2018高考数学文理一轮复习检测：第七章 立体几何 第6讲 含答案 精品

第七章 第六讲
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2016·洛阳模拟)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，则A ，B ，C ，P 四点
导学号 30072163( B )
A ．一定不共面
B ．一定共面
C ．不一定共面
D ．无法判断
[解析] ∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，且34＋18＋18＝1，∴P ，A ，B ，C 四点共面，故选B ．
2．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一直线上，则导学号 30072164( C )
A ．a ＝3，b ＝－3
B ．a ＝6，b ＝－1
C ．a ＝3，b ＝2
D ．a ＝－2，b ＝1
[解析] AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)，因为三点共线，所以存在实数λ使AC →
＝λAB →，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a －1＝λ，－2＝－λ，
b ＋4＝3λ，
∴a ＝3，b ＝2. 3．(2016·衡阳模拟)已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝导学号 30072165( B )
A ．9
B ．－9
C ．－3
D ．3
[解析] 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，
－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9，故选B ．
4．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是导学号 30072166( C )
A ．a ∥b ，a ∥c
B ．a ∥b ，a ⊥c
C ．a ∥c ，a ⊥b
D ．以上都不对
[解析] 因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .
5．若平面α的法向量n 1＝(2，－3,5)，平面β的法向量n 2＝(－3,1，－4)则导学号 30072167( C )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确
[解析] ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．
6．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是导学号 30072168( B )
A ．(1，－1,1)
B ．(1,3，3
2)
C ．(1，－3，32
)
D ．(－1,3，－3
2
)
[解析] 对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →
·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝(1，－4，12)，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，验证可知C 、D 均不满足P A →·n ＝0.
故选B ．
7．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →
的夹角为120°，则λ的值为导学号 30072169( C )
A ．±66
B ．
66
C ．－
66
D ．±6
[解析] OA →＋λOB →
＝(1，－λ，λ)， cos120°＝
λ＋λ
1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－6
6.
8.(2016·太原模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →
〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标
系，则点E 的坐标为导学号 30072170( A )
A ．(1,1,1)
B ．(1,1，1
2)
C ．(1,1，3
2
)
D ．(1,1,2)
[解析] 由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， 设P (0,0，a )(a >0)，则E (1,1，a
2)，
所以DP →＝(0,0，a )，AE →
＝(－1,1，a 2)，
|DP →|＝a ，|AE →|＝(－1)2＋12＋(a
2)2.
＝
2＋a 24
＝
8＋a 2
2
. 又cos 〈DP →，AE →
〉＝33，
所以0×(－1)＋0×1＋
a 2
2a ·
8＋a 2
2＝3
3，
解得a 2＝4，即a ＝2，所以E (1,1,1)． 二、填空题
9．已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，用a ，
b ，
c 表示向量MN →
[解析] 如图所示，
MN →＝12(MB →＋MC →)＝12[(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)]＝12(OB →＋OC →－2OM →
)＝12(OB →＋OC →－OA →)
＝1
2
(b ＋c －a )． 10．已知点O 为坐标原点，三点的坐标分别是A (2，－1,2)，B (4,5，－1)，C (－2,2,3)．若
AP →＝12(AB →－AC →
)，则点P 的坐标为 (5，12
，0) .导学号 30072172
[解析] 设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)，12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)．因为AP
→＝12(AB →－AC →)，即(x －2，y ＋1，z －2)＝(3，3
2
，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝12，
z ＝0.
所以点P 的坐标为(5，1
2
，0)．
11．(教材改编题)如图，在空间四面体OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为
3－22
5
.导学号
30072173
[解析] 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →
||AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24，所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →
|OA →|·|BC →|
＝24－1628×5
＝3－22
5，即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.
三、解答题
12．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
.导学号 30072174
(1)求a 和b 夹角的余弦值； (2)设|c |＝3，c ∥BC →
，求c 的坐标．
[解析] (1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →
＝(－1,0,2)， 所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5. 所以cos 〈a ·b 〉＝
a ·b
|a ||b |＝－12×5
＝－1010. (2)BC →
＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )， 因为|c |＝3，c ∥BC →
，
所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →
，即
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，
联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，
y ＝－1，
z ＝2，
λ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，
所以c ＝±(－2，－1,2)．
13．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.
导学号 30072175
(1)求BN →
的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1
M .
[解析] 如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →
| ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)． 所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3， |BA 1→|＝6，|CB 1→
|＝5，
所以cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→
|
＝3010.
(3)证明：依题意，得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →
＝(12，12，0)．
所以A 1B →·C 1M →
＝－12＋12＋0＝0，
所以A 1B →⊥C 1M →
.所以A 1B ⊥C 1M .
B 组能力提升
1．(2016·莆江模拟)已知O －ABC 是四面体，点G 1是△ABC 的重心，点G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1.若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，则(x ，y ，z )为导学号 30072176( A )
A ．(14，14，14)
B ．(34，34，34)
C ．(13，13，13
)
D ．(23，23，23
)
[解析] OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC
→
－OA →
)]＝14OA →＋14OB →＋14
OC →.故选A ．
2．(教材改编题)在空间四面体OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos 〈OA →，BC →
〉＝导学号 30072177( D )
A ．12
B ．
22
C ．－12
D ．0
[解析] 因为OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，所以OA →·BC →＝OA →·(BO →＋OC →)＝OA →·BO →
＋OA →·OC →＝|OA →||BO →|·cos120°＋|OA →||OC →|cos60°＝－12|OA →||BO →|＋12|OA →||OC →|＝0，所以cos 〈OA →，BC →〉
＝0.故选D ．
3．(2016·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→
两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于导学号 30072178( A )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC →21＝a 2＋b 2＋c 2
＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5，故选A ．
4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则导学号 30072179( D )
A ．S 1＝S 2＝S 3
B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3
C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2
D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1
[解析] 根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz 中作出该三棱锥D －ABC ，如图，显然S 1＝S △ABC ＝12×2×2＝2，S 2＝S 3＝1
2
×2×2＝ 2.故选D ．
5.(2016·海淀区模拟)如图所示，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.导学号 30072180
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．
[答案] (1)略 (2)BM ＝1
3BD 时，AM ∥平面BEF .
[解析] (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．
因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ． 从而AC ⊥平面BDE .
(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系D －xyz
如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°， 即∠DBE ＝60°，所以ED DB ＝ 3 .
因为正方体ABCD 的边长为3，
所以BD ＝32，所以DE ＝36，AF ＝ 6.
则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)． 所以BF →＝(0，－3，6)，EF →
＝(3,0，－26)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BF →＝0，n ·
EF →＝0，
即⎩⎨⎧
－3y ＋6z ＝03x －26z ＝0
令z ＝6，则n ＝(4,2，6)． 点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)． 则AM →
＝(t －3，t,0)．
因为AM ∥平面BEF ，所以AM →
·n ＝0. 即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.
此时，点M 为(2,2,0)，BM ＝1
3
BD ，符合题意．。