2019-2020年高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题 含解析

2019-2020年高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 含解析
一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分，将答案填在答题上）
1.若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题的条件可知，，根据集合的交集的定义可知，.
考点：集合的运算.
2.若，，且为纯虚数，则实数的值等于 ．
【答案】
【解析】 试题分析：2(2)(34)3425a i
a i i i ，结合着复数是纯虚数，可知，解得.
考点：复数的运算，纯虚数的定义.
3. ． 【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：极限的求法.
4.函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知，解得. 考点：函数的定义域.
5.在中，，，，则的值等于 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可知，(2,2)BC AC AB k ，
由，所以2(2)60AC BC k ，解得.
考点：向量的减法，向量的数量积，向量垂直的条件.
6.设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由得，所以圆的圆心为，根据圆的相关性质，可知所求的直线的斜率为，根据直线的点斜式方程化简可得结果为.
考点：圆的性质，直线的方程，两直线垂直关系的应用.
7.如果的展开式中各项系数之和为128，则含项的系数等于 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，令可知展开式的各项系数和为，可知，所以所给的式子的展开式的通项为，令，解得，故该项的系数为.
考点：二项式定理.
8.在中，已知,，三角形面积为12，则 ．
【答案】
【解析】 试题分析：根据三角形的面积公式可知11sin 85sin 1222
BC AC C C ，解得，所以2187cos 212sin 12525
C C . 考点：三角形的面积，余弦的倍角公式.
9.在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设数列的公比为，则有22(21)(21)(21)q q ，解得，所以.
考点：等比数列的定义，数列的求和问题.
10.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合
后，
从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率等于 ．（用分数作答）
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可知总共有种不同的摸法，而摸出的球全是红球有种摸法，所以则摸出
的
3球中至少有一个是白球的概率为.
考点：随机事件的概率.
11.设、满足约束条件5,3212,03,0 4.
x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤目标函数的最大值等于 ． 【答案】 【解析】 试题分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，经过分析，可知该题中所求的最优解为，所以目标函数的最大值为.
考点：线性规划.
12.已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且，则点到轴的距离等于 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可知的面积1212122
S MF MF ,，所以有所求的距离为. 考点：双曲线的焦点三角形的面积公式，等级转化.
13.已知函数[]11,2,0()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
，若方程在区间内有3个不等实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：结合题中所给的函数解析式，作出函数与的图像，利用两个图形的交点个数问题确定的取值范围，结合图形可以确定的取值范围是.
考点：函数的零点与方程根的关系，方程根的个数的应用，函数与方程的思想，数形结合解
决问题.
14.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周 期数列，周期为．已知数列满足，111101n n n n n
a a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下结论： ①若，则；②若，则可以取3个不同的值；③若，则是周期为3的数列；④存在且，数列是周期数列．其中正确结论的序号是
（写出所有正确命题的序号）．
【答案】①②③
考点：数列的递推公式，数列的性质.
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项
是符合题目要求的.
15.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………………………（ ）
A ． B. C ． D.
【答案】A
【解析】
试题分析：B 项在定义域上不是单调的，D 项不具备奇偶性，C 项是增函数，只有A 项满足条件，故选A.
考点：函数的奇偶性，函数的单调性.
16.设是等差数列的前项和，若，则………………………………（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，结合着题的条件，设则，从而有，结合着等差数列的性质，可知36
396129,,,S S S S S S S 成以为首项，以为公差的等差数列，故可以得出，
，所以有，故选A.
考点：等差数列的性质.
17.在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，
而一
个不同的几何体是……………………………………………………………………（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ．
（2）（3）
（4） C ．（1）（D ．（1）（2）（4） 【答案】B 【解析】
试题分析： 1）不对，所以选B.
1）不满足条件，圆柱的正视图和侧视图是相同的长
方形，而俯视图是圆，所以（2）满足条件，对于圆锥，正视图和侧视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆，故（3）满足条件，正四棱柱的正视图和侧视图是相同的长方形，而俯视图是正方形，故（4）满足条件，故选B.
考点：几何体的三视图.
