高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测 含解析

模块综合检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知a ∈R ,且a 2+a<0,则-a ,-a 3,a 2的大小关系是( ) A.a 2>-a 3>-a B.-a>a 2>-a 3 32>-a D.a 2>-a>-a 3
a 2+a<0,∴-1<a<0,
0<-a<1.
-a>(-a )2>(-a )3,即-a>a 2>-a 3.
2x 2-x-1>0的解集是( ) A.(-1
2,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-12)∪(1,+∞)
2x 2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,
∴x>1或x<-1
2.
故解集为(-∞,-1
2)∪(1,+∞).
A n (n ,a n )(n ∈N +)在函数y=a x (a>0,a ≠1)的图像上,则a 3+a 7与2a 5的大小关系是( ) A.a 3+a 7>2a 5 B.a 3+a 7<2a 5 C.a 3+a 7=2a 5
7与2a 5的大小和a 有关
,a 3=a 3>0,a 7=a 7>0,a 5=a 5>0,
a 3+a 7≥2√a 3·a 7=2a 5. 又a>0,a ≠1,∴等号不成立. a 3+a 7>2a 5.
中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2·a 2+c 2-b
2
2ac
·a=c ,整理得a=b ,故△ABC 为等腰三角形.
a =(3,-2),
b =(x ,y-1),若a ∥b ,则4x +8y 的最小值为( ) √2 B.4√2 C.2√2 D.2 a ∥b ,∴3(y-1)-(-2)x=0,
2x+3y=3.
故4x +8y =22x +23y ≥2√22x+3y =2√23=4√2,当且仅当2x=3y ,即x=3
4,y=1
2时,等号成立.
中,若a=80,b=100,A=45°,则此三角形的解的情况是( ) A.一解 B.两解 D.无解
△ABC 中,a<b ,A=45°<90°.
a>b sin 45°=50√2,知此三角形有两解.
7.设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x-[x ],则{√5+1
2},[√5+1
2],√5+1
2( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列
[√5+1
2]=1,{√5+1
2}=√5-1
2,则由等比数列性质易得三者构成等比数列. 8.在△ABC 中,AB=√3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( ) A.√3
2
B.√3
4
C.√3
2或√3
D.√34或√3
2
,得12=(√3)2+BC 2-2√3·BC ·cos 30°,
解得BC=1或2.故S △ABC =12
BA ·BC sin 30°=12
×√3×1×12
=
√3
4
或S △ABC =1
2×√3×2×12
=
√3
2
.
{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,则a 10等于( ) B.9 C.10 D.55
S n +S m =S n+m ,得S 1+S 9=S 10,
a 10=S 10-S 9=S 1=a 1=1.
10.已知x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,
x +y ≤2,y ≥0.
若z=ax+y 的最大值为4,则a 等于( )
B.2
C.-2
D.-3
,如图阴影部分所示.
线性目标函数z=ax+y ,即y=-ax+z. 设直线l 0:ax+y=0.
当-a ≥1,即a ≤-1时,l 0过O (0,0)时,z 取得最大值,z max =0+0=0,不合题意;
当0≤-a<1,即-1<a ≤0时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =a+1=4,∴a=3(舍去); 当-1<-a<0时,即0<a<1时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =2a+1=4,∴a=3
2(舍去); 当-a ≤-1,即a ≥1时,l 0过A (2,0)时,z 取得最大值,z max =2a+0=4,∴a=2. ,a=2符合题意.
{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n+1=3S n (n ≥1),则a 6等于( ) 4 B.3×44+1 C.45 D.45+1
a n+1=3S n ,∴a n =3S n-1(n ≥2).
,得a n+1-a n =3(S n -S n-1)=3a n , 即a n+1=4a n (n ≥2).
故n ≥2时,{a n }是以a 2为首项,以4为公比的等比数列.
∵a 2=3S 1=3a 1=3,∴a
2a 1
=3≠4.
∴a 1不在上述等比数列里面.
∴数列{a n }的通项公式为a n ={
1(n =1),
3·4n -2
(n ≥2).
故a 6=3×44.
12.已知a ,b ,a+b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是( ) B.(1,+∞) C.(0,8) D.(8,+∞)
a ,
b ,a+b 成等差数列,∴2b=2a+b ,b=2a.
a ,
b ,ab 成等比数列, ∴a ≠0,b ≠0,b 2=a 2b ,∴b=a 2. ∴a 2=2a ,a=2,∴b=4,∴ab=8. 0<log m (ab )<1,∴m>8.
(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,a=3,b=√6,A=2π
3,则B= .
,得a sinA =b sinB ,即32
=√6
sinB ,
所以sin B=√2
2.所以∠B=π
4.
n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .
{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1=q n-1.
3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以2×(2S 2)=3S 1+S 3,即4S 2=3+S 3,即4(a 1+a 2)=3+(a 1+a 2+a 3),也就是4(1+q )=3+(1+q+q 2),
整理得q 2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).
所以等比数列{a n }的首项为a 1=1,公比为q=3, a n =3n-1.
n-1
15.若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,
x -y ≤0,x +y -4≤0,
则y
x
的最大值为 .
