余弦函数图像与性质

的函数图象y ？
-
-
1-
P1
p1/6o1M-源自 1Ao63
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-1 -
作法:
(1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
32
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(o2 ,0)
( 2 ,0)
2
3
-1
( ,-1)
线
4
5 6 x
正弦函数的性质
• 我们已经学习了正弦函数的性质，能不能 类比学习余弦函数的性质呢？
1. 定义域 2. 值域 3. 周期性 4. 单调性 5. 奇偶性 6. 对称性
都是这两个函数的周期。
即2k k Z,k 0 是它的周期，
最小正周期为 2
-4 -3
正弦、余弦函数的相同性质
y
1
-2
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR) 是偶函数
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
R
R
[1,1] [1,1]
观察下面图象： y=sinx (x R)
当x=
2
2k
时，函数值y取得最大值1；
y
1
2 0 2 3 4 5 6 x
-1
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1
2
观察下面图象：
y = cosx (xR)
当x=
时，函数值y取得最大值1；
y 1
2 0
-1
数？ y cosx cos(x) sin[π(x)]
sin(π x)
2
2
注：余弦π 曲线的图象可以通过将正弦曲线 向左平移 2 个单位长度而得到。余弦函数 的图象叫做余弦曲线。
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
余弦曲线的周期
y
1-
6
4
2
o
-1 -
2
4
6
x
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
cos(x 2k ) cos xk Z
由此可知，2,4, ,2,4, 2k(k Z,k 0)
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
图像关于原点对称
3. 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是增函数 。
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
上都是减函数 ,
((kkππ++
π
2
,,00))
x = kπ
例子
例 画出函数y= cosx-1，x[0, 2]的简图，并讨论性质：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
cosx- 0
-1
-2 -1
0
1
y 1
o
2
2
-1
2 3 4
5 6 x
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1
正弦曲线的周期
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
sin(x 2k ) sin xk Z
• 具体有哪些不同呢？
余弦函数的性质
• 我们从下面几个方面考虑：
1. 定义域和值域 2. 周期性 3. 单调性 4. 奇偶性 5. 对称性
1.正弦曲线的定 y 义域和值域 1
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
函数 定义域
值域
y sin x y cos x
y=cosx (xR)
增区间为 [ ,02]k, , 2k ], k Z 其值从-1到1
减区间为[02k,,]2k ], k Z 其值从-1到1
对称性
观察下面图象： y=sinx (xR)
y 1
2 0
-1
2 3 4
5 6 x
对称中心（ k ,0) 对称轴：x k
2
观察下面图象：
1-
(
2
,1)
与x轴的交点
x (0,0) ( ,0)(2 ,0)
图象的最低点
(
3 2,
1)
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
x
(
2
,0)
(
3
2
,0)
图象的最低点
-1 -
( ,1)
2.用几何法如何作出 y sin x, x 0,2
x
0
π
π
2
3π
2
2π
cos x 1
0
-1
0
1
.Y
1
O
π.
2
-1
.
π
.
3π 2π X
.2
y
图象的最高点
1-
-
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
-1 -
简图作法 (五点作图法) (y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
y=cosx，x[0, 2]
还有其他方法吗
3
2
x
2
y= cosx-1，x[0, 2]
有什么性质呢？
函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性
最值
y=cosx-1
R
[-1,1] 偶函数
2
当的的；xx当 22kk,12k
, 2k k Z
1 k Z
时，函数是增加 时，函数是减少
当 x 2k k Z 时，最大值为0； 当 x 2k 1 k Z 时，最大值为-2
余弦函数的图象与性质
X
正弦函数的图象
• 描点法 • 几何法 • 五点法（关键点）
思考： 余弦函数怎么 画呢？
• 描点法
余弦函数的图像
y 1 y cosx , xR
-2
-
• 几何法 • 五点法
o
2
3
x
-1
思考：还有其他的方法吗？
提示：由已知到 未知？
作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函
y=cosx (x R)
y 1
2 0
-1
2 3 4
5 6 x
对称中心（k ,0) 对称轴：x k
2
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
4.正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
-1
0
1
cosx
0
-1
余弦函数的图象
五点法
小 1.余弦曲线
结
正弦函数得出（借助诱导公式）
2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数
的性质
谢谢！
作业：课本P33 3、5
用五点法作y=sinx , x∈[02，π]的简图
x
0
sinx 0
π
π
2
3π
2
2π
1
0
-1
0
Y 1
.
.
O
π
2
-1
.π 3π
.
2π X
2.
五点法作y=cosx, x∈[0，2π]的简图
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
4.正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在x∈[2kπ都是增函数 x∈[2kπ+
π2, 2kπ+ ，, π22kπ+
都是减函数.
π]2上
在
]上3π2
对称中心 对称轴
(kπ,0) π
x = kπ+ 2
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
周期为T=2π 偶函数