第三讲向量组

第三讲 向量组
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向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。

研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。

向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。

例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。

向量组主要分三大部分：
■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性；
■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；
■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：
正交阵及其性质。

教材:第四,第五章第1节。

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一、主要内容
1、向量及其线性运算
----概念------------------------------------------
（1）n 个数组成的有序数组称为n 维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组；
（2）设有向量1212(,,,),(,,,),n n a a a a b b b b == 实数R k ∈，则下列运算
12(,,,)n ka ka ka ka = ，1122(,,,)n n a b a b a b a b +=+++ ，
称为向量的线性运算；
（3）设有向量组12,,,n a a a 和向量b ，若存在常数n k k k ,,,21 ，使得有 1122n n b k a k a k a =+++ ，
则称向量b 是向量组n a a a ,,,21的线性组合[向量b 可以由向量组n a a a ,,,21的线性表
示]； （4）设有两个同维向量组n a a a A ,,,:21，m b b b B ,,,:21，
①若A 中每个向量均可由向量组B 线性表示，则称为向量组A 可由向量组B 线性表示；
②若向量组A 与向量组B 可相互线性表示，则称向量组A 与向量组B 为等价向量组。

注意:等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].
----转化---------------------------------
（1）向量组与矩阵：m ×n 矩阵A 与其行（列）向量组一一对应：
1212(,,,)n m A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
== 。

（2）线性表示与线性方程组：
列向量b 可由矩阵A 的列向量组n a a a ,,,21线性表示
⇔12112212(,,,)n n n n x x b x a x a x a a a a Ax x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=+++== ⇔b x A =有解)|()(b A r A r =⇔。

注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。

（3）矩阵12(,,,)m n n A a a a ⨯= 的列向量组可由矩阵12(,,,)m s s B b b b ⨯= 的列向量组线性表示⇔存在数字矩阵s n X ⨯，使有A BX =；
矩阵12m n m A ααα⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 的行向量组可由矩阵12s n s B βββ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=
的行向量组线性表示⇔存在数字矩阵m s X ⨯，使有A XB =。

[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。

]
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2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩
----概念--------------------------------------
（1）设有向量组n a a a
,,21，如果存在一组不全为零的数12,,n x x x ，使 11220n n x a x a x a +++= ，
则称n a a a ,,21线性相关；否则，称之为线性无关；
（2）如果在向量组A 中能选出r 个向量12,,,r a a a
满足： （ⅰ）12,,,r a a a 线性无关；
（ⅱ）A 中任意1+r 个向量（如果有的话）均线性相关[⇔A 中任意向量均可由
12,,,r a a a 线性表示]，则称12,,,r a a a 为向量组A 的一个最大无关组；A 的最大无
关组所含向量的个数称为向量组A 的秩，记为()r A 。

----转化----------------------------------
（1）设1212(,,,),(,,,)T m n n n A a a a x x x x ⨯== ，则
列向量n a a a ,,21线性相关[无关]⇔0 =x A 有非零解[只有零
解]()r A n ⇔<[()r A n =]；
注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。

由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。

当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。

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4、线性无关向量组的正交化
----概念-------------------------------------------
（1）设有n 维列向量()()1212,,,,,,,T T n n x x x x y y y y == ，则称数
1
(,)n T i i
i x y x y x y ===∑ 为向量x 与y 的内积。

内积具有下列性质： ⅰ、对称性：(,)(,)x y y x =
； ⅱ、线性性：(,)(,)(,)ax by z a x z b y z +=+ ；
ⅲ、非负性：(,)0,(,)00x x x x x ≥=⇔=。

（2）对n 维列向量()12,,,T n x x x x = ，称非负数21||n T i i x x x x ===∑ 为向
量x 的模。

模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量。

对非零向量x ，单位化得单位向量01||
x x x = 。

（3）①a 与b 正交(,)0a b ⇔= ；
②两两正交的非零向量组称为正交向量组，即
1{}m i i a = 为正交向量组0,;(,)0,
.
i j i j a a i j ⎧⎪⎨⎪⎩=≠⇔≠= 注意：正交向量组是线性无关向量组，反之不然。

