数学_2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）
A (−3, 1]
B (−3, 1)
C [1, 2)
D (−∞, 2)∪[3, +∞)
2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1
z2
是纯虚数，则实数a的值为（）
A −2
B 1
C 2
D 4
3. “α=π
3”是“cosα=1
2
”的（）
A 必要不充分条件
B 充分不必要条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）
A k≤11
B k≤10
C k≤9
D k≤8
5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）
A 4cm2
B 12cm2
C 8+4√2cm2
D 4+4√2+2√3cm2
6. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）
A −3
B −2
C −1
D 0
7. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为
A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）
A 12
B 14
C 16
D 18
8. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0
−x2−2x+3,x>0
，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A (−∞, −2)
B (−∞, 0)
C (0, 2)
D (−2, 0)
二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1
表示的平面区域的面积为________．
10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →
|＝________．
11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．
12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．
13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．
三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．
16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．
（1）求C 的大小；
（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．
17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．
(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；
(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；
(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．
18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．
(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．
19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2
m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．
(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；
(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．
20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．
（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；
（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．
2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案
1. A
2. D
3. B
4. B
5. D
6. C
7. B
8. A
9. 1
10. 5
11. n(5−n)
2
12. 2√3
13. −4
5
14. 30
15.
(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，
则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，
所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，
整理得a n＝2a n−1，
由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．
所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1
(II)因为a n=2n−1，
由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，
由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−1
1−2
=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．
16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，
即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，
即sin(B+C)＝acosC，
即sinA＝acosC．
由正弦定理可知：a
sinA =c
sinC
=1
cosC
，
由于c＝1，则sinC＝cosC，
即tanC＝1，C是三角形内角，
∴ C=π
4
．
由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，
得1＝a2+b2−√2ab，
又ab≤a 2+b2
2
，
∴ (1−√2
2
)(a2+b2)≤1，
即a2+b2≤2+√2．
当且仅当a＝b即A＝B=3π
8
时，a2+b2取到最大值为2+√2．
17.
(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，
所以A1O⊥平面BCD．
又BC⊂平面BCD，
所以BC⊥A1O．
又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．
又A1D⊂平面A1CD，
所以BC⊥A1D．
(II)证明：因为矩形ABCD，
所以A1D⊥A1B．
由(I)知BC⊥A1D．
又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，
所以A1D⊥平面A1BC．
又A1D⊂平面A1CD，
所以平面A1BC⊥平面A1CD．
(III)因为A1D⊥平面A1BC，
所以A1D⊥A1C．
因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．
所以V A
1−BCD =V D−A
1BC
=1
3
×1
2
×6×8×6=48．
18.
(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，
则f′(x)＝3x2−6x，
由f′(x)>0，得x<0，或x>2，
由f′(x)<0，得0<x<2，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，
这等价于，不等式a≤3x 2+6x
x3+3x2=3x+6
x2+3x
对x∈[1, 3]恒成立．
令ℎ(x)=3x+6
x2+3x
(x∈[1,3])，
则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)
(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2]
(x2+3x)2
<0，
所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=5
6
．
所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.
(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，
解得m ＝−2．
所以椭圆W:x 26+y 22=1． 离心率e =c
a =2√6=
√63．
(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．
联立{y =k(x +3)x 2
6+y 2
2=1
得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．
由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知
△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．
设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，
则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=
27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)． 因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)， 所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．
又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−12
1+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，
所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．
20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，
画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：
∴ f(x)存在唯一的零点，
又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，
∴ 零点属于(3, 4)；
由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，
得：k <xlnx+x
x−1，(x >1)，
令ℎ(x)=xlnx+x
x−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2
(x−1)2=f(x)
(x−1)2，
设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，
而3<ℎ(3)=31n3+3
2<4，8
3
<ℎ(4)=41n4+4
3
<4，
∴ ℎ(x0)<4，
∴ k的最大值是3．。