2021年九年级 中考数学 培优专题 图形的变化

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
2021 中考数学培优专题图形的变化
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是()
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移，得到四边形A1B1C1D1，已知A(-3，5)，B(-4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为()
A.(1，2)
B.(2，1)
C.(1，4)
D.(4，1)
3. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为()
A.124°
B.115°
C.130°
D.106°
5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
A．B．
C．D．
6. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()
A．A2P的中点B．A1B2的中点
C．A1O的中点D．PO的中点
7. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()
8. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于1
2AB的长为半径画弧，在
线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是()
A．PA＝PB B．OA＝OB
C．OP＝OF D．PO⊥AB
9. 如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A．B．
C．D．
10. 图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形都是由△ABC进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称变换得到的是()
A.(1)
B.(2)
C.(3)
D.(4)
11. 如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是
A．B．
C．D．
12. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()
A．90°－αB．αC．180°－αD．2α
二、填空题（本大题共12道小题）
13. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.
14. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.
15. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.
16. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为.
17. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.
根据上表，猜想正n边形有条对称轴.
18. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝ 5.将△ABC绕点A 逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．
19. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).
20. 如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为____________．
21. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°
时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．
22. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图3，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2020的坐标为________．
23. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B 在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．
24. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B
的对应点B1落在直线y＝－
3
3x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2
的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－
3
3x上，依次进行下去……若点B
的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
三、作图题（本大题共2道小题）
25. 如图，已知等腰ABC △顶角30A ∠=︒．
(1)在AC 上作一点D ，使AD BD =(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨)； (2)求证：BCD △是等腰三角形．
26. 如图，已知△ABC.
(1)用直尺和圆规分别作出AB ，AC 边的垂直平分线l 1，l 2; (2)若直线l 1，l 2的交点为O ，连接OB ，OC.求证:OB=OC.
四、解答题（本大题共6道小题）
27. 如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将△OEF 绕点O 逆时针旋转角α(0°<α<90°)，连接AF ，DE (如图K32-②).
(1)在图②中，∠AOF= ;(用含α的式子表示) (2)在图②中，猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论.
①
②
28. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线
段的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22.
[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．
(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，
可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．
29. 如图
1，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于
点E.
(1)若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数; (2)求证:直线AD 是线段CE 的垂直平分线.
30. 如图，等腰直角三角形
OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D
分别在OE 和OF 上，现将△OEF 绕点O 逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF ，
DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)
(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
31. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线
段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线
1
2
y x b
=-+交折线OAB
于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
32. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD. 求证：BD2＝AB2＋BC2.
2021 中考数学培优专题图形的变化-答案
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 【答案】A【解析】物体的左视图是光线从左往右而得到的正投影．此几何
体的左视图的正方形是两排，左边一排是两层，右边一排是一层．故选A.
2. 【答案】B[解析]由A(-3，5)，A1(3，3)可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，
∵B(-4，3)，∴B1的坐标为(2，1).
3. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.
4. 【答案】C[解析] 连接AD，如图.
∵点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，
F，
∴∠EAB=∠BAD，∠F AC=∠CAD.
∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.
∴∠EAF=2∠BAC=130°.
故选C.
5. 【答案】B
【解析】三视图的左视图，应从左面看，故选B
6. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．
7. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC，而PC+PB=BC，∴P A=PC.∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.
8. 【答案】C[解析] 由作图可知，EF垂直平分AB，因此可得OA＝OB，PO⊥AB，由线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，但不能得到OP＝OF.
9. 【答案】D
【解析】从正面看易得第一层有4个正方形，第二层有一个正方形，如图所示：
故选D．
10. 【答案】A
11. 【答案】C
【解析】从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体．如图所示：
故选C．
12. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
二、填空题（本大题共12道小题）
13. 【答案】[解析]∵α+β=∠B，
∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，
∴△AEF是直角三角形，
∵AE=AB=3，AF=AC=2，
∴EF==.
14. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，
∴AE2=AD2+DE2=18，
∴AB=AE==3.
15. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.
16. 【答案】4+2[解析]在题图③中，由折叠的性质可知∠A=45°，AD=DF，
∴FC=2，∠AFC=45°，∴CG=2，
∴FG=2，∴△GCF的周长为4+2.
17. 【答案】解:如图.
故填3，4，5，6，n.