③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组，即 1{}m i i a = 为规范正交向量组0,;(,)1,.
i j i j a a i j ⎧⎪⎨⎪⎩≠⇔==
④以正交向量组作为空间的基称为正交基；以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。

注意：向量b 由基12,,r a a a 线性表示为：1
r i i i b x a ==∑ ；
由正交基12,,r a a a 线性表示为：1(,)(,)
r i i i i i a b b a a a ==∑ ；
由标准正交基12,,r a a a 线性表示为：1
(,)r i i i b a b a ==∑ 。

可见，向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组，只需计算内积就可求得。

（4）方阵A 为正交阵T T AA A A E ⇔==1T A A -⇔=A ⇔的行[列]向量组均为n 维向量空间n R 的标准正交基(,1,2,,)ij
ij a A i j n ⇔=±= 。

以正交阵为线性变换矩阵的线性变换称为正交变换。

正交阵具有下列性质：
ⅰ、A 为正交阵⇔1*,,T A A A -均为正交阵⇔*T A A =-；
ⅱ、A 为正交阵⇒|A|=1±；
ⅲ、正交阵的积为正交阵。

----方法------------------------------------ 施密特正交化
设12,,r a a a 为线性无关向量组[基]，则可采用下列方法进行规范正交化：
ⅰ、正交化：取11b a = ； 1222111(,)(,)b a b a b b b =- ； 132333121122(,)(,)(,)(,)
b a b a b a b b b b b b =-- ； …………；
121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)
r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ， 则1{}r i i b = 为两两正交向量组[正交基]，且1{}r i i b = 与1{}r i i a = 等价； ⅱ、单位化：取(1,2,,)||
i i i b e i r b == ，则1{}r i i e = 为规范正交向量组[规范正交
基]，且1{}r i i e = 与1{}r i i a = 等价。

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二、常考知识点
1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换[大题常考知识点]
列向量b 可由矩阵A 的列向量组12,,,n a a a （唯一/不唯一）线性表示⇔Ax b
= 有（唯一/无穷多）解()(|)r A r A b ⇔=
(/)n n =<；
列向量b 不可由矩阵A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示
⇔Ax b = 无解()(|)r A r A b ⇔= 。

由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:
A 的列向量组可由
B 的列向量组线性表示BX A ⇔=有解()(|)r B r B A ⇔=；
A 的列向量组不可由
B 的列向量组线性表示
BX A ⇔=无解()(|)r B r B A
⇔<； A 与B 的列向量组等价,BX A AX B ⇔==均有解()(|)r A r A B r B
⇔==。

注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。

2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换
设1212(,,,),(,,,)T m n n n A a a a x x x x ⨯== ，则
列向量12,,,n a a a 线性相关[无关]⇔0Ax = 有非零解[只有零解]()r A n ⇔<[()r A n =]A ⇔列满秩[非列满秩]。

由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。

当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。

内涵丰富：向量组线性无关（相关）=线性齐次方程组只有零解（有非零解）=系数矩阵列满秩（不是列满秩）。

例如，若,AB O B O =≠，则A 的列向量线性相关。

3、判定向量组线性相关性的重要结论 ⑴12,,(2)m a a a m ≥ 线性相关⇔12,,m a a a 中“至少有一个”可由其余向量
线性表示；12,,(2)m a a a m ≥ 线性无关⇔12,,m a a a 中“任意一个均不能”由其余向量线性表示；
⑵12,,m a a a 线性无关，12,,,m
a a a
b 线性相关⇒b 可由12,,,m a a a 唯一
线性表示Ax b ⇔= 有唯一解；
⑶部分相关⇒全体相关，反之不然；等价说法：全体无关⇒部分无关，反之不然； ⑷向量组无关⇒“加长”向量组无关，反之不然；等价说法：向量组相关⇒“缩短”向量组相关，反之不然；
⑸n 个n 维向量12,,,n a a a 线性无关12|,,,|0n a a a ⇔≠ ；
12,,,n a a a 线性相关12|,,,|0n a a a ⇔= ；
⑹两个向量线性相关[无关]⇔对应分量成比例[不成比例]；
⑺在三维空间中，123,,a a a 线性相关⇔123,,a a a 共面123[,,]0a a a ⇔= ； ⑻ n+1个n 维向量必线性相关。

