2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年江西省第一次高考模拟考试
文科数学试题与答案
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）
1. 设全集U＝{x N
A. 16
B. 8
C. 7
D. 4
2. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）
A. i（1+i）2
B. i2（1﹣i）
C. （1+i）2
D. i（1+i）
3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所
示的茎叶图,有以下结论：
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
4. 已知直线，直线为，若则( )
A．或 B．
C ．
D ．或
5. 已知
,条件甲：
；条件乙：
,则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）
A.
B. C.
D.
8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）
A. 25
B. 9
C. 17
D. 20
9. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若1
2
AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2
B. 2-
C. 3
D. 3-
10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4
C π=
，则=AB （ ）
B. 5
C. D.
11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为
（ ） A.
B.
C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且
，
，
，且三
棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知ABC ∆中ABC A a ∆==则,45,2
外接圆的面积为 .
14. 已知)1,3(,3,1=+=
=→→→
→b a b a 且，则=-→
→b a .
15. 已知函数()2log ,0
3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
，则
12f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值为__________． 16. 设变量 x y ，满足约束条件201x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的
最大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知函数，数列
为等差数列，其中，为
的最小值.
（1）求的通项公式. （2）已知是正项等比数列，
，，求的通项公式，并求
的前
项和
.
18.（12分）
如图，在圆柱中，点
、
分别为上、下底面的圆心，平面
是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧
的中点，点与点在平面
的同侧，圆柱的底面半径
为1，高为2.
（1）若平面平面，证明：；
（2）若直线平面，求到平面的距离.
19.（12分）
按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．
表1：甲套设备的样本频数分布表
（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？
（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：
（2）根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．
参考公式及数据：x2=
20.（12分）
已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N 点的上方），与轴交于点E.
（1）当且时，求点M、N的坐标；
（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线的方程.
21．（12分）
设函数，f（x）=lnx+，k∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；
（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，求k的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设过点且倾斜角为的直线和曲线交于两点，，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）求不等式解集；
（2）关于x的不等式在实数范围内有解，求实数a的取值范围。

参考答案
一、选择题
1.B
2.C
3.C
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
9.A 10.A 11.A 12.D
二、填空题
13. 8 14.2 15.1
3
16.5
三、解答题
17.（1）因为，所以，
的最小值为1，所以.
因为是等差数列，所以公差，
所以的通项公式. （2）因，，
且公比，所以公比.
的通项公式，
所以.
18.（1）面面，面面
又，平面平面
平面
（2）连接
，平面，平面
平面
又直线平面，平面平面
到平面的距离等于到平面的距离
取线段的中点
，，
平面
所以到平面的距离为
为弧中点
在等腰直角三角形中，
所求距离为
19.（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5=0.16；∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为5000×0.16=800（件）；
（2）由表1和图得到列联表：
将列联表中的数据代入公式计算得K2==4＞3.841；
∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
（3）由表1和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为=0.96，
乙套设备生产的合格品的概率约为1-0.16=0.84，
且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，
乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；
因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，
所以甲套设备优于乙套设备．
20.解：(1) 当m=k=1时，联立，解之得：或，
即M(0，1)，N (，)；
(2) 当m=2时联立，消去y得：，设M(x1，y1)，N (x2，y2)，则，
由，，且点的横坐标为0，
得、. 从而
=
=，
为定值3；
(3) 当m=3时，椭圆：，假设存在直线满足题意，则△的内切圆的半径为，又、为椭圆的焦点，故△MNF的周长为8，
从而，
消去，得，设、，
则.
故，即.
由(2)，得，
化简，得，解得，
故存在直线满足题意．
21.（1）由条件得，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0，即，有
，得，
∴，由得，由得．
∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值．故的单调递减区间为，极小值为2
（2）条件等价于对任意恒成立，
设．
则在上单调递减，
则在上恒成立，
得恒成立，
∴（对仅在时成立），
故的取值范围是
22.（1）将，代入，
得曲线的直角坐标方程为.
即为曲线的直角坐标方程. 由得，
(2)法1：依题意得直线，与椭圆联立得，
即，
法2：依题意得直线，与椭圆联立得，即，
法3：依题意得直线（为参数），与椭圆联立得
，即，
23.解：（Ⅰ），即，则，
当时，解得，
当时，解得，
所以原不等式的解集为：
（Ⅱ）由不等式在实数范围内有解可得，
在实数范围内有解，
令，则，
因为，所以，即
11。