山东省菏泽市高三数学第二次模拟考试试题 理

高三第二次质量检测理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回． 第Ⅰ卷 选择题（共50分） 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U R =，集合1
{|()2}2x A x =≥和2
{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =I
A ．{|1x x ≤-或0}x ≥
B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥
C ．{|0}x x ≥
D ．{|1}x x >-
2．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为 A ．1
10
B ．1
10-
C ．10i
D ．10i -
3．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A ．2x y +=
B ．2x y +>
C ．
222x y +> D ．1xy >
4．已知数列
{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示
的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 A ．8?n ≤ B ．9?n ≤ C ．10?n ≤ D ．11?n ≤
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心
率等于
A ．6
B 23
3
C ．10
D ．3
6．定义：
3
2414
2
31
a a a a a a a a -=，若函数
13()sin cos f x x
x
=
， 将其图象向左平移(0)m m >个
单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
A
．3π
B ．23π
C ．6π
D ．5
6π
7．已知函数1
33, (1),
()log ,(1),
x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
A ．476
B ．233
C ．152
D ．7
9．若实数y x ,满足的约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤-+010101y y x y x ，将一颗骰子投掷
两次得到的点数分别为b a ,，则函数by ax z +=2在点)1,2(-处取得最大值的概率为 A ．15
B ．2
5
C ．16
D ．5
6
10．已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且
23AB AC =u u u r u u u r g 30BAC ∠=︒若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为,,x y z ，记149(,,)f x y z x y z
=
++，则(,,)f x y z 的最小值为
A ．26
B ．32
C ．36
D ．48
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量b a 、，其中
2
=a ，
2
=b ，且
a b)a ⊥-（，则向量a 和
b 的夹角是 __________ 12．在各项为正数的等比数列
{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =
13．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为
001,002,,600L ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，
编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间
[496，60]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ． 14．已知对于任意的x R ∈，不等式
35
x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是________．
15．已知函数()f x 满足
1
(1)()f x f x +=-
，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若
在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且
2
3
2cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．
（Ⅰ）求cosA 的值;
（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA u u u r
在BC u u u r 方向上的投影．
17．（本小题满分12分）
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f(x)=x2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望； 18．（本小题满分12分）
在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=AD=BC=1
2CD=a ，E 为CD 中点．若沿AE
将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结DB,DC ，得到如图2所示的几何体D-ABCE ，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF ⊥AC ； （Ⅱ）求二面角A-BD-C 的正弦值．
19．（本小题满分12分） 设
n
S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-．
（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令
22log 2n n n
n
c b b =-
+，求数列{}n c 的前n 项和n T
20．（本小题满分13分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）设函数
1()()a
h x f x x +=+
，求函数()h x 的单调区间；
（Ⅲ）若1()a
g x x +=-
，在[1,]( 2.71828)e e =⋯上存在一点0x ，使得00()()f x g x ≤成立，求a 的
取值范围． 21．（本小题满分14分）
已知椭圆22122:1,(0)x y C a b a b +=>>的离心率为
3e =，且过点3(1,)
．抛物线2
2:2,(0)C x py p =->的焦点坐标为
1
(0,)
2-． （Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；
（Ⅱ）若点M 是直线l:2430x y -+=上的动点，过点M 作抛 物线C2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 交椭 圆C1于P ，Q 两点．
i ）求证直线AB 过定点，并求出该定点坐标； ii ）当△OPQ 的面积取最大值时，求直线AB 的方程．
高三第二次质量检测 理科数学参考答案
一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC
二、填空题：11．4π
12．2 13．8 14．()()--28∞+∞U ，， 15．[)∞+，
5 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z；依题意得
(1)(1)0.08
(1)0.12
1(1)(1)(1)0.88
x y z
xy z
x y z
--=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪----=
⎩解得
0.4
0.6
0.5
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
所以学生小张选修甲的概率为0．4 (4)
(Ⅱ）若函数
x
x
x
fξ
+
=2
)
(为R上的偶函数，则ξ=0
)
1
)(
1
)(
1(
)0
(
)
(z
y
x
xyz
P
A
P-
-
-
+
=
=
=
∴ξ
24
.0
)6.0
1
)(
5.0
1
)(
4.0
1(
6.0
5.0
4.0=
-
-
-
+
⨯
⨯
=
∴事件A的概率为0.24 ………………………………………… 8分
(Ⅲ）依题意知0,2
ξ=，则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52
Eξ=⨯+⨯=……………………12分
18．证明：（Ⅰ）取AE中点H，连结HF，连结EB，
因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE ，因为平面DAE⊥平面ABCE，
所以DH⊥平面ABCE，AC⊂平面ABCE，
.............................. 6分
.............................. 12分
.............................. 8分
.............................. 10分
所以AC ⊥DH ，因为ABCE 为平行四边形，CE=BC=a ，
所以,ABCE 为菱形，AC ⊥BE ， 因为H 、F 分别为AE 、AB 中点，所以GH ∥BE ， 所以AC ⊥HF ；因为HF ⊂平面DHF ，DH ⊂平面DHF ，且HF DH H =I ， 所以AC ⊥平面DHF ，又DF ⊂平面DHF ，所以DF ⊥AC 。