4、向量组秩、矩阵秩的关系及重要结论：
⑴矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩=最高阶非零子式的阶数=行阶梯形中非零行向量的个数=等价标准形左上角单位阵的阶数；
⑵秩的重要公式
1)
0()min{,},()0m n r A m n r A A O ⨯≤≤=⇔=； 2)
()()()min{(),()}m s s n m s s n r A r B s r A B r A r B ⨯⨯⨯⨯+-≤≤； 3) max{(),()}(|),()()A r A r B r A B r r A r B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
≤≤+；
4) ()()m n n l A B O r A r B n ⨯⨯=⇒+≤。

⑶若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤。

等价说法：线性无关向量组不能由个数比它少的向量组线性表示。

⑷初等行变换保持行向量组的等价性[方程组同解]，保持列向量组的线性相关性[线性表示，最大无关组，秩]。

（4）矩阵行列向量组线性表示：[P.99] 矩阵12(,,,)m n n A a a a ⨯= 的列向量组可由矩阵12(,,,)m s s B b b b ⨯= 的列向量
组线性表示⇔存在数字矩阵s n X ⨯，使有A BX =； 矩阵12m n m A ααα⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 的行向量组可由矩阵12s n s B βββ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
= 的行向量组线性表示⇔存在数字矩阵m s X ⨯，使有A XB =。

[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。

]
特别的，C A B C =⇔的列向量组可由A 的列向量组线性表示()(|)r A r A C ⇔=⇔C 的行向量组可由的B 行向量组线性表示
0Bx ⇒= 的解必为0Cx = 的解
()()n r B n r AB ⇒-≤-()()r AB r B ⇔≤
三、典型例题与方法
题型1 线性表示、线性相关性及其判定
【例1】[填空题]（5小题） （1）已知(1,2,)T b t = 可由123
(2,1,1),(1,2,7),(1,1,4)T T T a a a ==-=-- 线性表示，则=t 。

（2）已知123
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T a a a === 为3R 的一个基，则向量(2,0,0)T b = 在这个基下的坐标是 。

（3）已知123
(1,0,5,2),(3,2,3,4),(1,1,,3)T T T a a a t ==--=- 线性相关，则=t 。

（4）已知3维向量空间3R 的两个基为 （ⅰ）123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)T T T a a a ==-= ， （ⅱ）123
(1,2,1),(2,3,4),(3,4,3)T T T b b b === ， 则由基（ⅰ）到基（ⅱ）的过渡矩阵=P 。

[矩阵列向量组的线性表示]
（5）设3R 中的向量ξ
在基123(1,2,1),(0,1,1),(3,2,1)T T T a a a =-== 下的坐标为123(,,)T x x x ，在基321,,b b b 下的坐标为T y y y ),,(321，且
1123212313,,2y x x x y x x y x x =--=-+=+， 则由123,,b b b 到123,,a a a 的过渡矩阵=P 。

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【例2】[选择题]（8小题） （1）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα ，则112,()A ααα+
线性无关的充分必要条件是（ ）。

（A ）10λ≠ （B ）20λ≠ （C ）10λ= （D ）20λ=
--------------------------------------------------- （2）n 维向量12
,,,(3)s a a a s n ≤≤ 线性无关的充要条件是 （A ）存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使11220s s k a k a k a +++≠
； （B ）12,,,s a a a 中任意两个向量都线性无关； （C ）12
,,,s a a a 中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示； （D ）12
,,,s a a a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

---------------------------------------------------
（3）设线性方程组O AX =只有零解，则下列正确的是（ ）。

（A ）A 的行向量组线性无关；（B ）A 的行向量组线性相关；
（C ）A 的列向量组线性无关；（D ）A 的列向量组线性相关。

--------------------------------------------------- （4）已知1234
,,,a a a a 线性无关，则命题正确的是（ ）。

