北师大版高中数学选修第二章§双曲线的简单性质应用创新演练

【三维设计】高中数学 第二章 §3 3.2 双曲线的简单性质应用
创新演练 北师大版选修1-1
1．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为
( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.
答案：C
2．双曲线mx 2
＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14
B ．－4
C ．4
D.14
解析：双曲线标准方程为：y 2
－x 2
－
1m
＝1，
∴a 2＝1，b 2
＝－1m
.
由题意b 2＝4a 2
，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.
答案：A
3．(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于
( )
A.314
14
B.32
4
C.3
2
D.43
解析：由题意知c ＝3，故a 2
＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32
.
答案： C
4．中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1,3)，离心率为2的双曲线的标准方程为
( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24＝1
C.x 28－y 2
2
＝1
D.y 28－x 2
8
＝1 解析：由离心率为2，∴e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a
2＝2，∴a ＝b .
设其方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)， ∴12
－32
＝λ，即λ＝－8， 故双曲线方程为y 28－x 2
8＝1.
答案：D
5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点相同，那么双曲线
的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c ＝4. 又e ＝c
a
＝2，∴a ＝2. ∴b 2
＝c 2
－a 2
＝12，∴b ＝2 3. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 答案：(－4,0)和(4,0)，y ＝±3x
6．双曲线x 24＋y 2
k
＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．
解析：由题意k <0，且a ＝2，c ＝4－k ， ∴1<
4－k
2
<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P (3，－5)，离心率为2；
(2)与椭圆x 29＋y 2
4＝1有公共焦点，且离心率e ＝5
2.
解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
∵e ＝2，∴c 2a
2＝2即a 2＝b 2
.
① 又过点P (3，－5)有：9a
2－5
b
2＝1，
②
由①②得：a 2
＝b 2
＝4， 双曲线方程为x 24－y 2
4＝1，
若双曲线的焦点在y 轴上，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
同理有：a 2
＝b 2
， ① 5
a
2
－9
b
2＝1，
②
由①②得a 2
＝b 2
＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 2
4＝1
(2)由椭圆方程x 29＋y 2
4＝1，
知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2， 半焦距c 1＝a 2
1－b 2
1＝5，
所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝5，c 2
＝a 2
＋b 2
，c a ＝52
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
即双曲线方程为x 2
4
－y 2
＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2
－y 2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝
m 3＋23，k MF 2＝m
3－23
，
k MF 1·k MF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
.
∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，m 2
＝3，
故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴1MF ·2MF ＝0. 法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，
2MF ＝(23－3，－m )，
∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2
＝－3＋m 2
.
∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2
－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，
△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。