浙江杭州市萧山区高桥初中教育集团2020-2021学年八年级上学期数学学情调研试卷(教师版)

浙江杭州市萧山区高桥初中教育集团2020-2021学年八年级上学期数学学情调研试卷
一、单选题
1.（2021八上·萧山期末）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
A 【考点】轴对称图形
解：由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A 为轴对称图形.
故A.
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；根据定义并结合各选项即可判断求解.
2.（2019·台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8
B. 5，6，10
C. 5，5，11
D. 5，6，11
B
【考点】三角形三边关系
解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A 不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B 符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C 不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D 不符合题意；
故B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
3.（2021八上·萧山期末）关于 x 的一元一次不等式 3x ＞6 的解都能满足下列哪一个不等式的解（ ）
A. 4x﹣9＜x
B. 2x+4＜0
C. ﹣3x+2＜0
D. x ＜2
C
【考点】解一元一次不等式
解：解不等式3x ＞6，可得：x ＞2，
A 、4x-9＜x ，解得：x ＜3，不符合题意；
B 、2x+4＜0，解得：x ＜-2，不符合题意；
C 、-3x+2＜0，解得：x ＞
，符合题意；
23D 、x ＜2，不符合题意；
故C.
【分析】根据解不等式的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”解每一个不等式，再把解集在数轴上表示出来即可判断求解.
4.（2021八上·萧山期末）已知点 P （x ，y ）在函数 的图象上，那么点 P 应在平面直角y =1x 2+−2x 坐标系中的（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
B
【考点】函数自变量的取值范围，函数值，点的坐标与象限的关系
解：由分式及二次根式有意义的条件可得x<0，
又∵ ＞0，
y =1
x 2+−2x ∴点P 应在平面直角坐标系中的第二象限.
故B.
【分析】根据平方及二次根式的非负性可得函数值y 大于0，由二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得x 的取值范围，进而根据点的坐标与象限的关系可得点P 的位置.
5.（2021八上·萧山期末）直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，下列结论：
①a 2+b 2＝c 2；②ab ＝ch ；③ .其中正确的是（ ） 1
a 2
+1b 2=1h 2A. ①②③ B. ① C. ①② D. ①③
A
【考点】勾股定理 解：∵直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，
∴由勾股定理可知：a 2＋b 2＝c 2 ， ①正确；
这个直角三角形的面积＝
ab ＝ ch ，1212∴ab ＝ch ，②正确；
∴a 2b 2＝c 2h 2 ，
∴ ，③正确.
1a 2+1b 2=b 2+a 2
a 2
b 2=
c 2a 2b 2=c 2c 2h 2=1h 2故A.
【分析】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论.
6.（2021八上·萧山期末）如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A. ∠1＝2∠2
B. ∠1+∠2＝180°
C. ∠1+3∠2＝180°
D. 3∠2﹣∠1＝180°
D
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
解：∵ 是 的外角，
∠2△ACD ∴ ，
∠1+∠C =∠2∴∠C=∠2-∠1，
∵ ，
AB =AC ∴ ，
∠B =∠C ∵ ，
AB =BD ∴ ，
∠BAD =∠2∴ ，
∠BAC =∠1+∠BAD =∠1+∠2∵ ，
∠BAC +∠B +∠C =180°∴ ，即 .
∠1+∠2+∠2−∠1+∠2−∠1=180°3∠2−∠1=180°故D.
【分析】根据三角形外角的性质得 ，再根据等腰三角形的性质得 ， ∠1+∠C =∠2∠B =∠C ，由 即可得出 与 的关系.
∠BAD =∠2∠BAC +∠B +∠C =180°∠1∠27.（2019八下·邛崃期中）观察图形，可以得出不等式组 的解集是（　）
{ax
+b >0cx +d <0
A. x ＜﹣1
B. x ＜4
C. ﹣1＜x ＜0
D. ﹣1＜x ＜4
A
【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用
解：∵直线y=ax+b 交x 轴于点（4，0），
∴ax+b ＞0的解集为：x ＜4，
∵直线y=cx+d 交x 轴于点（-1，0），
∴cx+d ＜0的解集为：x ＜-1，
∴不等式组 的解集是：x ＜-1．
{ax
+b >0cx +d <0故A ．
【分析】根据直线y=ax+b 交x 轴于点（4，0），直线y=cx+d 交x 轴于点（-1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
8.（2020七下·莲湖期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， BD ΔABC DE ⊥AB E AB =6 ， ，则 的面积为（ ）
BC =4DE =2ΔABC
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
D
【考点】三角形的面积，角平分线的性质
解：作DF ⊥BC 于F ，
∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， DE =2
∴DF=DE=2，
∵ ， ，
AB =6BC =4∴S △ABC =S △ABD +S △CBD = 12×6×2+12×4×2=10
故D.
