四川省成都石室中学11—12下学期高一数学期中考试试卷

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成都石室中学高2014级2011~2012学年度下期半期考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.考生务必将答案填在答题卡上,在试卷上作答无效.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项)
1.已知a >b >0,那么下列不等式成立的是( ) A .-a >-b B .a +c <b +c C .(-a )2>(-b )2
D .
b
a 1
1> 2.在等差数列{n a }中,已知882=+a a ,则5a 等于( ) A .16
B .4
C .12
D .6
3.已知△ABC 中,a =1,b =2,B = 45,则角A 等于( ) A . 150
B . 90
C . 60
D .
30
4.等比数列{n a }的各项均为正数,且1a =3,如果前3项和为21,则654a a a ++等于( ) A .168
B .567
C .-567
D .57
5.若{n a }为递减数列,则{n a }的通项公式可以为( ) A .32+=n a n B .132++-=n n a n C .n
n a 21
=
D .n n a )1(-=
6.不等式052>++c x ax 的解集为}2
1
31|{<<x x ,则a 、c 的值为( )
A .a =6,c =1
B .a =-6,c =-1
C .a =1,c =6
D .a =-1,c =-6
7.已知函数1)(2--=mx mx x f ,若对一切实数x ,f (x )<0恒成立,则m 的范围为( ) A .(-4,0) B .(-4,0]
C .(-∞,-4)∪(0,+∞)
D .(-∞,-4)∪[0,+∞)
8.关于x 的方程02
cos )cos (cos 2
2=--c
x B A x 有一个根为1,则△ABC 一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形
D .钝角三角形
9.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,
90=∠C ,则C
b
a +的取值范围是( ) A .(1,2)
B .)2,1(
C .]2,1(
D .]2,1[
10.已知正整数a ,b 满足4a +b =30,使得
b
a 1
1+取最小值时,实数对(a ,b )是( ) A .(10,5)
B .(6,6)
C .(5,10)
D .(7,2)
11.设等比数列{a n }的各项均为正数,公比为q ,前n 项和为n S .若对任意*N n ∈,有
n n S S 32<,则q 的取值范围是( )
A .(0,1]
B .(0,2)
C .[1,2)
D .)2,0(
12.若数列{a n }:
21,3
231+,434241++,54
535251+++,…则数列}1{
}{1+=n n n a a b 前n 项的和为( ) A .1
1
1+-
n B .
1
1
21+-
n C .)1
121(4+-n
D .)1
11(4+-
n 第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,请将正确答案填空在答卷上) 13.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =1,7=b ,3=c ,则
B =___________
14.等比数列前n 项和k S n
n +⎪⎭

⎝⎛=312,则常数k 的值为______________
15.数列{a n }中11=a ,对于n >1(*N ∈n )有231+=-n n a a ,则a n =_______________ 16.已知不等式222y ax xy +≤,若对任意x ∈[1,2]且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则
实数a 的取值范围是____________
三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤和证明过程) 17.(本题满分12分)
在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,55
cos =A ,10
103sin =B . (Ⅰ)求cos (A +B )的值;
(Ⅱ)若a =4,求△ABC 的面积.
18.(本题满分12分)
设数列{a n }的前n 项和为22n S n =,{b n }为等比数列,且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1 (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
(Ⅱ)设n n n b a
c =,求数列{c n }的前n 项和T n
19.(本题满分12分)
某工厂要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为8 m ,最大装水量为3
m 72,池底和池壁的造价分别为2
/m 2元a 、2
/m 元a ,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才能使水池的总造价最低?最低造价是多少?
20.(本题满分12分)
已知函数12)(2+-=ax x x f (Ⅰ)设⎩

⎧<--≥-=4,2)(4
,6)()(x x f x x f x F ,当a =2时,求F (x )>0时x 的取值范围;
(Ⅱ)设f (x )在(2,3)内至少有一个零点,求a 的取值范围.
21.(本题满分12分)
对于数列{a n },规定数列{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列,其中
*)(1N ∈-=∆+n a a a n n n ;一般地,规定}{n k a ∆为{a n }的k 阶差分数列,其中
n k n k n k a a a 111-+-∆-∆=∆,且2*,≥∈k k N
(Ⅰ)已知数列{a n }的通项公式*)(2
13
252N ∈-=
n n n a n ,试证明}{n a ∆是等差数列; (Ⅱ)若数列{a n }的首项131-=a ,且满足*)(2212N ∈-=+∆-∆+n a a a n n n n ,求数列
}22{
11n
n
n n a a -++及{a n }的通项公式;
22.(本题满分14分)
已知a 为锐角且t 12tan -=α,函数)4
π
2sin(2tan )(2
+
+=ααx x x f ,数列{a n }的首项2
1
1=
a ,)(1n n a f a =+ (Ⅰ)求函数f (x )的表达式 (Ⅱ)求证:n n a a >+1
(Ⅲ)求证:*),2(211
1111121N ∈≥<++++++<n n a a a n
成都石室中学高2014级2011-2012学年度下期半期考试
数学试卷(参考答案)
一、选择题:
CBDAC BBACC AD 二、填空题: 13.
6

