海南省海口市第四中学2019-2020学年高二上学期期中末考试数学试卷

数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题(本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=a ，4
1
6=
a ，则=6S ( ) A ．463-
B ．463
C ．463±
D ．8
63 2、如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是( )
A ．22
B ．24
C ．4
D ．8 3、已知θ为锐角，且53sin =
θ，则=+)4sin(π
θ( ) A.
10
2
7 B. 10
2
7- C.
10
2 D. 10
2-
4、已知βα,是相异两平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中不正确．．．
的是 ( ) A. 若α⊥m n m ,//，则α⊥n B.若βα⊥⊥m m ,，则βα// C. 若n m =βαα ,//，则n m //
D. 若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥
5、已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )
A. π2
B.
π3 C.
3
3π
D. π3 6、已知曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为2，
则该双曲线的方程为( )
A. 2
1
22=
-y x B. 122=-y x C. 222=-y x D. 222=-y x
7、已知三棱锥ABC P -的三条侧棱两两互相垂直，且5=AB ，7=BC ，2=AC ，
则此三棱锥的外接球的体积为 ( )
A.
3
8π
B. 328π
C. 316π
D. 332π
8、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )
A.
6
1 B.
6
3 C.
3
1 D.
3
3 9、已知抛物线()022
>=p px y 的焦点为双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点，且其
准线被该双曲线截得的弦长是
3
2b
，则该双曲线的离心率为 ( ) A.
913 B. 9
10 C. 3
13
D. 3
10 二、多选题(本题共3小题，每小题5分，共15分，每小题给出的4个选项中，有多项符
合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
10、下列命题中正确的是( )
A. 平面//α平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面β
B. 平面//α平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C. 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
11、设抛物线()022
>=p px y 的焦点为F ,点M 在y 轴上，若线段FM 的中点B 在抛物线
上，
且点B 到抛物线准线的距离为
4
2
3，则点M 的坐标为( ) A.()1,0- B.()2,0- C.()2,0 D.()1,0
12、如图，点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，则正确的结论是( )
A. 三棱锥PC D A 1-的体积不变
B. //1P A 平面1ACD
C. 1BC DP ⊥
D. 平面⊥1PDB 平面1ACD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知向量b a ,1=2=，a 与b 的夹角为︒60=______． 14、如右图，正四棱锥底面正方形ABCD 的边长为4，侧面PBC 上的斜高PE 与底面ABCD 所成的角为︒60，则该四棱锥的侧面积为__________．
15、过点()0,1-A ，斜率为k 的直线，被圆()412
2
=+-y x 截得的弦长为32，则k 的值
为________．
16、若直线2-=kx y 与抛物线x y 82
=交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为
2，
则=k ________．
四、解答题：本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17、(本题满分10分)
如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N ，P 分别是棱AB ，11D A ，AD 的中点， 求证：（1）平面//MNP 平面11B BDD ；（2）AC MN ⊥．
18、(本题满分12分)
设ABC ∆的角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且A c C a A b cos cos cos 2+=． （1）求角A 的大小；
（2）若2=a ，4=+c b ，求ABC ∆的面积．
19、(本题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，n n S n +=2
．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证1<n T ．
20、(本题满分12分)
如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PA 平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点， 且AD PA =．
（1）求证：//AF 平面PEC ； （2）求证：平面⊥PEC 平面PCD ．
．
21、(本题满分12分)
已知抛物线C ：()022
>=p px y 的焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异
于O 的两点．
（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA ，OB 的斜率之积为2