18. 【答案】5[解析] 由勾股定理，得AC＝AB2＋BC2＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝ 5.又AB′＝AB＝2 5，∴AE ＝EB′＝5，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.
19. 【答案】③
20. 【答案】(－a，－b＋2)[解析] 如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点A′作A′D′⊥y轴于点D′，则△ACD≌△A′CD′，∴A′D′＝AD＝a，CD′＝CD＝－b ＋1，∴OD′＝－b＋2，∴点A′的坐标为(－a，－b＋2)．
21. 【答案】①②③
22. 【答案】(1，－3)[解析] 由题意可得点P2(1，－1)，P3(－1，3)，P4(1，－3)，P5(1，3)，P6(－1，－1)，P7(1，1)，可知6个点一个循环，2020÷6＝336……4，故点P2020的坐标与点P4的坐标相同，为(1，－3)．
23. 【答案】23t．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长
23．
24. 【答案】9＋3
3 [解析] 将y ＝1代入y ＝－3
3x ，解得x ＝－ 3.
∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－3
3x 与x 轴所夹的锐角是30°.
由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3. ∴点O 12的纵坐标＝1
2OO 12＝9＋3 3.
三、作图题（本大题共2道小题）
25. 【答案】
(1)如图，点D 为所作．
(2)∵AB AC =，
∴1
(18036)722
ABC C ︒=-︒∠∠==︒，
∵DA DB =， ∴36ABD A ∠=∠=︒，
∴363672BDC A ABD ∠=∠+∠=︒+=︒︒， ∴BDC C ∠=∠， ∴BCD △是等腰三角形．
26. 【答案】
解:(1)如图所示.
(2)证明:如图，连接OA.
∵l1是AB的垂直平分线，
∴OA=OB.
同理，OA=OC.
∴OB=OC.
四、解答题（本大题共6道小题）
27. 【答案】
解:(1)90°-α[解析]∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，∴∠DOF=∠COE=α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD=90°，∴∠AOF=90°-α.
故答案为90°-α.
(2)AF=DE.
证明:∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD=∠COD=90°，OA=OD，
∵∠DOF=∠COE=α，
∴∠AOF=∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF=OE.
在△AOF和△DOE中，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，
∴AF=DE.
28. 【答案】
解：(1)(1，－1)(－6，－5)
(2)1 2
(3)设点D的坐标为(x，y)．
若以AB为对角线，AC，BC为邻边的四边形为平行四边形，则AB，CD的中点重合，
∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，
解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；
若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，
解得⎩
⎨⎧x ＝5，y ＝3；
若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，
解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5.
综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．
29. 【答案】
解:(1)∵∠BAC=50°，AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠BAC=25°. ∵DE ⊥AB ， ∴∠AED=90°. ∴∠EDA=90°-25°=65°. (2)证明:∵DE ⊥AB ，
∴∠AED=90°=∠ACB. ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAE=∠DAC. 又∵AD=AD ，
∴△AED ≌△ACD.
∴AE=AC ，DE=DC.
∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上. ∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.
30. 【答案】
解：(1)∵△OEF 绕点O 逆时针旋转角α， ∴∠DOF ＝∠COE ＝α. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝90°， ∴∠AOF ＝90°－α. 故答案为90°－α. (2)猜想：AF ＝DE.
证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD. ∵∠DOF ＝∠COE ＝α， ∴∠AOF ＝∠DOE.
∵△OEF 为等腰直角三角形， ∴OF ＝OE.
在△AOF 和△DOE 中，
⎩⎨⎧OA ＝OD ，
∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，
∴△AOF ≌△DOE(SAS)， ∴AF ＝DE.
31. 【答案】
(1)①如图2，当E 在OA 上时，由1
2
y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE
＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝11
2122
OE OC b b ⋅=⨯⨯=．
②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入1
2
y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －
2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入1
2
y x b =-+可知，点E 的坐标为
3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝5
2
b -．此时
S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD
＝13151
33()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-
25
2
b b =-+．
(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．
设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所
以12＋(2－m )2＝m 2．解得5
4
m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如
图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为5
3
，如图7所示．
图5 图6 图7
32. 【答案】
证明：如图，将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°，得到△CDE ，连接BE ，
则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.
又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝BE.
又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，
∴△ECB是直角三角形，
∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。