初中数学向量的线性运算知识点训练及答案

初中数学向量的线性运算知识点训练及答案
一、选择题
1．已知a r 、b r
为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r
B ．||a r
＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r
C ．0r
的方向不确定，大小为0
D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r
＝2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质解答即可． 【详解】
解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r
，故A 选项不符合题意．
B 、如果||a r
＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．
C 、0r
的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．
D 、根据向量模的定义知，||a r
＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．
故选：B ． 【点睛】
此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.
2．在四边形ABCD 中，，
，
，其中与不共线，
则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C ．梯形
D ．菱形
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出
，得到
边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.
【详解】 解：∵
，
∴
，
∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】
本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.
3．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )
A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜
C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2-｜
【答案】A
【解析】
【分析】
对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题.
【详解】
解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，
故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC；
令，，则，
∴且；
又BA+BC>AC ∴
∴.
故选A.
【点睛】
本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
4．已知向量，且则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B． A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【解析】
【分析】
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点
【详解】
解：由向量的加法原理知
所以A、B、D三点共线.
【点睛】
本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.
5．下列命题中，真命题的个数为( )
①方向相同②方向相反
③有相等的模④方向相同
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
6．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a r r
+-=
B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r
C ．()
-=+-r r r r
a b a b
D ．()()++=++r r r r r r
a b c a b c
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. ()0a a v
v v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，
故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
7．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.
【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b r
均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r
，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
8．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b
r r 、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r
r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2
∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，
1AE a b 2
∴=+u u u r r r ，
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
9．□ABCD 中， -+等于( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】
∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，
∴ = -
∴
-+
=
-
+
=
，
故选A ． 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出
与
是一对相反向量.
10．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( ) A ．2a b =r r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r
r
，可以推出//a b r
r
．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r
．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r
，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；
故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
11．若a v ＝2e v
，向量b v
和向量a v
方向相反，且|b v
|＝2|a v
|，则下列结论中不正确的是（ ）
A ．|a v |＝2
B ．|b v
|＝4 C ．b v ＝4e v
D ．a v
＝12
b v -
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v
＝﹣4e v
，由此对选项进行判断．
【详解】
A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．
B 、由b v ＝-4e v
推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．
C 、依题意得：b v ＝﹣4e v
，故本选项符合题意．
D 、依题意得：a v
＝-12
b v
，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】
考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
12．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r
，则2132m m -r r 等于（ ）．
A ．AO u u u r
B ．BO uuu r
C ．CO uuu r
D ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】
解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r
， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r
,M 分别为AC 、BD 的中点,
∴122312
AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r
，故A 不符合题意；
211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r
，故B 符合题意；
122312
CO AC m m ==---u u u r u u u
u u r r u u r ，故C 不符合题意；
121232
DO BD m m =-=-u u u r u u u
r u u r u u r ，故D 不符合题意.
故选B.
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
13．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
是平行向量； ③0mn >，0a ≠r
r
时，ma r 与na r
的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r
r
时，ma r 与na r
的方向一定相反． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确．
故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
14．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r
的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．2a c =r r ，3b c =r r
C ．5a b =-r r
D ．||2||a b =r r
【答案】D 【解析】
分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．
∵a r ∥c b r r ，∥c r
，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
B ．
∵a r =2c b r r ，=3c r
，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
C ．
∵a r
=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
D ．
∵|a r
|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．
点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
15．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r
； B ．2()22a b a b --=-+r r r r
； C ．()0a a +-=r r
； D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. ()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误；
B. (
)
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
16．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r
为（ ）
A ．3a e =v v
B ．3a e =-v v
C ．3e a =v v
D ．3e a =-v v
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义解答即可． 【详解】
解：∵向量e r
为单位向量，向量a r
与向量e r
方向相反， ∴3a e r r
=-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ） A ．a r
∥b r
，并且a r 和b r
方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r
方向相反 C ．a r 和b r
方向互相垂直
D ．a r 和b r
之间夹角的正切值为5
【解析】 【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r
， ∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
18．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r
表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53
b a =-r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.
【详解】
a r
=3，b r =5，
b r =53a r ,
b r 与a r
的方向相反, ∴5.3
b a =-r r
故选：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量
叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
20．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r
用向量a b r r 表示为（ ）
A ．12
a b +r r
B ．2133a b +r r
C ．2233a b +r r
D ．1124
a b +r r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角形的重心性质得到： 2
3
AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】
∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r
， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．
∴1b 2
AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r
又∵点O 是△ABC 的重心，
∴2
3AO AD =，
∴221AO AD a b 333
==+u u u r u u u r r r ．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出
2
3
AO AD
=是解题的关
键．。