甘肃省张掖二中2012届高三11月月考试卷(数学理)

张掖二中2011—2012学年度高三月考试卷(11月)
高三数学（理科）
命题人：张红生
第Ⅰ卷 (选择题 满分60分)
一、选择题：本大共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的. 1、复数
i
i ⋅--2123= A ．－i
B ．i
C ． 22－i
D ．－22+i
2、设命题42:2
>>x x p 是的充要条件，命题b a c b c a q >>则若,:2
2，则 A ．“p 或q”为真 B ．“p 且q”为真
C ．p 真q 假
D ．p ，q 均为假命题
3、若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(8，-6)为其终边上一点，则sinα
的值为 A 、45
B 、－3
5
C 、－4
5
D 、±35
4、在等差数列{}
n a 中，已知13116a a a ++=，那么9s =
A. 2
B. 8
C. 18
D. 36 5、已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a //b
，则x=
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6、五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不
能承
建1号子项目，则不同的承建方案共有 A ．1
4
44C C 种
B ．14
44C A 种
C ．4
4C 种
D ．4
4A 种
7、一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为
A. 8π
B.
83
π
C.
323
π
D.
3
8、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}n a 满足：
⎩⎨⎧-=次摸到白球，，第次摸到红球，第n n a n 1,1如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为
A ．5
2273132⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C
B ．5
2573231⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C C ．2
5
571133C ⎛⎫⎛⎫
⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．5
2573232⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C
9、已知两圆03:112
2
1=-+++y E x D y x C 和03:222
2
2=-+++y E x D y x C 都过点
E(3,4)，则经过两点),(11E D 、),(22E D 的直线方程为 A ．3x+4y+22=0
B ．3x-4y+22=0
C ．4x+3y+22=0
D ．4x-3y-22=0
10．已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引
12FQF ∠
的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是 A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
11．如图，在三棱锥P —ABC 中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M 在 △ABC 内，∠MPA=60°，∠MPB=45°，则∠MPC 的度数为 A. 30° B. 45° C. 75°
D. 60°
12．设函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且满足
(2)()f x f x -=-对一切x R ∈恒成立，
当11x -≤≤时，3
()f x x =。

则下列四个命题中正确的命题是 ①()f x 是以4为周期的周期函数；
②()f x 在[1,3]上的解析式为3
()(2)f x x =-； ③()f x 的图象的对称轴中有1x =±；
④()f x 在3
3(,())22
f 处的切线方程为345x y +=。

A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接添在题中的横线上。

13、4
32⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中的常数项等于 ；
14、实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,
04,的最大值为 ；
15、请将正确选项的序号填在横线上 （1）函数()()2
0x
f x x -=>的反函数为()()12lo
g 0f x x x -=>
（2）如果函数()y f x =为奇函数，则()00f = （3）若0'()0f x =，则()0f x 为极大值或极小值
（4）随机变量ξ～2
(3,1)N ，则(11)p ξ-<≤等于(4)(2)Φ-Φ ________ ________
16、如图：在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 是棱
11D C 上任意的两点，且1
3
EF a =，P 是BC 上的动点，则
三棱锥E APF -的体积的最大值为 ________
三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10分) 若向量
()()()
()()()3sin ,3sin ,sin ,cos a x x b x x ωϕωϕωϕωϕ=++=++，其中0,02
πωϕ><<，设
函数()32f x a b =⋅-
，其周期为π，且12
x π=是它的一条对称轴。

（1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()0f x a +>恒成立，求实数a 的取值范围。

18、（本小题满分12分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰。

已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
56、45、34、1
3
，且各轮问题能否正确回答互不影响。

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望。

19．(本题满分12分)在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=2AB （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）求二面角B —PC —D 的余弦值.
20、（本小题满分12分）已知数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且满足
2222n n S a n n =-+-+，22n n b n a =--。

（Ⅰ）求1a 、1b 的值，并证明数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列{}n n
T S n
λ+是等差数列。

