高中数学一轮复习课件：直线与圆锥曲线的位置关系

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由中点坐标公式得x1＋2 x2＝x，y1＋2 y2＝y， 即 x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.⑤ 把④⑤代入到③中得 x＝－4y ∴直线方程为 x＋4y＝0，
由x42＋y2＝1， x＋4y＝0，
得 x2＝156.
∴x1＝－4
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变式迁移 1 抛物线 y＝ax2＋1 与直线 y＝x 相切，
则 a 等于
()
1 A.8
1 B.4
1 C.2
D．1
解法一：抛物线 y＝ax2＋1 与直线 y＝x 相切等价于 方程组yy＝ ＝axx2＋1， 有惟一实数解，即方程 ax2－x＋1 ＝0 有两等实根．∴判别式 Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝14.
答案：D
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3．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B不同两点，
且AB的中点横坐标为2，则k的值是__________．
解析：设 A(x1，y1)、B(x2，y2) 由yy＝2＝k8xx－，2， 消去 y 得 k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 由题意得
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(1)将端点坐标代入方程：ax212＋by212＝1，ax222＋by222＝1. (2)两等式对应相减：ax212－ax222＋by212－by222＝0.
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则
①Δ>0，直线l与圆锥曲线有 两个不同 交点．
②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有 唯一 的公共点． ③Δ<0，直线l与圆锥曲线 没有 公共点．
(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐近
线
平行或重合
；当圆锥曲线为抛物线时，l与
抛物线的对称轴 平行或重合．
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判断直线与圆锥曲线的公共点个数问题有两种方法：① 代数法，即将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x(或y)的方 程，方程根的个数即为交点个数，此时注意对二次项系数的 讨论；②几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象 判断公共点个数．注意分类讨论和数形结合的思想方法.
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解法一是解这类问题的通法，但计算比较繁琐，解法二 计算比较简单，但不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因 此应用第二种方法解题时，必须判定满足条件的直线是否存 在，即把求出的直线方程与已知椭圆方程联立，判断方程组 是否有解，即判断由它们联立的方程组所得的一元二次方程 的判别式情况.
()
A．b2
B．ab
C．ac
D．bc
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解析：设 A、B 两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)， 则 S△FAB＝12|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.
答案：D
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解析：设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有x421＋y21＝1，① x422＋y22＝1，②
①－②得14(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③ 又直线 AB 的斜率 k＝tanπ4＝yx11－ －yx22＝1， ∴y1－y2＝x1－x2.④
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考纲要 求
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实 世界和解决实际问题中的作用
2．理解直线与圆锥曲线的位置关系． 3．理解数形结合思想的应用．
热点提 示
关于直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点 弦长及弦中点等问题是常考的．这类问题很容 易组成综合性试题，如探索性试题等，因为它 具有考查思维能力、提高区分度的功能，所以 可能结合其他章节的知识如三角、数列、平面 向量等命制综合试题.
解：设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n)，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由ym＝x2x＋＋n1y，2＝1， 消去 y，整理得 (m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0， Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)>0， 即 m＋n－mn>0，OP⊥OQ 等价于 x1x2＋y1y2＝0，
Δ＝[－4(k＋2)]2－4×k2×4>0， x1＋x2＝4(kk＋2 2)＝2×2，
∴kk>＝－－11，或k＝2. 即 k＝2.
答案：2
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4．倾斜角为π4的直线交椭圆x42＋y2＝1 于 A、B 两点， 则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是__________．
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1．设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y) ＝0，由Af(xx＋ ，By)y＝＋0C，＝0， 得 ax2＋bx＋c＝0.
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5
5，x2＝4
5
5 .
∴点
M
的轨迹方程为
x＋4y＝0(－4
5
54 <x<
5
5 )
答案：x＋4y＝0(－4
54 5 <x< 5
5 )
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5．已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴 上，直线 y＝x＋1 与该椭圆交于 P 和 Q，且 OP⊥OQ， |PQ|＝ 210，求椭圆方程．
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2．直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x2
或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|
＝ 1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.
解①②得mn＝＝3212，，
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或mn＝＝1232.，
显然满足 Δ>0，故所求椭圆的方程为 x22＋32y2＝1 或32x2＋y22＝1.
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将 y1＝x1＋1，y2＝x2＋1 代入，整理得 2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0， ∴2m(n＋－n1)－m2＋n n＋1＝0⇒m＋n＝2，① 由弦长公式，得 2·4(m(m＋＋n－n)m2 n)＝( 210)2， 将 m＋n＝2 代入，得 mn＝34.②
线与曲线相交只有一个交点．
当 4－k2≠0 时，由 Δ＝(4k)2－4(4－k2)(－8)＝0，
解得 k＝±2 2，此时直线与曲线相切于一点． 故过点 A(0,2)可作 4 条直线与双曲线 x2－y42＝1 有
且只有一个公共点．
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变式迁移 3 (2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)
与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|
＝2|FB|，则k＝
()
1
2
A.3
B. 3
2
22
C.3
D. 3
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解法二：设切点为(x0，x0)，则曲线 y＝ax2＋1 在该 点的导数 y′|x＝x0＝2ax0 为切线斜率，∴2ax0＝1.①
又切点(x0，x0)满足曲线方程 x0＝ax20＋1，② 联立①②解得 a＝14.∴选 B.
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变式迁移 2 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦 AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程．
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由 x1＋x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12.
设弦的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 故所求弦所在直线方程为 x＋2y－4＝0.
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(1)求双曲线的离心率； (2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方 程．
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【例 1】 过点 A(0,2)可作__________条直线与双 曲线 x2－y42＝1 有且只有一个公共点．
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解：设过点 A(0,2)的直线为 y＝kx＋2，代入双曲 线 x2－y42＝1，得(4－k2)x2－4kx－8＝0.当 4－k2＝0，即 k＝±2 时，方程(4－k2)x2－4kx－8＝0 只有一解，故直
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2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，
则k的值为
()
A．1 C．0
B．1或3 D．1或0
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解析：由yy＝2＝k8xx＋，2， 得 ky2－8y＋16＝0， 若 k＝0，则 y＝2，若 k≠0，则 Δ＝0，即 64－64k＝0 解得 k＝1，因此直线 y＝kx＋2 与抛物线 y2＝8x 有且只有 一个公共点，则 k＝0 或 k＝1.
答案：B
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【例2】 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被 这点平分的弦所在直线的方程和弦长．
解法一：当直线斜率不存在时，M不可能为弦中点， 所以可设直线方程为y＝k(x－2)＋1， 代入椭圆方程，消去y整理得： (1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0， 显然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，
(3)分解因式整理：kAB＝yx11－－yx22＝－ba22((xy11＋＋xy22))＝ －ba22xy00.
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1．AB 为过椭圆ax22＋by22＝1 中心的弦，F(c,0)为它的
焦点，则△FAB 的最大面积为
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答案：D
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