（A ）12233441
,,,a a a a a a a a ++++ 线性无关； （B ）12233441,,,a a a a a a a a ---- 线性无关；
（C ）12233441,,,a a a a a a a a ++--
线性无关； （D ）12233441
,,,a a a a a a a a +--- 线性无关。

---------------------------------------------------
定理 设()m n r A n ⨯=，证明()()r AB r B =。

[列[行]满秩阵左[右]乘矩阵，秩不变。

] （5）设有任意两个n 维向量组12,,m a a a 和12,,,m b b b
，若存在两组不全为零
的数12,,,m λλλ 和12,,,m k k k ，使有
111111()()()()0m m m m m m k a k a k b k b λλλλ+++++-+++= ，（*）则 （A ）12,,m a a a 和12,,,m b b b
均线性相关；
（B ）12,,m a a a 和12,,,m b b b
均线性无关；
（C ）1111
,,,,,m m m m a b a b a b a b ++--
线性无关；
（D ）1111,,,,,m m m m a b a b a b a b ++--
线性相关。

（6）若向量组,,a b c 线性无关，向量组,,a b d 线性相关，则
（A ）a 可由,,b c d 线性表示； （B ）b 不可由,,a c d 线性表示；
（C ）d 可由,,a b c 线性表示； （D ）d 必不可由,,a b c 线性表示。

（7）设n 维列向量组12
,,,()m a a a m n < 线性无关，则n 维列向量组12,,,m b b b 线性无关的充要条件是
（A ）向量组12,,m a a a 可由向量组12,,,m b b b 线性表示；
（B ）向量组12,,,m b b b 可由向量组12,,m a a a 线性表示；
（C ）向量组12,,m a a a 与向量组12,,,m b b b 等价；
（D ）矩阵12(,,,)m A a a a = 与矩阵12
(,,,)m B b b b = 等价。

（8）设向量b 可由12,,m a a a 线性表示，但不能由（I ）121,,m a a a - 线性表示，
记（II ）121,,,m b a a a - ，则
（A ）m a
不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示； （B ）m a 不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示；
（C ）m a 可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示；
（D ）m a 可由（I ）线性表示，但不能由（II ）线性表示。

---------------------------------------------------【例3】已知123,,a a a 线性无关，证明1223123
23,,a a a a a a a +-++
线性无关。

【例4】设向量组（I ）123,,a a a 线性相关，向量组（II ）234,,a a a 线性无关。

（1）1a 能否由23
,a a 线性表示？为什么？ （2）4a 能否由123,,a a a 线性表示？为什么？ ---------------------------------------------------
【例5】设列向量组（I ）12,,r a a a 线性无关，列向量组（II ）12,,s b b b 可由（I ）
线性表示，即
1112121
222121212(,,,)(,,,)s s s r rs r r k k k k k k b b b a a a k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
= ， 记为n s n r r s B A K ⨯⨯⨯=。

证明：向量组（II ）无关()r s r K s ⨯⇔=。

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题型2 秩、最大无关组的求法
1、矩阵的秩=最高阶非零子式的阶数=行[列]向量组的秩=行阶梯形中非零行向量的个数
[“列摆行变换”]；
2、矩阵最高阶非零子式所在的行[列]就是其行[列]向量组的一个最大无关组 [求最大无关组，确定保留未知量和自由未知量]；
3、初等行变换保持行向量组的等价性，保持列向量组[或其对应部分]线性相关性 [解方程组，求最大无关组，向量用最大无关组线性表示]。

【例1】[填空题]（3小题）
（1）设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= ，其中0,0(1,2,,)i i a b i n ≠≠= ，则矩阵A
的秩()r A = 。

-----------------------------------------------------------------------------
（2）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)a a t a =-==-- 的秩为2，则t = 。