(如图),点A 为(1,3),要使y x
最大,则y -0
x -0
最大,即过点(x ,y ),(0,0)两点的
直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,(y
x )
max
=
3-0
1-0
=3.
16.①数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n (n ∈N +),则1
a
n+1
+1
a
n+2
+…+1
a
2n
≥1
5;
②数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2a n -1(n ∈N +),则a 11=1 023;
③数列{a n }满足a n+1=1-14a n
,b n =2
2a n
-1(n ∈N +),则数列{b n }是从第二项开始的等比数列; ④已知a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n+1(n ∈N +),则a n =2n-1. 以上命题正确的有 (只填序号).
S n =n 2+2n ,∴a n =2n+1,
1
a n+1+
1
a n+2+…+
1a 2n =12n+3+12n+5+…+14n+1
≥n 4a +1=14+1n
≥1
5,当且仅当n=1时等号成立,故①正确;
∵a n+1=2a n -1,∴a n+1-1=2(a n -1),∴a n+1-1
a n -1
=2.
∴{a n -1}是等比数列,a n -1=2n-1.∴a n =2n-1+1, a 11=210+1=1 025,故②错误;
b n+1=
22a n+1-1
=
22(1-14a n
)-1
=
2
2a n -1
+2=b n +2,∴{b n }是公差为2的等差数列,故③错误; ④中当n=1时,a 1=22=4,不满足a n =2n-1, 错误.
(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)△ABC 中,BC=7,AB=3,且sinC sinB
=35
.
(1)求AC 的长度; A 的大小.
由正弦定理,得AC =AB
,
即
AB AC
=
sinC sinB
=35
.故AC=
5×3
3
=5. (2)由余弦定理,得
cos A=AB 2+AC 2-BC 2
2AB ·AC
=9+25-492×3×5=-1
2.
因为0°<A<180°,所以A=120°.
18.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32
=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{1b n
}的前n 项和.
设数列{a n }的公比为q.
由a 32=9a 2a 6,得a 32=9a 42,故q 2=19
.
由题意知q>0,故q=1
3.
由2a 1+3a 2=1,得2a 1+3a 1q=1,即a 1=13
. 故数列{a n }的通项公式为a n =13
n .
(2)因为b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-
n (n+1)
2
, 所以1b n =-2n (n+1)=-2(1n -1n+1).
所以1b 1+1b 2
+…+1b n
=-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1
n+1
)] =-2n n+1.
故数列{1b n }的前n 项和为-2n
n+1
.
19.(12分)
如图所示,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处,且与岛屿A 相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h 追上,此时到达C 处. (1)求渔船甲的速度; sin α的值.
依题意知,∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=10×2=20(n mile).
在△ABC 中,由余弦定理,得
BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784. 解得BC=28 n mile .
故渔船甲的速度为BC
2
=14(n mile/h).
(2)由(1)知BC=28 n mile, 在△ABC 中,∠BCA=α, 由正弦定理,得AB sinα
=
BC
sin120°.
即
sin α=
ABsin120°
BC
=12×√3
228
=
3√3
14
. 20.(12分)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{1a n
}的前n 项和为T n ,求T n .
由S n =2a n -a 1,有
a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),
即a n =2a n-1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.
又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.
所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n .
(2)由(1)得
1a n =
12n
. 所以T n =12+
12
2+…+
12n
=
12[1-(12)n ]1-12
=1-1
2n . 21.(12分)已知函数
f (x )=x 2
ax+b
(a ,b 为常数),且方程
f (x )-x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4.
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)设k>1,解关于x 的不等式f (x )<
(k+1)x -k
.
将x 1=3,x 2=4分别代入方程x 2
ax+b
-x+12=0,
得{9
3a+b =-9,164a+b
=-8,
解得{a =-1,
b =2.
故f (x )=x 2
2-x (x ≠2). (2)不等式即为x 2
2-x <
(k+1)x -k
2-x
, 可化为
x 2-(k+1)x+k
2-x
<0. 因为x ≠2,所以又可化为(x-2)(x-1)(x-k )>0. ①当1<k<2时,解得1<x<k 或x>2;
②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解得x>1,且x ≠2; ③当k>2时,解得1<x<2或x>k.
综上所述,当1<k<2时,解集为(1,k )∪(2,+∞); 当k=2时,解集为(1,2)∪(2,+∞); 当k>2时,解集为(1,2)∪(k ,+∞).
22.(12分)甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f (x ),g (x )及任意的x ≥0:当甲公司投入x 万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f (x )万元,则乙公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x 万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g (x )万元,则甲公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险. (1)请解释f (0),g (0)的实际意义;
(2)设f (x )=x+5,g (x )=12
x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情
,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?
f (0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f (0)万元的资金,
g (0),甲公司要避免倒闭,至少要投入g (0)万元的资金.
(2)设甲公司投入的资金为x 万元,乙公司投入的资金为y 万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需{
y ≥x +5,x ≥12y +10,
x ≥0,y ≥0,
改造设备资金为z=x+y ,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
作直线l 0:x+y=0,平移直线l 0,在可行域中的点P 处z=x+y 取得最小值. 由{
y =x +5,y =2x -20,
得P (25,30). 故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.。