21．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为
()()1,0,1,0A B -，平面内两点,G M 同时满足一下条件：
①0GA GB GC ++=；②MA MB MC ==；③//GM AB （1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；
（2）过点()3,0P 的直线l 与（1）中的轨迹交于,E F 两点，求PE PF ⋅的取值范围。

22．(本题满分12分) 已知,,A B C 是直线l 上三点，向量OA
OB OC 、、满足： ()()/
21ln 10OA y f OB x OC ⎡⎤-+⋅++⋅=⎣⎦，且函数()y f x =定义域内可导。

（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若0x >，证明：()22
x
f x x >+； （3）若不等式
()2
221232
x f x m bm ≤+--对[]1,1x ∈-及[]1,1b ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围。

张掖二中2011—2012学年度高三月考试卷(9月)
高三数学（理科）答案
二．填空题： 13、-32 14、4 15、 （4） 16、
3
18
a
三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题满分12分) 解：（1）()3
2
f x a b =⋅-
…………………. 2分 (
)()()
()()()3
3sin sin ,cos 2x x x x ωϕωϕωϕωϕ=++⋅++-
(
)()()233sin cos 2
x x x ωϕωϕωϕ=++⋅+
-
(
)()1sin 222x x ωϕωϕ⎤=++⎢⎥
⎦
223x πωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭ ……………………………………. 3分
（1）∵周期为π ∴1ω= ……………………………………. 4分
又∵12
x π
=
为其一条对称轴 ∴()221232
k k Z πππ
ϕπ⋅+-=+∈ ∵02πϕ<<
故3π
ϕ=
……. 5分 ∴(
)23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
……. 6分 （2）∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴5
2336x πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝
…………………………………. 7分 ()23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
的最小值为2
…………………………………. 8分
由()0f x a +>恒成立，得a >……. 9分 所以a 的取值范围为,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
10分
18、解：（Ⅰ）设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题” 。

由已知15()6P A =
，24()5P A =，33()4P A =，41
()3
P A =。

（Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
1235431
()()(1)6546P B P A A A ==⨯⨯-= …3分
（Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
1121231515431
()()(1)6656542
P C P A A A A A A =++=
+⨯+⨯⨯-=…………………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为1,2,3,4。

1(1)6P X ==
；541(2)(1)656P X ==⨯-=；5431(3)(1)6546P X ==⨯⨯-=； 5431
(4)6542P X ==⨯⨯=
∴X 的分布列为
∴123436662
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=。

………………12分
19．(本题满分12分)
解：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BD ∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD
∴BD ⊥平面PAC 又BD 在平面BPD 内，∴平面PAC ⊥平面BPD …… 6分 （Ⅱ）解法一：在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N ，连DN ， ∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；
∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角，在△BND 中，
，
∴cos ∠BND =22
2
2552166553
a a a a +-=- ………… 12分
解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系如图，在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N 连DN ，
∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角
设(,,2)PN PC a a a λλλλ==-
650
)2)(22()()(0
)2,,()22,,(=
∴=-+-++-=⋅∴⊥-=+--=-=λλλλλλλa a a a a a a a PC
BN a a a a a a a a 即
55(,,),(,,)663663
a a a a
NB a ND a ∴=--=-
………10分 222255136
369cos 305||||36
a a a NB ND BND NB ND a --+
⋅∴∠===- ………12分 解法三：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间坐标系，作AM ⊥PB 于M 、AN ⊥PD 于N ，易证AM ⊥平面PBC ，AN ⊥平面PDC ，
设(,0,2)PM PB
PB a a λ==-
)
5
2
,54,0(),
5
2,0,54(540
,))1(2,0,()
2,0,(a a AN a a PB AM a a a a PM ===∴=⋅∴⊥+-=-=-=∴同理λλλλλ
2
24125cos 205
||||25
a
AM AN MAN AM AN a ⋅∠=== ∵二面角B —PC —D 的平面角与∠MAN 互补
∴二面角B —PC —D 的余弦值为1
5
- ………………12分 20．(本题满分12分)
解：（Ⅰ）由已知，得1122112a a =-+-+ ∴112a =
∴13
4
b =- ……2分 由2
222n n S a n n =-+-+，得21
122(1)(1)2n n S a n n ++=-++-++
两式作差得：12n n a a n +=+。

