．
解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，
则必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，
对于，分子、分母同乘a可得，
=，
令，
则（当且仅当t=3，即b=3a时等号
成立）；
故答案为8．
点评：本题考查基本不等式的应用，关键是对M变形，转化为基本不等式的问题．
14．（5分）已知二次函数f（x）=x2﹣x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）﹣2在
上有两个不同的零点，则的最小值为．
考点：二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：
根据函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 值从而得出二次函数f（x）=x2﹣x，值域，再将=结合基本不等式即可求出的最小值．
解答：
解：若函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，则k=2．∴二次函数f（x）=x2﹣x+2，其值域f（x）∈[，+∞），
=≥2=2，
当且仅当f（x）=即f（x）=时取等号，
而∉[，+∞），
∴当f （x ）=时，的最小值为．
故答案为：
点评：
本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（10分）已知函数
．
（1）求f （x ）的最小正周期和值域； （2）若x=x 0
为f （x ）的一个零点，求sin2x 0的值．
考点：
三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分
析：
（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为 ，由此求得最小正周期和（2）由
求得
，根据x 0的范围可得2x
，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．
解答：
解：（1）易得=
=
所以f （x ）周期π，值域为；
（2）由，得
，
又由得
，
所以，故
，
此时，
==
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的
16．（10分）（2010•盐城三模）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．
专题：计算题．
分析：（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．
（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果．
解答：
解：（Ⅰ）∵，
∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，
即（2a+c）cosB+bcosC=0，
则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，
即，
B是三角形的一个内角，
∴
（Ⅱ）∵，
∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4
∴=，
即的最小值为﹣2
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题．
17．（15分）（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．
分析：
（1）由f（2）=2+=2+求解a．
（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式
求得|PM|，|PN|计算即可．
（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．
解答：
解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．
又y0=x0+，∴t=x0+．
∴S△OPM=+，S△OPN=x02+．
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．
当且仅当x0=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．
18．（15分）设函数上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若，且P点的横坐标为
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若，n∈N*，求S n；
（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．
考点：数列与函数的综合．
专题：综合题．
分析：
（1）可设，由，可得
，代入解析式验证即可．
（2）由（1）知，而由
，可变形为
两式相加可得到解决．（3）由（2）知所以可得到
可变形为
裂项求得T n，再研究恒成立问题．
解答：
解：（1）设，
又∵，
∴，
又，
∴（2）由x1+x2=1，得
∴，
又
∴，即
（3）∵，∴，
∴，
从而，
由，
∴
令，易证g（n）在上是增函数，在上是减函数，我
且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即，
∴
点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N 项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．
19．（15分）（2011•南汇区二模）某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，
经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足
，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫
克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题．
分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．
（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．
解答：
解：（1）因为m=4，所以y=m•f（x）=；
所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上
知，0＜x≤8；
所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．
（2）由y=m•f（x）=知，在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间（4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；
所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为．
点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．
20．（15分）（2010•徐州二模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想．
分析：
（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；
（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，
．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；
（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”
转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由
，知f
（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．
解答：
解：（1）当时，f′（x）==，
其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，
当，b无解，
所以b的取值范围为；（4分）
（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），
∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．
由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．
所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为
所以f（x）在上是増函数，
在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当时，，即，解得
；
当时，，解得；当t=0时，显然不成立；
当时，，即，解得；
当时，，故．
所以所求t的取值范围是或．
点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。