广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选22

圆锥曲线22
5.（本小题满分12分）
如图，设P 是圆珠笔2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为P D 上一点，且4
5
MD PD =
（Ⅰ）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度。

∴线段AB 的长度为AB ==
415
=
= 注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。

6.椭圆的中心为原点O ，离心率e =
，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程。

（Ⅱ）设动点P 满足2OP OM ON =+,其中M,N 是椭圆上的点。

直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-。

问：是否存在两个定点12F F 、，使得12PF PF +为定值。

若存在，求12F F 、的坐标；若不存在，说明理由。

设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，
12121
=
=-2
OM ON y y k k x x ，因此12122=0x x y y +， 所以2
2
220x y +=，
所以P 点是椭圆
(2
2
2
2
1x y +
=上的点，设该椭圆的左右焦点为12F F 、，则由椭圆的
定义，12PF PF +
为定值，又因
c ==，因此两焦点的坐标分别为
()
)12
F F 、
7. (本小题共l2分)
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线
BD 交于点Q ．
(I) 当|CD | =
l 的方程；
(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ∙为定值.
8.已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ， 证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
（Ⅱ）法一：点
P(1)
2
--，P关于点O的对称点为Q
，(
2
Q
∴，
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
AQ AP
y
K K
x
-
-
====-
-
，即90
PAQ
∠=，同理
1
PB BQ
K K=-即90
PBQ
∠=，∴180
PAQ PBQ
∠+∠= A、P、B、Q四点在同一圆上.
法二：由已知有⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
1,
2
2
Q则PQ的中垂线为：x
y
2
2
-
=设A、B的中点为()3
3
,y
x
D
∴
()()
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
-
+
+
-
=
+
=
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
2
1
1
2
1
3
2
1
3
x
x
y
y
y
x
x
x
∴⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛21,42D 则AB 的中垂线为：4122+=x y
9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12
42
2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；
（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
【解析】（1）因为(2,0)M -
、N ,
所以MN 的中点坐标为
(-1,
2
),又因为直线PA 平分线段
所以k 的值为2
-
(2)因为k=2,所以直线AP 的方程为2y x =,由222142
y x
x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得交点P(24,33)、A(24,33--),
因为PC ⊥x 轴，所以C （
2,03)，所以直线AC 的斜率为1，直线AB 的方程为2
3
y x =-，所以
点P 到直线AB 的距离
242|
|
--
=3
.。