（3）已知向量组123(1,1,1,1),(2,3,4,4),(3,2,1,)
a a a k === 所生成的向量空间的维数为2，则=k 。

---------------------------------------------------
（4）设有向量组（I ）123,,a a a ；（II ）1234,,,a a a a ；（III ）5
123,,,a a a a ，且()()3,()4r I r II r III ===，则51234(,,,)r a a a a a += 。

---------------------------------------------------
【例2】[选择题]（2小题）
（1）向量组 51234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,2,0),(2,1,5,10)a a a a a =-===-=
的最大无关组是（ ）。

（A ）123,,a
a a （B ）124,,a a a （C ） 512,,a a a （D ）5
124,,,a a a a
--------------------------------------------------- （2）已知n （n ≥3）阶方阵
1
111a a a a a a A a a a a
a
a
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=
秩为1n -，则a =（ ）。

（A ）1 （B ）
11n - （C ）1- （D ）1
1
n -。

---------------------------------------------------
【例3】求向量组123
(1,1,1,3),(1,3,5,1),(2,6,10,),T T T a a a a =-=-=- 54(4,1,6,10),(3,2,1,)T T a a b =-=-- 的秩和一个最大无关组。

---------------------------------------------------
【例4】已知
向量
组
123(
2
,3
,
4,
5),(
a a a a
====
， 求其秩、一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。

---------------------------------------------------
【例5】[含参数向量]设向量组12
(1,1,1,3),(1,3,5,1)T T a a ==-- ，
34(3,2,1,2),(2,6,10,)T T a p a p =-+=--
，
（1）当p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将
(4,1,6,10)T b = 用1234,,,a a a a
线性表示；
（2）当p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个最大无关组。

【例1】确定常数a ，使向量组123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T T T a a a ααα===可由向量
组1
23
(1,1,),(2,,4),(2,,)T T T a a a a ββ
β==-=-
线性表示，但向量组123,,βββ
不能由123
,,ααα
线性表示。

---------------------------------------------------
【例2】设向量组（I ）12,,m a a a
的秩为r ，证明向量组（II ）
12,,,m b a a a →
的秩仍为r 的充要条件是b 可由（I ）线性表示。

---------------------------------------------------
【例
3】设向量组（I ）12
,,,s a a a
与向量组（II ）12,,,t b b b 的秩相同，且向量组（I ）可由向量组（II ）线性表示，证明：（I ）（II ）为等价向量组。

和秩的关系问题。

---------------------------------------------------
【例4】设向量组12,,,s a a a 的秩为)(s r r ≤，证明在12
,,,s a a a
中任意取m 个
向量所构成的向量组的秩≥s m r -+。

【例5】设B 是秩为2的5×4矩阵，向量
12
3511111,,824
331a αα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
--===-- 均为0Bx =
的解向量，求0Bx =
的解空间的一个规范正交基。

--------------------------------------------------- 附录：
■讨论向量组线性相关性的方法：
①定义法——利用线性相关性概念和有关重要性质、定理等；
②方程组法——转化为线性齐次方程组求解：非零解，相关；只有零解，无关。

③矩阵秩法——利用“秩”和向量“个数”关系判定：秩小于个数，相关；秩等于个数，无关。

此外，初等变换不改变矩阵秩。

列[行]满秩矩阵左[右]乘矩阵不改变矩阵的秩。

④行列式法——判定n 个n 维向量：行列式为零，相关；行列式非零，无关。

■线性无关向量组本身就是其最大无关组；
向量组的最大无关组一般不唯一，但秩是唯一的； 向量组与其最大无关组等价； 等价向量组等秩，反之不然； 矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩 ■最大无关组与秩的求法：
①利用定义；
②利用初等行变换； ③利用秩的重要公式： 5) 0()min{,},()0m n r A m n r A A O ⨯≤≤=⇔=；
6) ()()()min{(),()}m s s n m s s n r A r B s r A B r A r B ⨯⨯⨯⨯+-≤≤；
7)
max{(),()}(|),()()A r A r B r A B r r A r B B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
≤≤+；
8)
()()m n n l A B O r A r B n ⨯⨯=⇒+≤；
9) ()()A B r r A r C C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
=+，等。

■向量组与向量空间的联系与区别。