【分析】作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DE ，根据三角形面积公式计算即可.
9.（2021八上·萧山期末）如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若
12点P 的坐标为（ ），则 与 的函数关系为（ ）
3x,y +1y x
A. y =－x
B. y =－3x －1
C. y=3x －1
D. y =1－3x
B
【考点】点的坐标，角平分线的性质
解：过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，如图所示：
由题意可得点P在∠MON的角平分线上，
∴PA=PB，
3x,y+1
∵点P的坐标为（），
3x+y+1=0
∴，
y=−3x−1
∴；
故B.
【分析】由题意可得点P在∠MON的角平分线上，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，进而可得3x+y+1=0
PA=PB，然后可得，最后问题可求解.
10.（2021八上·萧山期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是( )
A. ②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
C
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定（AAS）
解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
{∠D＝∠AFC
∠DAC＝∠FAC
AC＝AC ∴△ACD ≌△ACF （AAS ），
∴CD=CF ，
∴CD=CB ，
故①正确；
∴AD=AF ，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE ，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE ，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故C.
【分析】在EA 上截取EF=BE ，连接CF ，根据“AC 平分∠BAD”和“∠ADC ＋∠ABC ＝180°”证明出△ACD ≌△
ACF ，故①正确；由①可知，AD=AF ，再根据线段间的和差关系可得：AD ＋AB ＝2AE ，AB －AD ＝2BE ，故②④正确.
二、填空题
11.（2019八上·秀洲期末）请用不等式表示“x 的2倍与3的和不大于1”：________．
2x+3≤1
【考点】列式表示数量关系
解：x 的2倍表示为2x ，与3的和表示为2x+3，由题意得：2x+3≤1，
故2x+3≤1．
【分析】将文字语言转化为数学语言，转化的时候要注意“不大于”就是小于等于，应该使用的不等号是“≤”。

12.（2021八上·萧山期末）已知点 ，点 关于 y 轴对称，则 a －b ＝________. M(2a −b,2b)N(3,a) -1
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
解：根据题意， ， 关于 y 轴对称，
M(2a −b,2b)N(3,a)则 ，{
2a −b =−3①
2b =a②把②代入①得，
2×2b −b =−3
∴3b =−3
解得 ，
b =−1把 代入②中，得
b =−1a =2b =−2
∴{a =−2
b =−1
，
∴a −b =−2−(−1)=−2+1=−1故-1.
【分析】关于y 轴对称的坐标特征是：横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此列出二元一次方程组 ，利用代入消元法解得a ， b 的值，继而解题.
{2a −b =−3
2b =a 13.（2021八上·萧山期末）直线 上有两个点（ ）， ，则
y =−2x +b x 1，4(x 2，−1)x 1________x 2（填“>”“<”“=”）
＜
【考点】一次函数的性质
解：∵一次函数 的一次项系数小于0，
y =−2x +b ∴y 随着x 的增大而减小，
∵ ， ，即 ，
y 1=4y 2=−1y 1>y 2∴ .
x 1<x 2故＜.
【分析】根据一次函数一次项系数的正负判断出函数值的增减性，即可得出结果.
14.（2021八上·萧山期末）如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为________度.
100
【考点】三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
解：连接AO 延长交BC 于D ，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC ，
∴∠OBA=∠OAB ，∠OCA=∠OAC ，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB ，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC ，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC ，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°.
故100.
【分析】连接AO 延长交BC 于D ，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC ，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A ，即可求解.
15.（2020八上·叶县期末）△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的面积为________.