………………… 5分
（Ⅱ）连结,BH EB 由题意得三角形ABE 为等边三角形，所以，BH AE ⊥，由（Ⅰ）知DH ⊥ 底面ABCE ，以H 为原点，分别以,,HA HB HD 所在直线为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系，如图所示： ………………………………… 6分 则333(,0,0),,0),),(,0)
2a A B D C a -，
所以，33(0,)BD =u u u r ，(,0,0)BC a =-u u u r ，设面DCB 的法向量为(,,)m x y z =u r ， 则0330ax -=⎧
⎪⎨=⎪⎩，不妨设(0,1,1)m =u r ， ………………………… 8分
设面DAB 的法向量
(,,)
n x y z '''=r
，又3(,0,)
2a DA =u u u r ，则300x z y z ⎧''=⎪⎨''-=⎪
⎩， 取
33
)
n =r ， …………………………………………………………… 10分 所以10cos ,||||m n m n m n •<>==•u r r u r r u
r r ，所以二面角A BD C --的正弦值为15。

…… 12分
19．解： （Ⅰ）因为n
n n S a 31+=+,所以
n
n n n S S S 31+=-+，
即
n
n n S S 321+=+，则
)
3(23323111n n n n n n n S S S -=-+=-+++，
所以
n
n b b 21=+，又133111=-=-=a S b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。

故数列{}n b 的通项公式为1
2-=n n
b。

…………………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
12222log 2--=+-
=n n n n n n b n b c ，………………… 6分
设
12322212423221--+-+++++
=n n n
n M Λ………………①
则n
n n n M 221242322212
11432+-+++++=-Λ……………②……………………8分 ①-②得： n
n n n n n M 22122212121212112
111432--=-++++++=--Λ，……10分 所以
11
2
2242214---+-
=-
-
=n n n n n M ，所以422
)1(1
-+++=-n n n n n T 。

…………12分
20．解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分
x x f 2
1)('-
=∴，121)1('
-=-==∴f k ， ……3分
∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=． ……4分
（Ⅱ）
1()ln a
h x x a x x +=-+
，定义域为),0(+∞，
2222'
)]
1()[1()1(11)(x a x x x a ax x x a x a x h +-+=
+--=+--= ……5分
①当01>+a ，即1->a 时，令0)('
>x h ，a x x +>∴>1,0Θ
令0)('
<x h ，a x x +<<∴>10,0Θ ……6分
②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('
>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0
x ，使得
)
()(00x g x f ≤成立，
即在],1[e 上存在一点
x ，使得
)(0≤x h ，
即函数
1()ln a
h x x a x x +=-+
在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分
由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，
01)()]([min
≤-++==∴a e a
e e h x h ，
112-+≥
∴e e a ， 1112->-+e e e Θ，
11
2-+≥∴e e a ； ……10分 ②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，
011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分
③当e a <+<11，即10-<<e a 时，
0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h
1)1ln(0<+<a Θ ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h
此时不存在
0x 使0)(0≤x h 成立． ……12分
综上可得所求a 的范围是：
11
2-+≥
e e a 或2-≤a ．………………13分 21．解：（I ）由于椭圆1C
中，e =，则设其方程为22
04x y λ+=>
，由于点
在椭圆上，故代入得1λ=．故椭圆1C 的方程为22
14x y +=．对抛物线2C 中， 122p =，故1p =，从而椭圆1C 的方程为22
14x y +=，抛物线2C 的方程为2
2x y =-．------4分
（II ）i)设点
00(,)
M x y ，且满足
002430
x y -+=，点
1122(,),(,)
A x y
B x y ，则切线MA 的斜
率为1x -，从而MA 的方程为111()y x x x y =--+，考虑到2
112x y =-，则切线MA 的方程为110
x x y y ++=，同理切线MB 的方程为
220
x x y y ++=，----5分
由于切线MA ，MB 同过点M ，从而有200220020
0x x y y x x y y ++=⎧⎨
++=⎩，由此点1122(,),(,)
A x y
B x y 在直线
000
x x y y ++=上．又点M 在直线2430x y -+=上，则
002430
x y -+=，-6分
故直线AB 的方程为
00(43)220
y x y y -++=，即
0(42)(23)0
y x y x ++-=，显然直线AB
过定点13
(,)
24--．-------8分
ii ）设3344(,),(,)P x y Q x y ，考虑到直线AB 的方程为
000
x x y y ++=，则联立方程
2
20014
0x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，消去y 并简化得2220000(14)8440x x x y x y +++-=，-----9分
22
0016(41)0x y ∆=-+>，00
342
0841x y x x x +=-+，2
034204441y x x x -=+-------10分
从而
34|||PQ x x -=--11分
点O 到PQ
的距离
d =
，
从而11||22OPQ
S PQ d ∆=⋅⋅=
2220002
(41)114y x y x +-+=≤=+ ，-----12分
当且仅当2
22000
41y x y =-+，即
2200122y x =+
又由于002430x y -+=，从而消去0x 得22002(43)1y y =-+，即2
0071250y y -+=，从而求得
00517y y ==或，从而00121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或00
114
57x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩，从而所求的直线为 220x y ++=或14100x y --= ……………………………………………………14分。