18.设函数的图像关于点对称，且存在反函数,若，则（ ）
（2）底面直径和高均为1的圆柱
（1）棱长为1的正方体
（3）底面直径和高均为1的圆锥 （4）底面边长为1、高为2的正四棱柱
A ．0
B ．4
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意可知点在函数的图像上，结合着图像的对称性，可知点在函数的图像上，所以有，所以有，故选C.
考点：函数的图像的对称性，反函数.
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．
已知函数2())2sin ()()612
f x x x x R ππ-+-∈． （1）化简并求函数的最小正周期；
（2）求使函数取得最大值的集合．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：第一问应用余弦的倍角公式和辅助角公式，将函数的解析式化简，应用函数解析式中的参数与函数的性质的关系，从而确定出函数的最小正周期，第二问注意正弦值在角的终边落在什么地方时，注意将角当做一个整体，求出角的集合，注意整体思维的运用.
试题解析：（1）2())2sin ())1cos(2)61266f x x x x x π
π
π
π
=-+-=-+-- ，
所以函数的最小正周期；
（2）当，即时，函数取得最大值，
所以使函数取得最大值的集合为.
考点：余弦的倍角公式，辅助角公式，函数的周期，函数取最大值时自变量的取值情况.
20.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）当为的中点时，求四面体的体积；
（2）证明：．
【答案】（1）（2）略
考点：三棱锥的体积的求法，空间的垂直关系的转换.
21.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】（1）
800
()6,010
35
f x x x
x
（2）隔热层修建为厘米时，总费用最小，且最小值为万元
【解析】
试题分析：解决该问题的关键是要明确变量之间的关系，注意利用题中所给的解析式，找出所满足的等量关系，从而求得的值，下一步找出各项费用做和即可，注意自变量的取值范围，对于第二问，相当于求函数的最值，将式子进行构造，应用基本不等式求解即可，注意基本不等式中等号成立的条件.
试题解析：(1)依题意得:
所以40800()6206,0103535
f x x x x x x =+⋅=+≤≤++ （2
）800800()62(35)1010703535f x x x x x =+=++-≥=++ 当且仅当，即时等号成立，
而，所以隔热层修建为5厘米时，总费用最小，且最小值为70万元.
考点：函数的应用题，基本不等式求最值.
22.（本题满分16分）本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满
分6分．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在
【解析】
试题分析：第一问应用题中所给的条件，设出相应的椭圆的方程，根据其短轴长，可以确定的值，根据焦点和短轴的端点为一个正方形的顶点，从而确定出，进一步求得的值，从而确定出椭圆的方程，第二问根据直线的斜率和过右焦点，将直线的方程写出来，与椭圆方程联立，应用点到直线的距离求得三角形的高，应用弦长公式求得三角形的底，应用面积公式求得结果，第三问关于是否存在类问题，都是假设存在，根据菱形的条件，从而求得结果，再转化为函数的值域问题求解，从而确定出的取值范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
根据题意得， 所以，
所以椭圆方程为；
（2）根据题意得直线方程为， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+1
1222x y y x 得坐标为，
计算， 点到直线的距离为，
所以，；
（3）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以
设直线的方程为．
坐标为，
由得，0224)21(2222=-+-+k x k x k ，
2
2
2212221212,214k k x x k k x x +=⋅+=+-， 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中，
由于以为邻边的平行四边形是菱形，所以，
计算得，
即，，
所以.
考点：椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，是否存在类问题.
23.本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满
分8分．
已知数列是首项为３，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和等于9．对给定的，设是首项为，公差为的等差数列．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前10项之和；
（3）设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
试题分析：第一问根据等比数列的各项和的公式，从而得到关于数列的首项和公比的等量关系式，从而求得其同项公式，第二问根据题中的条件，确定好等差数列的首项和公差，从而求得结果，第三问先确定好，从而求得，进一步求得，根据极限的求法，从而确定出相应的正整数的值.
试题解析：（1）根据题意有，解得，，所以；
（2），
数列的前10项之和等于；
（3）2
(1)(21)(21)(1)3(21)()(1)3
i i i i i b a i a i a i i i =+--=---=---， 所以， 所以2(1)45(1845)()32lim n n m m n n n n S n n
→∞--+-=， 计算得，当时，2(1)45(1845)()132lim 2
n n m m n n n n S n n →∞--+-==-；时，=0，
所.
考点：等比数列的各项和，等差数列的求和公式，极限.
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