1
-，求证：直线AB 过定点．
22、(本题满分12分)
已知椭圆()012222>>=+b a b
y a x 的离心率为36=e ，直线2+=bx y 与圆22
2=+y x 相
切，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点()0,1E ，若直线()02≠+=k kx y 与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存
在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、1-5BCACC 6-9 DBBD 10、BCD 11、BC 12、ABD 二、13、13 14、32 15、3
3
±
16、2 1、解：设等比数列的公比为q ，
，
，
，
为正项数
列 ， ，
，．故选B ．
2、解：设原图形为，，，，
，，，因此，的面积为．故选C ．
3、解：为锐角，且，，
．故选A ．
4、解：在A 中：若，，则由直线与平面垂直的判定定理得，故A 正确；
在B 中：若，
，则由平面与平面平行的判定定理得，故B 正确；
在C 中：若，，则m 与n 平行或异面，故C 错误； 在D 中：若
，，则由平面与平面垂直的判定定理得
，故D 正确．故选：C ．
5、解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：π2，底面半
径为：1，
圆锥的高为：3，圆锥的体积为：3
331312π
π=
⨯⨯.故选C ． 6、解：根据题意，若曲线()0b ,012222>>=-a b
y a x 为等轴双曲线，则2
2b a =，
a b a c 222=+=，
即焦点的坐标为；其渐近线方程为，若焦点到渐近线的距离为，
则有，则双曲线的标准方程为，即，故选D．
7、解：，，，，，，
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，
则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
长方体的对角线长为，球直径为，半径，
因此三棱锥外接球的体积是，故选B．
8、解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，为AB的中点，，
则为异面直线BD与CE所成的角，为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，．设正四面体的棱长为2a，则，
．在中，由余弦定理得：
．故选B．
9、解：由题意可知：抛物线的焦点，准线，将代入双曲线方程，解得：，
则准线被该双曲线截得的弦长为，，，双曲线的离心率
，
则双曲线的离心率为．故选D．
10、解：平面平面，一条直线a平行于平面，则a可能在平面内，故A错误；B.
平面平面，，则内的任意一条直线都平行与平面，故B正确；
C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，由面面平行的判定知，三角形所在的平面与这个平面平行，故C正确；
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，故D正确．故选BCD
11、解：在中，点B为边MF的中点，故点B的横坐标为，因此，
解得，故抛物线的方程为，可得点B的坐标为，
故点M的坐标为、．故答案为BC．
12、解：对于A，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面
的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故A
正确；
对于B，连接，，且相等，由于知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得，故B正确；
对于C，由于平面，所以，
若，则平面DCP，，则P为中点，与P为动点矛
盾，故C错误；对于D，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，故D正确．
故选ABD．
13、解：根据题意，，
则，故答案为．
14、解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角．
，，斜高，．15、解：设直线方程为，即，圆截得的弦长为，
圆心到直线的距离为，，．
16、解：联立直线与抛物线，
消去y，可得，，判别式，解得．设，，则，由AB中点的横坐标为2，即有，解得或
舍去，
17、证明：Ⅰ在正方体中，M，N，P分别是棱AB，，AD的中点，
，，，
，，平面平面；
Ⅱ由已知，可得，又底面ABCD，底面ABCD，
，，N是AB，的中点，
，又，，又，，
．
18、解：中，
由正弦定理可得，
，又，，
由可得；
由余弦定理可得，
将，代入上式可得，的面积．19、解：，当时，，
又满足上式，；
证明：，，
，，，．
20、证明：取PC的中点G，连结FG、EG，为的中位线，，．四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，，．，，四边形AEGF是平行四边形，．又平面PEC，平面PEC，平面PEC；
，F是PD的中点，，平面ABCD，平面ABCD，
，
又因为，，AP，平面APD，平面APD，
平面APD，，又，且，PD，平面PDC，
平面PDC，由得，平面PDC，又平面PEC，平面平面PCD．
21、解：Ⅰ因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以．所以抛物线C的方程为分
Ⅱ证明：当直线AB的斜率不存在时，设，，因为直线OA，OB的斜率之
积为，
所以，化简得．所以，，此时直线AB的方程为分
当直线AB的斜率存在时，设其方程为，，，
联立得化简得分根据根与系数的关系得，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即．即
，
解得舍去或．所以，即，所以，即
．
综上所述，直线AB过x轴上一定点分
22、解：因为直线l：与圆相切，，，
椭圆的离心率，，，所求椭圆的方程是．
直线代入椭圆方程，消去y可得：
，或，
设，，则有，，
若以CD为直径的圆过点E，则，
，，
，
解得，所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．。