84或24
【考点】三角形的面积，勾股定理
解：分两种情况考虑：
①当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt △ABD 中，AB=15，AD=12，
根据勾股定理得：BD= =9，
AB 2−A D 2在Rt △ADC 中，AC=13，AD=12，
根据勾股定理得：DC= =5，
AC 2−A D 2∴BC=BD+DC=9+5=14，
则S △ABC= BC ⋅AD=84；
1
2②当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB=90°，
在Rt △ABD 中，AB=15，AD=12，
根据勾股定理得：BD= =9，
AB 2−A D 2在Rt △ADC 中，AC=13，AD=12，
根据勾股定理得：DC= =5，
AC 2−A D 2
∴BC=BD−DC=9−5=4，
则S △ABC= BC ⋅AD=24.
12综上，△ABC 的面积为24或84.
故24或84.
【分析】由题意可分两种情况考虑：
①当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，根据勾股定理可求得BD 的长；在Rt △ADC 中，根据勾股定理可求得DC 的长；于是根据BC=BD+DC 可求得BC 的长；然后由S △ABC=BC ⋅AD 可求解；
12 ②当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，根据勾股定理可求得BD 的长，在Rt △ADC 中，根据勾股定理可求得DC 得长，由BC=BD−DC 可求得BC 的长，然后根据S △ABC=BC ⋅AD 可求解.
1216.（2021八上·萧山期末）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AO ＝BO ，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为________.
或 或1
37【考点】等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线 解：当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∴BP= ，
22−12=3在直角三角形ABP 中，
AP= ；
(3)2+22=7当∠APB=90°时，分两种情况，
情况一，（如图1），
∵AO=BO ，
∴PO=BO ，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP 为等边三角形，
∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，
∴AP= ；
AB 2−B P 2=3情况二，如图3，
∵AO=BO ，∠APB=90°，
∴PO=AO ，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP 为等边三角形，∴AP=AO=1，故 或 或1.
37【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP 的长，利用勾股定理可得AP 的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO ，易得△BOP 为等边三角形，利用勾股定理可得AP 的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
三、解答题
17.（2019·越秀模拟）解不等式组：
，并将它的解集在数轴上表示出来. {2(x +2)>3x 3x −12≥−2 解：
，
{2(x +2)>3x①3x −12≥−2②由①得，x<4；
由②得，x ⩾−1.故不等式组的解集为：−1⩽x<4.
在数轴上表示为：
【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
18.（2021八上·萧山期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝36°，求∠BDE 的度数.
（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE.
又在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中，
{
∠A=∠B
AE=BE
∠AEC=∠BED
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE.
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=36°，
∴∠C=∠EDC=72°，
∴∠BDE=∠C=72°.
【考点】等腰三角形的性质，三角形全等的判定（ASA）
【分析】（1）根据全等三角形的判定ASA即可判断△AEC≌△BED；
（2）根据全等三角形的对应角相等，对应边相等可得EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数.
19.（2019八上·鄞州期末）某小区积极创建环保示范社区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，已知温馨提示牌的单价为每个30元，垃圾箱的单价为每个90元，共需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个.
（1）若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1:4，求所需的购买费用；
（2）若该小区至多安放48个温馨提示牌，且费用不超过6300元，请列举所有购买方案，并说明理由.
（1）解： 100×（元）
100×15×30+100×45×90=7800答：所需的购买费用为7800元 .
（2）解：设温馨提示牌为x 个，则垃圾箱为（100-x ）个，由题意得： ,
{x ≤4830x +90(100−x )≤6300解得： 45≤x≤48
∵ 为整数
x ∴ =45、46、47、48
x ∴购买方案为：温馨提示牌和垃圾箱个数分别为45,55；46,54；47,53；48,52.
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】（1）根据总价=单价×数量，计算即可.
（2）设温馨提示牌为x 个，则垃圾箱为（100-x ）个， 根据小区至多安放48个温馨提示牌，且费用不超过6300元，列出不等式组，求出解集，然后求出整数解即可.
20.（2021八上·萧山期末）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （2，﹣1），B （1，﹣2），C （3，﹣3）
（1）将△ABC 向上平移 4 个单位长度得到△A 1B 1C 1 ， 请画出△A 1B 1C 1；
（2）请写出 B 1 坐标，并用恰当的方式表示线段 BB 1 上任意一点的坐标；
（3）求△ABC 的面积.
