高考数学大二轮总复习 增分策略 高考压轴大题突破练(四)函数与导数

高考压轴大题突破练
(四)函数与导数(2)
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数．
2．已知函数f(x)＝2x2－a ln x(a∈R)．
(1)若a＝4，求函数f(x)的极小值；
(2)试问：对某个实数m，方程f(x)＝m－cos 2x在x∈(0，＋∞)上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．
3．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2
.
(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1
e
，e]上的最大值；
(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2
]都成立，求实数m 的
取值范围．
4．(2014·大纲全国)函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax
x ＋a
(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2
.
答案精析
高考压轴大题突破练 (四)函数与导数(2)
1．解 (1)f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′－1＝3a －2b ＋c ＝0，
f ′0＝c ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝0，
c ＝－3.
所以f (x )＝x 3
－3x .
(2)设切点为(t ，t 3
－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2
－3， 所以切线斜率k ＝3t 2
－3， 切线方程为y －(t 3
－3t ) ＝(3t 2
－3)(x －t )．
又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3
－3t )＝(3t 2
－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3
＋6t 2
－6. 设g (t )＝－2t 3
＋6t 2
－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2
＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.
当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：
t (－∞，0)
0 (0,2) 2 (2，＋∞)
g ′(t ) －
0 ＋
0 －
g (t )
极小值
极大值
所以g (t )的极小值为g (0)＝－6，极大值为g (2)＝2.
作出函数草图可知：
①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3
＋6t 2
－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3
＋6t 2
－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6<m <2时，方程m ＝－2t 3
＋6t 2
－6有三解，即过点A 有三条切线． 2．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由已知得f ′(x )＝4x －4x
＝
4
x 2－1
x
， 则当0<x <1时f ′(x )<0，f (x )在(0,1)上是减函数；当x >1时f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．
故函数f (x )的极小值为f (1)＝2.
(2)假设方程f (x )＝m －cos 2x 在x ∈(0，＋∞)上存在三个不相等的实根， 设F (x )＝2x 2
－a ln x ＋cos 2x －m ，
由于F (x )在x ∈(0，＋∞)上的图象连续不断， 则F ′(x )＝4x －a
x
－2sin 2x (x >0)有两个不同的零点， 即a ＝4x 2
－2x sin 2x (x >0)有两个不同的解． 设G (x )＝4x 2－2x sin 2x (x >0)，
则G ′(x )＝8x －2sin 2x －4x cos 2x ＝2(2x －sin 2x )＋ 4x (1－cos 2x )． 设h (x )＝2x －sin 2x ， 则h ′(x )＝2－2cos 2x ≥0， 故h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故当x >0时，h (x )>h (0)＝0， 即2x >sin 2x .
又1－cos 2x >0，则G ′(x )>0， 故G (x )在(0，＋∞)上是增函数，
则a ＝4x 2
－2x sin 2x (x >0)至多只有一个解， 故假设不成立，即不存在满足条件的实数a . 3．解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2
，
f ′(x )＝2x －x ＝2－x
2
x
，
当1
e
≤x ≤e 时， 令f ′(x )>0得1
e ≤x <2；
令f ′(x )<0，得2<x ≤e，
∴f (x )在[1
e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，
∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.
(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式
f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立，
令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min . ∵x ∈(1，e 2
]，∴ln x >0， ∴h (a )在[0，3
2]上单调递增，
∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，
∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2
]都成立． ∵1<x ≤e 2
，∴－e 2
≤－x <－1， ∴m ≤(－x )min ＝－e 2
.
即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2
]． 4．(1)解 f (x )的定义域为(－1，＋∞)，
f ′(x )＝x [x －a 2－2a ]
x ＋1x ＋a 2
.
①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2
－2a )， 则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；
若x ∈(a 2
－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2
－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数． ②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，
f (x )在(－1，＋∞)是增函数．
③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2
－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2
－2a )是减函数； 若x ∈(a 2
－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2
－2a ，＋∞)是增函数．
综上，①当1<a <2时，f (x )在(－1，a 2－2a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a 2
－2a,0)上单调递减；
②当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； ③当a >2时，f (x )在(－1,0)和(a 2
－2a ， ＋∞)上单调递增，在(0，a 2
－2a )上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a ＝2时，
f (x )在(－1，＋∞)是增函数．
当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0， 即ln(x ＋1)>
2x
x ＋2
(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在(0,3)是减函数． 当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0， 即ln(x ＋1)<
3x
x ＋3
(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明
2n ＋2<a n ≤3n ＋2
. ①当n ＝1时，由已知2
3<a 1＝1，故结论成立；
②假设当n ＝k 时结论成立，即
2k ＋2<a k ≤3k ＋2
. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln(2k ＋2＋1)>2×2
k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3.a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln(3
k ＋2
＋
1)<3×
3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，
即当n ＝k ＋1时有
2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3
，结论成立． 根据①②可知，对任何n ∈N *
结论都成立．。