14.-2 15.1321-⨯=-n n a 16.a ≥-1 三、解答题: 17.解:
(Ⅰ)∵A ,B ,C 为锐角,
55
2)55(
1cos 1sin 22=
-=-=A A 2分 10
10
)10103(
1sin 1cos 22=
-=-=B B 4分 ∴22
10103552101055sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=
-=+B A B A B A 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知0<A +B <π,43π=+B A ,∴4
π
=C 8分
由正弦定理C c A a sin sin =,可得105
5
222
4sin sin =⨯
==A C a c 10分 ∴6101031042
1sin 21=⨯⨯⨯==
∆B ac S ABC 12分
18.解:
(Ⅰ)∵22n S n = ∴211==S a 1分
当n ≥2时,24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n 2分 又21=a 适合上式,所以数列{a n }通项公式为a n =4n -2. 3分 设数列{b n }的公比为q ,则由已知得21=b ,114b q b = ∴4
1
=q 4分 ∴)N*(4
21
∈=
-n b n n 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得14)12(--==
n n
n
n n b a c 8分 ∴12104)12(454341--++⨯+⨯+⨯=n n n T
n n n n n T 4)12(4)32(45434141321-+-++⨯+⨯+⨯=-
两式相减得n n n n T 4)12()444(21312--++++=-- 由此得)*](54)56[(9
1
N ∈+-=
n n T n n 12分 19.解:
设池底一边长为x ,水池的高为y ,池底、池壁造价分别为1z ,2z ,则总造价为
21z z z +=,由最大装水量知8xy =72,∴x
y 9= 2分
∴ax x a z 16821=⋅= x
a
a y a xy a z 144188222+=⋅⋅+⋅⋅= 4分 ∴)144
16(18x
x a a z +
+= 6分 a a a x
x a a 114961814416218=+=⋅
+≥ 10分
当且仅当x x 14416=
即x =3,39
==x
y 时,总造价最低, 答:将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m 时,总造价最低为114a 元
12分
20.解:
(Ⅰ)当a =2时,14)(2+-=x x x f ,
即解不等式⎩⎨⎧>--≥05442x x x 和⎩⎨⎧>-+-<0
344
2x x x 4分
解得{x |1<x <3或x >5} 6分
(Ⅱ)当f (x )在(2,3)内恰有一个零点时,f (2)f (3)<0解得
3
5
45<<a 8分 当f (x )在(2,3)内有两个零点时,需⎪⎩

⎨⎧<<>>320)3(0
)2(a f f 解得a ∈Ф 10分
综上)3
5
,45(∈a 12分
21.解:
(Ⅰ)依题意:n n n a a a -=∆+1,
∴45]2
13
25[)]1(213)1(2
5[22
-=--+-+=∆n n n n n a n . ∴51=∆-∆+n n a a
∴数列{Δa n }是首项为1,公差为5的等差数列. 4分
(Ⅱ)由n n n n n n n n n a a a a a a a 2112122,2-=+∆-∆-∆-=+∆-∆+++得, 6分
∴n n n a a 22=-∆,∴n n n n a a a 212=--+, ∴n n n a a 2122+=+,∴11122
2-++=-n n n
n n a a 8分 当n ≥2时, 2
)22(
)22(
)22(
)2
2(211
13
34
42
23
312
2a a a a a a a a a a n n n
n n
n +
-
++-
+-
+-
=--
=2
15221321)21(22
132
22122
1
0-=---=-+
+++---n n n 10分
∴)N ,2(2152*112∈≥⋅-=--n n a n n n
适合a 1
∴a n =22n -1-15×2n -
1(n ≥1,n ∈N *) 12分
22.解:
(Ⅰ)由12tan -=α得tan2α=1,又α为锐角∴4
π2=
α x x x f +=2)( 3分
(Ⅱ)n n n n a a a f a +==+21)(,02
1≥=-+n n n a a a
又02
1
1=/=
a ,∴a n 不恒等于0,故n n a a >+1 7分 (Ⅲ)设)N •,2(111111)(*
21∈≥++++++=
n n a a a n g n
)N ,2(011
)1()(*∈≥>+=
--n n a n g n g n
,所以g (n )单增, 故g (n )的最小值为2126
1111)2(21=+++=a a g ,所以g (n )≥g (2)>1 9分 ∵)1(1+=+n n n a a a ,∴1
1
11
1
+-=
+n n n a a a , ∴
)N ,2(1
1111
∈≥-=++n n a a a n n n 11分 143321211
1111111111111+-
++-+-++=++++++n n n a a a a a a a a a a , 01
,,12111111121>-=-++=
+++n n n a a a a a 显然 故
211
111121<++++++n
a a a 成立. 14分。

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