（1）解：如图， 即为所画.
△A 1B 1C 1
（2）解：B 1的坐标为（1,2），线段 上任意一点的坐标为(1，y)（ ）
BB 1−2≤y ≤2（3）解：取点D(1，-3)、E(3，-1)、F(1，-1)，分别连接CD 、CE 、DF 、EF.则四边形CDFE 为边长为2的正方形，AF=BF=AE=BD=1、CD=CE=2.
∴ S △ABC =S 正方形CFDE −S △ABF −S △ACE −S △BCD =2×2−12×1×1−12×1×2−12×1×2=32
【考点】作图﹣平移，几何图形的面积计算-割补法
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质得出平移后的对应点 、 、 ，再依次连接即可；
A 1
B 1
C 1 （2）根据关于x 轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得出点B 1的坐标，根据图可知线段 上任意一点的横坐标都为1，纵坐标的范围是-2到2；
BB 1 （3）直接利用 所在的正方形的面积减去其周围三角形的面积即可.
△ABC 21.（2021八上·萧山期末）已知 y 是关于 x 的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值： x -30
2n y 11m -4-12
（1）求这个一次函数的表达式.
（2）求 m ，n 的值.
（3）已知点 A （x 1 ， y 1）和点 B （x 2 ， y 2）在该一次函数图象上，设 a ＝ ，判断点P （-y 1−y 2
x 1−x 21，2）是否在正比例函数 y ＝ x 的图象上，并说明理由.
(a −3) （1）解：设 ，
y =kx +b(k ≠0)当x=-3时，y=11；x=2时，y=-4.
据此列出方程组 ，{
−3k +b =11
2k +b =−4解得 ，
{k =
−3b =2
∴一次函数的解析式y=-3x+2
（2）解：当 时，代入y=-3x+2，得到 ，即 ，
x =0y =2m =2当y=-12时，即 时， ，即
−3x +2=−12x =143n =143（3）解：点 和点 在 的图象上，
A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)y =−3x +2∴ ， ，
y 1=−3x 1+2y 2=−3x 2+2
a =y 1−y 2
x 1−x 2=−3x 1+2−(−3x 2+2)x 1−x 2=−3(x 1−x 2)x 1−x 2=−3∴
y =(a −3)x =−6x 当 时，
x =−1y =6≠2∴点 不在正比例函数的图象上
P(−1,2)【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质
【分析】（1）用待定系数法可求出函数关系式；
（2）把x=0代入，得到m 的值，把y=-12代入得出n 的值；
（3）根据一次函数的性质可知a=-3，根据一次函数图象上的点的坐标特点代入验证即可判断.
22.（2021八上·萧山期末）如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角△PCQ ，其中∠PCQ ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图 1，若点 P 为线段 AB 上一动点时，
①求证：△ACP ≌△BCQ ；
②试求线段 PA ，PB ，PQ 三者之间的数量关系；
（2）如图 2，若点 P 在 AB 的延长线上，求证：BQ ⊥AP ；
（3）若动点 P 满足 ,请直接写出 的值.
