全等三角形中常见辅助线的作法

全等三角形中常见辅助线的作法
一、倍长中线法。

1. 作法。

- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。

- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。

延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。

2. 原因。

- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。

- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。

二、截长补短法。

1. 截长法。

- 作法。

- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。

- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。

在AB上截取AE = AC，然后连接DE。

- 原因。

- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。

这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。

2. 补短法。

- 作法。

- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。

- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。

- 原因。

- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。

三、作平行线法。

1. 作法。

- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。

- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。

过D作DF∥AC交BC于F。

2. 原因。

- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。

这样就可以构造出相似三角形（在全等三角形的拓展应用中）或者全等三角形（如果有其他合适的条件）。

- 在上述例子中，可以得到△ADF∽△ABC，从而根据相似三角形的性质得出
AD/AB = AF/AC，再通过证明△ADE≌△FDC（如果有合适条件），进一步得出AE =
AF，进而证明AD/AB = AE/AC。

通过作平行线，可以利用平行线的性质创造出更多的角相等和线段成比例的条件，为证明全等或相似提供依据。

四、作垂直法。

1. 作法。

- 在三角形中，根据需要作某条边的垂线。

- 例如，在等腰△ABC中，AB = AC，D是BC上一点，要证明BD = CD。

过A作AE ⊥BC于E。

2. 原因。

- 在等腰三角形中，根据等腰三角形三线合一的性质，作垂直后，因为AB = AC，AE = AE，∠AEB = ∠AEC = 90°，所以△AEB≌△AEC（HL判定定理），从而得出BE = CE，又因为BD = BE - DE，CD = CE - DE，所以BD = CD。

- 在一般三角形中，作垂直可以构造直角三角形，利用直角三角形的特殊性质（如勾股定理、直角三角形全等的判定定理HL等）来解决问题。

例如，如果有两个直角三角形，斜边相等，一条直角边相等，就可以通过作垂直构造出这样的直角三角形，利用HL定理证明它们全等。