………………4分
∴
11
1(1)212222
n n n n n
n a n
n b n a b n a n a +++--
+--===----。

………………5分 ∴数列{}n b 是以34-
为首项，1
2
为公比的等比数列。

………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知131()42n n b -=-， ∴131
(1)334212212
n n n T +--==-+-
∵22n n b n a =-- ∴3
2222
n n n a n b n =--=
+- ………………8分 ∴222333222
n n n n n n n
S a -+-=-+=-++
∵数列{
}n n T S n λ+是等差数列的充要条件是n n T S An B n
λ+=+（A 、B 为常数） 即2
n n T S An Bn λ+=+
又2213333(3)13
(3)()(3)2222222
n n n n n n n n n T S λλλλ+--+=-++-++=---
∴当且仅当102λ-=即1
2
λ=时数列{}n
n T S n λ+是等差数列。

………………12分 21．(本题满分12分)
解：（1）设()()()00,,,,,m m C x y G x y M x y
∵MA MB = ∴M 在线段AB 的中垂线上，又()()1,0,1,0A B - ∴0m x = ∵//GM AB ∴0m y y =
………………………………. 2分
∵0GA GB GC ++= ∴()()()()0000001,1,,0,0x y x y x x y y ---+--+--= ∴00,,33
m x y y
x y
y =
==
………………………………. 4分
∵MB MC = =
()2
2
103
y x y +=≠
所以定点C 的轨迹方程为()22
103
y x y +=≠ ………………………………. 6分
（2）设直线l 的方程为：()3y k x =-，()()1122,,,E x y F x y 由()
22
333
y k x x y ⎧=-⎨
+=⎩消去y 得：(
)
2
222
36930k x k x k +-+-= ①
∴22121222693
,33
k k x x x x k k -+==++
………………………………. 8分
()()121233PE PF x x y y ⋅=--+()()212122
48
139243
k x x x x k =+-++=-
⎡⎤⎣⎦+…. 10分
由0∆>得23
8k <
，0k ≠ ∴227338
k <+<∴PE PF ⋅的取值范围为88(8,)9 (12)
分
22．(本题满分12分)
解：（1）∵,,A B C 是直线l 上三点，且()()/
21ln 10OA y f OB x OC ⎡⎤-+⋅++⋅=⎣⎦
∴()()/21ln 11y f x ⎡⎤+-+=⎣⎦
………………………………. 1分 故()()()/ln 1121y f x x f ==++-
………………………………. 2分
∴()/
11f
x x =
+ ∴()/
112
f =，()/1210f -= …………………. 3分 故()()()ln 1,1f x x x =+>- ………………………………. 4分
（2）令()()22x g x f x x =-+由()()()
2
'2
12x g x x x =++
…………. 6分
∵1->x ∴()'0g x > ∴()g x 在()0,+∞上是增函数， 故()()00g x g >=，即()22
x
f x x >+ ………………………………. 8分
（3）原不等式等价于()2
221232
x f x m bm -≤-- …………………. 9分
令()()()222211
ln 122
h x x f x x x =
-=-+ ()h x 为偶函数，当()0,1x ∈时，()3'
2
01x x
h x x -=<+ ∴()h x 在[]0,1上是减函数
∴当[]0,1x ∈时，()()max
00h x h ==⎡⎤⎣⎦
………………………………. 10分 ∴2
230m bm --≥ 对[]1,1b ∈-恒成立
………………………………. 11分
令()2
23Q b m bm =-- 则由()10Q ≥及()10Q -≥，解得3m ≤-或3m ≥ 所以m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞
………………………………. 12分。