PA PB =13PC AC （1）①证明：∵△ABC 和△PCQ 是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴AC=BC ，CP=CQ ，∠A=∠ABC=45°，
∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB ，
∴∠ACP=∠BCQ ，
∴△ACP ≌△BCQ ；
②解：连接BQ ，
∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，∠CBE=∠A=45°，
∴∠PBQ=90°，
∴PB +BQ =PQ ，
222
即PA +PB =PQ
222
（2）证明：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，
∵∠ACP=∠ACB+∠BCP，
∠BCQ=∠PCQ+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ=∠A=45°，
∵∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，
∴BQ⊥AP；
（3）解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵ = ，
PA PB 13∴点P 只能在线段AB 上或在线段BA 的延长线上，
①如图3，当点P 在线段AB 上时，
∵ = ，
PA PB 13∴PA= AB= CD=PD ，
1412在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP= = = CD ，CD 2+DP 2CD 2+(12CD)252在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC= = = CD ，AD 2+CD 22CD 22∴ = = ；
PC AC 52CD 2CD 104②如图4，当点P 在线段BA 的延长上时，
∵ = ，
PA PB 1
3∴PA= AB=CD ，
1
2在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP= = = CD ，
CD 2+DP 2CD 2+(2CD)25在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC= = = CD ，
AD 2+CD 22CD 22∴ = =
；PC
AC 5CD 2CD 102综上可知 的值为 或 PC
AC 10410
2
【考点】三角形-动点问题
【分析】（1）①在Rt △ABC 和Rt △PCQ 中，可证得∠ACP=∠BCQ ，从而利用SAS 证明 △ACP ≌△BCQ ； ②根据全等三角形的对应边相等及等腰直角三角形的性质得出 AP=BQ ，∠CBE=∠A=45°， 从而得出∠PBQ=90°，进而根据勾股定理即可得出PA,PB,PQ 三者之间的数量关系；
（2）连接BQ ，根据等腰直角三角形的性质得出 AC=BC ，CP=CQ ，∠A=∠ABC=45° ，从而得出
∠ACP=∠BCQ ， 进而根据SAS 判断出 △ACP ≌△BCQ ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠CBQ=∠A=45°， 从而根据角的和差得出∠ABQ=90°，根据垂直的定义得出结论；
（3）分点P 在线段AB 上和线段BA 的延长线上，分别利用 = ，可找到PA 和CD 的关系，从而可找
PA PB 13到PD 和CD 的关系，在Rt △CPD 和Rt △ACD 中，利用勾股定理可分别找到PC 、AC 和CD 的关系，从而可求得 的值.
PC AC 23.（2021八上·萧山期末）A 、B 两地相距 60km ，甲从A 地去B 地，乙从B 地去A 地，图中 分l 1，l 2别表示甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与甲出发时间x （h ）的函数关系图象.
（1）求点A 的坐标，并说明其实际意义；
（2）甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km ；
（3）若用y 3（km ）表示甲、乙两人之间的距离，请在坐标系（图3）中画出 y 3（km ）关于时间 x （h ）的函数关系图象，注明关键点的数据.
（1）解：设 对应的函数解析式为 ，
l 1y 1=k 1x +b 1则 ，
{b 1
=602k 1+b 1=0解得： ，
{k 1
=−30b 1=60∴ 对应的函数解析式为： ，
l 1y 1=−30x +60设l 2对应的函数解析式为y 2=k 2x+b 2 ，
则 ，
{
0.5k 2+b 2＝0 
3.5k 2+b 2＝60解得 {k 1
＝20 b 1＝−10∴l 2对应的函数解析式为y 2=20x-10，
∴ ，
{y＝−30x +60y＝20x −10解得： ，
{x＝1.4
y＝18
即点A 的坐标为(1.4，18)，
∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇，此时距离B 地18km
（2）解：由题意可得， ，
|(-30x +60)−(20x −10)|=5解得：x=1.3或1.5，
答：当甲出发1.3h 或1.5h 时，两人之间的距离恰好相距5km
（3）解：由题意可得，
当0≤x≤0.5时，y 3=-30x+60，
当0.5＜x≤1.4时，y 3=y 1-y 2=（-30x+60）-（20x-10）=-50x+70，
当1.4＜x≤2时，y 3=y 2-y 1=（20x-10）-（-30x+60）=50x-70，
当2＜x≤3.5时，y 3=20x-10，
∴ y 3（km ）关于时间x （h ）的函数关系图象如下图所示：
【考点】一次函数的实际应用
【分析】（1）利用待定系数法，求出直线l 1,l 2的解析式，解联立两函数解析式组成的方程组，求出点A 的坐标，继而可得点A 的实际意义；
（2）分相遇前及相遇后两车之间的距离为5两种情况考虑，即根据（1）中的函数解析式，根据函数值差的绝对值等于5可以列出相应的等式，从而可以求得甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km ；
（3）分①乙出发前即当0≤x≤0.5时 ，②乙出发后甲乙相遇时即 当0.5＜x≤1.4时 ，③分甲乙相遇后及甲到达乙地时即 当1.4＜x≤2时 ，④甲到达乙地后四种情况求得 （km ）关于时间x （h ）各段的函y 3数解析式，从而可以画出相应的图象.。